4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10

WYKÃLADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007

Zbigniew BÃlocki

Typeset by AMS-TEX

Spis tre´sci

1. Podstawowe wÃlasno´sci liczb zespolonych 1 2. R´o˙zniczkowanie funkcji zespolonych 4

3. CaÃlkowanie funkcji zespolonych 8

4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10

5. Wz´or caÃlkowy Cauchy’ego 13

6. Podstawowe wÃlasno´sci funkcji holomorficznych 15

7. Szeregi pot egowe

17

8. Podstawowe wÃlasno´sci funkcji holomorficznych, cd. 19

9. Funkcje analityczne 21

10. Globalne twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 22

11. Szeregi Laurenta 29

12. Osobliwo´sci funkcji holomorficznych 31

13. Twierdzenie o residuach 34

13a. Obliczanie pewnych caÃlek rzeczywistych 35 14. Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych 39

15. Iloczyny niesko´ nczone 41

16. Funkcja Γ Eulera 47

17. Funkcja ζ Riemanna 49

18. Twierdzenie o liczbach pierwszych 52

19. Aproksymacja funkcji holomorficznych 55

20. Odwzorowania konforemne 59

21. Geometria hiperboliczna koÃla 63

22. Funkcje harmoniczne 65

23. Funkcje subharmoniczne 71

24. Nakrycia 74

25. Powierzchnie Riemanna 78

26. Problem Dirichleta, metoda Perrona 81

27. Funkcja Greena 86

28. CaÃlkowanie przez cz e´sci

88

29. Powierzchnie nie-g-hiperboliczne 92

30. Pewne zastosowania 98

31. Elementy geometrii riemannowskiej 99

32. Zespolone metryki zupeÃlne o staÃlej krzywi´znie 106

33. Iteracja funkcji wymiernych 111

Literatura 115

WykÃlad 1, 26.02.2007

1. Podstawowe wÃlasno´sci liczb zespolonych

Liczb a zespolon

a nazywamy par

e liczb rzeczywistych, zbi´or liczb zespolonych C

to zatem dokÃladnie zbi´or R

. Element z = (x, y) ∈ C zapisujemy w postaci x + iy.

Na zbiorze C wprowadzamy mno˙zenie (zgodnie z reguÃl a i

= −1):

(x

+ iy

)(x

+ iy

) = x

x

− y

y

+ i(x

y

+ x

y

).

Mo˙zna Ãlatwo pokaza´c

, ˙ze C z dodawaniem wektorowym w R

oraz tak wprowadzonym mno˙zeniem jest ciaÃlem. Je˙zeli z = x + iy, to x nazywamy cz e´sci

a rzeczywist

a, natomiast y cz

e´sci

a urojon

a liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z.

Ka˙zd a liczb

e zespolon

a z mo˙zemy r´owie˙z zapisa´c przy pomocy wsp´oÃlrz

ednych bie-

gunowych:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = |z| = p

x

+ y

, za´s ϕ jest k atem pomi

edzy odcinkami [0, 1] i [0, z]

(gdy z 6= 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywi´scie nier´owno´s´c tr´ojk ata

|z + w| ≤ |z| + |w|, z, w ∈ C, mo˙zna r´ownie˙z Ãlatwo pokaza´c

, ˙ze

|zw| = |z| |w|, z, w ∈ C.

Chcemy teraz zdefiniowa´c zespolon a funkcj

e wykÃladnicz

a exp : C → C. Dla

z = x + iy ∈ C oczekujemy, ˙ze e

= e

e

, czyli wystarczy okre´sli´c e

dla t ∈ R.

Chcemy by funkcja ta speÃlniaÃla d

dt e

= ie

, e

= 1,

a wi ec (oznaczaj

ac e

= A + iB) A

= −B, B

= A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwi azaniem tego ukÃladu s

a funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcj

e wykÃladnicz

a

definiujemy zatem nast epuj

aco:

e

:= e

(cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C.

Mo˙zna Ãlatwo pokaza´c

jej nast epuj

ace wÃlasno´sci

e

= e

e

, z, w ∈ C, d

dt e

= ze

, t ∈ R, z ∈ C.

Z faktu, ˙ze |e

| = e

oraz dzi eki temu, ˙ze y jest argumentem liczby e

wynika, ˙ze

funkcja wykÃladnicza proste pionowe x = x

odwzorowuje na okr egi o promieniu e

,

natomiast proste poziome y = y

na p´oÃlproste otwarte o pocz atku w 0 o argumencie

y

.

Wracaj ac do wsp´oÃlrz

ednych biegunowych, mo˙zemy je teraz zapisa´c w postaci

z = re

. Dla z 6= 0 przez arg z oznaczamy zbi´or argument´ow liczby z, tzn.

arg z := {ϕ ∈ R : z = |z|e

}.

