Statystyka I semestr zimowy 2017, seria VIII 1. Znajdź dolne ograniczenie Cramera-Rao dla estymatora nieobciążonego parametru g(p) = p(1−p) dla próbki X

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria VIII

1. Znajdź dolne ograniczenie Cramera-Rao dla estymatora nieobciążonego parametru g(p) = p(1−p) dla próbki X1, ..., Xn∼ Bin(1, p).

2. Niech (X1, X2, ..., Xn) będzie próbką z rozkładu Bin(1, p), p ∈ (0, 1). Pokaż, że nie istnieją nieobciążone estymatory dla parametrów g1(p) = p

1 − p oraz g2(p) = 1 p.

3. Niech X1, . . . , Xn, . . . będzie próbką z rozkładu wykładniczego z parametrem λ. Wyznacz esty- mator największej wiarygodności parametru θ(λ) = P^λ(X1> t), policz jego wariancję, obciążenie i ograniczenie Cramera-Rao.

4. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + ε , gdzie X jest macierzą n × p, n > p ,rank(X) = p oraz ε ∼ N (0, σ²I_n). Policz estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji dla parametrów β, σ² oraz macierz informacji Fishera.

5. Załóżmy, że dany jest rozkład wielomianowy M ulti(n; p₁, . . . , p_k) i parametryzacja naturalna θ = (ln(p₁/p_k), . . . , ln(p_k−1/p_k))^T. Policz I(θ) oraz I(θ)⁻¹.

6. Załóżmy, że w modelu statystycznym {fθ(x), θ ∈ Θ} znamy informację Fishera I(θ). Udowodnij, ze po zmianie parametryzacji, czyli po dyffeomorficznym przekształceniu η : Θ → H mamy I(η) = (∂θ^T/∂η)I(θ)(∂θ/∂η^T).

1