Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2018/19
KOLOKWIUM nr
82
,21.05.2019
, godz. 8:15–10:00 Zadanie85.
(1000 punktów do podziału)W każdym z zadań 85.1–85.8 podaj wartość parametru p, dla której podana granica jest dodatnia i skończona oraz podaj wartość granicy dla tej wartości parametru p.
85.1. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
√ k
= 2
3 dla p = − 3
2
85.2. n→∞
lim
n
p·
4n X k=1
√ k
= 16
3 dla p = − 3
2
85.3. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
k
√ k
= 2
5 dla p = − 5
2
85.4. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
√
3k
= 3
4 dla p = − 4
3
85.5. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
1 n + k
= ln 2 dla p = 0
85.6. n→∞
lim
n
p·
4n X k=1
1 n + k
= ln 5 dla p = 0
85.7. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
1 (n + k)
2
= 1
2 dla p = 1
85.8. n→∞
lim
n
p·
n X k=1
1 (n + k)
3
= 3
8 dla p = 2
Kolokwium 82 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2018/19
Zadanie
86.
(1000 punktów do podziału)W każdym z zadań 86.1–86.8 podaj w postaci uproszczonej wartość całki oznaczonej.
Wskazówka:
∞
X
n=1
sinnx
pn = p · sinx
p2+ 1 − 2p · cosx dla p > 1.
86.1.
2π Z 0
sin
2x dx 5 − 4cosx = π
4
86.2.2π Z 0
sin
2x dx
5 − 3cosx = 2π 9
86.3.
Z2π
0
sinx · sin2x dx 5 − 4cosx = π
8
86.4.Z2π
0
sinx · sin2x dx
5 − 3cosx = 2π 27
86.5.
2π Z 0
sinx · sin3x dx 5 − 4cosx = π
16
86.6.2π Z 0
sinx · sin3x dx
5 − 3cosx = 2π 81
86.7.
2π Z 0
sin
2x dx
13 − 5cosx = 2π
25
86.8.2π Z 0
sin
2x dx
17 − 8cosx = π 16
Zadanie
87.
(1000 punktów do podziału)W każdym z zadań 87.1–87.8 podaj w postaci uproszczonej wartość całki oznaczonej.
87.1.
2π Z 0
sin
2x dx
(5 − 4cosx)
2= π
12
87.2.2π Z 0
sin
2x dx
(5 − 3cosx)
2= π 18
87.3.
Z2π
0
sin
2x dx
(13 − 5cosx)
2= π
150
87.4.Z2π
0
sin
2x dx
(17 − 8cosx)
2= π 240
87.5.
2π Z 0
sin
2x dx
(5 − 4cosx) · (5 − 3cosx) = π 15
87.6.
2π Z 0
sin
2x dx
(13 − 5cosx) · (17 − 8cosx) = π 190
87.7.
Z2π
0
sin
2x dx
(5 − 4cosx) · (13 − 5cosx) = π 45
87.8.
2π Z 0
sin
2x dx
(5 − 3cosx) · (13 − 5cosx) = 2π 105
Kolokwium 82 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2018/19
Zadanie
88.
(1000 punktów do podziału)Podać przykład takiej funkcji ciągłej f : R → [0, ∞), że całka
∞
Z
−∞
f (x) dx
jest zbieżna, ale całka
∞
Z
−∞
(f (x))2dx
jest rozbieżna.
Rozwiązanie:
Wykresem funkcji f są ramiona opisanych niżej trójkątów równoramiennych, a poza tym f jest równa 0.
Trójkąty są parametryzowane liczbami naturalnymi n. Trójkąt o numerze n ma wierz- chołki o następujących współrzędnych:
n − 1 8n, 0
,
n + 1 8n, 0
, (n, 4n).
Pole n-tego trójkąta jest równe 1
2n, skąd
∞
Z
−∞
f (x) dx =
∞
X
n=1
1 2n= 1 .
Wykres funkcji f2 stanowią trójkąty paraboliczne (o ramionach będących fragmenta- mi paraboli). Wysokość n-tego trójkąta parabolicznego jest równa 16n, a jego pole
2 3· 1
8n· 16n,
skąd ∞
Z
−∞
(f (x))2dx =
∞
X
n=1
2 · 2n
3 = +∞ .
Kolokwium 82 - 3 - Odpowiedzi i rozwiązania