Poniewa˙z e

= e

, dla dowolnego ϕ

∈ arg z mamy arg z = {ϕ

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Dla ka˙zdego z ∈ C

(:= C \ {0}) znajdziemy dokÃladnie jeden element arg z nale˙z acy

do przedziaÃlu [−π, π). Nazywamy go argumentem gÃl´ownym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg , okre´slona na C

, jest nieci agÃla na p´oÃlprostej (−∞, 0).

Mo˙zemy teraz poda´c geometryczn a interpretacj

e mno˙zenia w C: je˙zeli z = re

, w = ρe

, to zw = rρe

; czyli mno˙zymy dÃlugo´sci, a dodajemy argumenty.

Mo˙zemy st ad r´ownie˙z wywnioskowa´c wz´or de Moivre’a: z tego, ˙ze (e

)

= e

otrzymamy

(cos ϕ + i sin ϕ)

= cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ ∈ R, n ∈ N.

Dla danego z ∈ C oraz n ∈ N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbi´or

√

z := {w ∈ C : w

= z}.

Zapisuj ac z i w we wsp´oÃlrz

ednych biegunowych:

z = re

, w = ρe

, otrzymamy warunki

ρ = r

, ψ = ϕ + 2kπ

n , k ∈ Z.

Poniewa˙z e

= e

, dla k = 0, 1, . . . , n − 1 otrzymamy wszystkie rozwi azania.

Zatem

√

z = {|z|

e

: k = 0, 1, . . . , n − 1}.

W szczeg´olno´sci, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym.

Cwiczenie´

Udowodni´c, ˙ze rozwi azaniem r´ownania kwadratowego w C:

az

+ bz + c = 0,

gdzie a ∈ C

, b, c ∈ C, jest

z = −b + √

∆ 2a , gdzie ∆ = b

− 4ac, przy czym √

∆ jest zbiorem dwuelementowym je˙zeli ∆ 6= 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwi azania (jedno je˙zeli ∆ = 0).

W przypadku wielomian´ow dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry.

Twierdzenie 1.1. Ka˙zdy niestaÃly wielomian zespolony ma pierwiastek.

Powy˙zszy rezultat mo˙zna udowodni´c w spos´ob elementarny przy pomocy lematu d’Alemberta (oryginalny dow´od z 1746 r. zawieraÃl luk e).

Lemat 1.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze P jest niestaÃlym wielomianem zespolonym oraz, ˙ze dla pewnego z

∈ C mamy P (z

) 6= 0. Wtedy dla ka˙zdego otoczenia U punktu z

znajdziemy z ∈ U takie, ˙ze |P (z)| < |P (z

)|.

Dow´od. (Argand, 1806) Niech

P (z) = a

+ a

z + · · · + a

z

. Wtedy

P (z

+ h) = a

+ a

(z

+ h) + · · · + a

(z

+ h)

= P (z

) + A

h + · · · + A

h

, gdzie wsp´oÃlczynniki A

zale˙z a tylko od P i z

. Kt´ory´s z nich na pewno nie znika, gdy˙z w przeciwnym wypadku wielomian P byÃlby staÃly. Niech j b edzie najmniej-

szym indeksem, dla kt´orego A

6= 0. Mamy zatem

P (z

+ h) = P (z

) + A

h

+ R(h), gdzie

|R(h)| < |A

h

|,

gdy |h| jest odp. maÃle, h 6= 0. Mo˙zemy znale´z´c h o dowolnie maÃlym |h|, dla kt´orego A

h

ma argument przeciwny do argumentu P (z

). Wtedy

|P (z

+ h)| ≤ |P (z

) + A

h

| + |R(h)| = |P (z

)| − |A

h

| + |R(h)| < |P (z

)|. ¤ Dow´od Twierdzenia 1.1. Oznaczaj ac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zakÃladaj

ac,

˙ze a

6= 0, mamy

|P (z)| ≥ |a

| |z|

− |a

+ a

z + · · · + a

z

|

≥ |a

| |z|

− |a

| − |a

| |z| − · · · − |a

| |z|

.

Mo˙zemy w szczeg´olno´sci znale´z´c R > 0 takie, ˙ze |P (z)| > |P (0)|, gdy |z| = R.

Funkcja |P | jest ci agÃla na C (bo oczywiste jest, ˙ze mno˙zenie jest odwzorowaniem

ci agÃlym), znajdziemy zatem z

∈ K(0, R) takie, ˙ze

|P (z

)| = min

K(0,R)

|P |.

Je˙zeli P (z

) 6= 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z ∈ K(0, R) takie, ˙ze |P (z)| <

|P (z

)| - sprzeczno´s´c. ¤ Dla z ∈ C

definiujemy

log z := {w ∈ C : e

= z}

(dla z = 0 ten zbi´or jest oczywi´scie pusty). Je˙zeli zapiszemy w = η + iξ, z = re

, to otrzymamy r´ownanie e

e

= re

. Zatem η = log r = log |z|, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z. Ostatecznie

log z = log |z| + iarg z.

