77. 74 22.11.2018

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2018/19

KOLOKWIUM nr

74

^,

^22.11.2018

, godz. 8:15–9:00 Zadanie

77.

(10 punktów)

Wskaż liczbę wymierną dodatnią a, dla której podana granica istnieje i jest dodatnią liczbą wymierną. Podaj wartość granicy dla tej wartości parametru a. Podaj odpowiedzi w postaci ułamka nieskracalnego lub liczby całkowitej. Za każde zadanie, w którym podasz poprawną odpowiedź (liczba a oraz uproszczona granica) otrzymasz 3 punkty.

Dziesiąty punkt otrzymasz za komplet poprawnych odpowiedzi.

W zadaniach skorzystaj ze wzoru Stirlinga:

n→∞

lim

n! · e

ⁿ

n

ⁿ

· √

n = √ 2π .

a)

lim

n→∞





a

⁴ⁿ

·





8n 4n





· √ nπ





= 1

2

^dla ^{a =}

1 4

b) _n→∞

lim





a

⁶ⁿ

·





9n n





· √ nπ





= 3

4

^dla ^{a =}

16 27

c)

lim

n→∞





a

⁶ⁿ

·





9n 4n





·





5n n





· 16

ⁿ

· nπ





= 3

8

^dla ^{a =}

4 27

Kolokwium 74 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2018/19

Zadanie

78.

(10 punktów) Obliczyć granicę

n→∞lim

2ⁿ+ 3²ⁿ

9ⁿ +2ⁿ⁺¹+ 3²ⁿ⁻¹

9ⁿ⁻¹· 4 +2ⁿ⁺²+ 3²ⁿ⁻²

9ⁿ⁻²· 4² + ... +2^n+k+ 3^2n−k

9^n−k· 4^k + ... +2²ⁿ+ 3ⁿ 4ⁿ

!

. Rozwiązanie:

Zapisujemy wyrażenie pod znakiem granicy w postaci sumy dwóch postępów geome- trycznych, obliczamy ich sumy, a następnie przechodzimy do granicy:

n

X

k=0

2^n+k+ 3^2n−k 9^n−k· 4^k =

n

X

k=0

2^n+k 9^n−k· 4^k+

n

X

k=0

3^2n−k 9^n−k· 4^k =

n

X

k=0

2 9

n

·

9 2

k

+

n

X

k=0

3 4

k

=

2 9

n

·

9 2

n+1

− 1

9

2− 1 +

3 4

n+1

− 1

3

4− 1 =

9

2−²₉ⁿ 7/2 +

3 4

n+1

− 1

−1/4 → 9/2

7/2+ −1

−1/4=

=9

7+ 4 =37 7 .

Kolokwium 74 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania