Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej Seria 4. – na wtorek 1.04.2014 Zadanie 1. Uzasadnij dwie tzw.

(1)

Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej

Seria 4. – na wtorek 1.04.2014

Zadanie 1. Uzasadnij dwie tzw. reguły Pappusa–Guldina, które mówią o obracaniu figury płaskiej F o polu P i obwodzie s wokół prostej k leżącej w płaszczyźnie tej figury i rozłącznej z nią:

I. pole powierzchni powstałej bryły jest równe 2πr₁s, gdzie r1 jest odległością środka ciężkości równomiernie obciążonego obwodu F od k;

II. objętość powstałej bryły jest równa 2πr₂P , gdzie r₂ jest odległością środka ciężkości równomiernie obciążonej powierzchni F od k.

Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni i objętość torusa danego równaniem (^px²+ y²− a)²+ z² = b².

Zadanie 3. Dwa torusy mają równą objętość i równe pole powierzchni. Czy wynika stąd, że są przystające?

Zadanie 4. Znajdź środki ciężkości półkola i półokręgu.

Zadanie 5. Kepler w pracy Sterometria doliorum vinariorum rozpatruje bryły powstające przy obracaniu części koła, na jakie dzieli go cięciwa, wokół tej cięciwy. Części te nazywa cytryną (to ta mniejsza) i jabłkiem. Oblicz pole powierzchni i objętość obu tych brył, mając dane długość cięciwy i „szerokość” cytryny, czyli największą odległość jej punktów od wyznaczającej ją cięciwy.

Zadanie 6. Z równomiernie obciążonej powierzchni sześciokąta foremnego ABCDEF o środku O wycięto kwadrat o przekątnej OD. Oblicz odległość O od środka cieżkości powstałej figury oraz objętość bryły powstałej przez obracanie tej figury wokół AB.

Zadanie 7. Równoległobok leżący wewnątrz okręgu i mający wspólny z nim środek obrócono wokól stycznej do tego okręgu. Czy pozwala to na określenie pola powierzchni i objętości powstałej bryły?

Momentem bezwładności układu punktów materialnych σ := {m_iA_i}_{i∈{1, ...n} względem punktu P nazywamy, za Eulerem, liczbę J_P(σ) := ^Pⁿ

i=1

m_i|P A_i|².

Zadanie 8. Udowodnić twierdzenie Lagrange’a: jeśli S jest środkiem ciężkości układu σ, to

J_P(σ) = J_S(σ) + m|P S|²; i twierdzenie Jacobiego:

JS(σ) = 1 m

X

1i<jn

mjmj|A_iAj|²,

gdzie m = m₁+ m₂+ · · · + m_n.

Zadanie 9. Oblicz moment bezwładności jednakowo obciążonych wierzchołków kwadratu względem jego środka i względem środka jego boku.

Zadanie 10. Oblicz moment bezwładności jednakowo obciążonych wierzchołków czwo- rokąta względem środka odcinka łączącego środki jego przekątnych mając dane długości boków i przekątnych tego czworokąta.

1

(2)

Zadanie 11. Udowodnij wzór Eulera wiążący promień R okręgu opisanego na trójkącie, promień r okręgu wpisanego w ten trójkąt i odległość d środków tych okręgów:

d² = R(R − 2r).

Zadanie 12. Okręgiem Apoloniusza nazywany jest zbiór punktów M płaszczyzny speł- niających dla danych punktów A i B oraz liczby λ 6= 1 warunek

|M A| = λ|M B|. Wykaż, że to faktycznie okrąg, i znajdź jego promień.

Zadanie 13. Na płaszczyźnie dane są punkty materialne mA i −mB. Wykaż, że zbiór punktów, dla których moment bezwładności tych punktów jest równy danej liczbie h, tworzy prostą protopadłą do prostej AB. Jak to uogólnić na przestrzeń trójwymiarową?

Zadanie 14. Wykaż, że na płaszczyźnie zbiór punktów, względem których dany układ punktów materialnych ma dany moment bezwładności, to okrąg, prosta, punkt, zbiór pusty lub cała płaszczyzna.

Zadanie 15. Znajdź zbiór punktów płaszczyzny, dla których suma kwadratów odległości od wierzchołków danego na tej płaszczyźnie równoległoboku jest równa danej liczbie h.

2