Liczb e

Log z := log |z| + iArg z nazywamy logarytmem gÃl´ownym z.

Przy pomocy logarytmu mo˙zemy zdefiniowa´c pot egi zespolone: dla z ∈ C

, w ∈ C kÃladziemy

z

= e

. Zauwa˙zmy, ˙ze

z

= e

= |z|

e

, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka.

Cwiczenie´

Obliczy´c i

. Przypomnijmy, ˙ze

e

= cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R.

Zespolone funkcje trygonometryczne mo˙zna Ãlatwo wyprowadzi´c ze wzor´ow Eulera:

e

= cos z + i sin z, e

= cos z − i sin z.

St ad

cos z := e

+ e

2 ,

sin z := e

− e

2i . Mamy r´ownie˙z

cosh z := cos(iz) = e

+ e

2 ,

sinh z := −i sin(iz) = e

− e

2 .

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze arccos z = −i log(z + √

z

− 1).

Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz e˙zenie: z := x − iy. Natych-

miast otrzymujemy, ˙ze

|z|

= zz.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze (zw) = z w oraz e

= e

.

2. R´ o˙zniczkowanie funkcji zespolonych

Oczywi´scie ka˙zde odwzorowanie liniowe C → C jest postaci

(2.1) C 3 z 7−→ az ∈ C

dla pewnego a ∈ C. Poniewa˙z C = R

, mo˙zemy r´ownie˙z rozpatrywa´c r´ownania liniowe w sensie rzeczywistym - b ed

a one postaci

C = R

3 z 7−→ Az 3 R

= C,

gdzie

(2.2) A =

µ p q s t

¶

, p, q, s, t ∈ R.

Takie odwzorowania C → C b edziemy nazywa´c R-liniowymi, natomiast odwzorowa-

nia postaci (2.1) C-liniowymi. Mo˙zna Ãlatwo sprawdzi´c, ˙ze ka˙zde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci

A =

µ α −β

β α

¶ ,

gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = −s w (2.2) (

).

Niech f b edzie funkcj

a o warto´sciach zespolonych okre´slon

a w pewnym otoczeniu

punktu z

∈ C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, ˙ze f jest C-r´o˙zniczkowalna w punkcie z

, je˙zeli istnieje granica

z→z

lim

f (z) − f (z

) z − z

∈ C.

Granic e t

e nazywamy pochodn

a zespolon

a funkcji f w z

i oznaczamy przez f

(z

).

Jest oczywiste, ˙ze ka˙zda funkcja C-r´o˙zniczkowalna w z

jest w ci agÃla w z

. W podobny spos´ob jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych wÃlas- no´sci funkcji C-r´o˙zniczkowalnych.

Propozycja 2.1. Je˙zeli funkcje f, g s a C-r´o˙zniczkowalne w z

, to funkcje f ± g, f g oraz f /g (ta ostatnia pod warunkiem, ˙ze g(z

) 6= 0) s a C-r´o˙zniczkowalne w z

oraz w z

mamy

(f ± g)

= f

± g

, (f g)

= f

g + f g

, µ f

g

¶

= f

g − f g

g

. ¤

Propozycja 2.2. Je˙zeli f jest C-r´o˙zniczkowalna w z

, za´s g jest C-r´o˙zniczkowalna w f (z

), to g ◦ f jest C-r´o˙zniczkowalna w z

oraz

(g ◦ f )

(z

) = g

(f (z

)) f

(z

). ¤

Przypomnijmy, ˙ze funkcja zespolona f jest r´o˙zniczkowalna w z

w klasycznym sensie (b edziemy wtedy m´owi´c, ˙ze jest ona R-r´o˙zniczkowalna), je˙zeli istnieje odwzo-

rowanie R-liniowe A takie, ˙ze

z→z

lim

|f (z) − f (z

) − A(z − z

)|

|z − z

| = 0.

Je˙zeli f = u + iv, gdzie u, v s a funkcjami rzeczywistymi, to

A =

µ u

(z

) u

(z

) v

(z

) v

(z

)

¶

(ozn. u

= ∂u/∂x, u

= ∂u/∂y). Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zda funkcja C-r´o˙zniczkowalna jest R-r´o˙zniczkowalna, przy czym

A =

µ Re f

(z

) −Im f

(z

) Im f

(z

) Re f

(z

)

¶ .

PrzykÃlad. Funkcja f (z) = z, z ∈ C, jest R-r´o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-r´o˙zniczkowalna: zauwa˙zmy, ˙ze dla t ∈ R mamy

z − z

z − z

=

½ 1, je˙zeli z = z

+ t,

−1, je˙zeli z = z

+ it, czyli odpowiednia granica nie istnieje.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f = u + iv jest R-r´o˙zniczkowalna w z

. Oznaczaj ac f

= u

+ iv

, f

= u

+ iv

mamy

f (z) = f (z

) + f

(z

)(x − x

) + f

(z

)(y − y

) + o(|z − z

|).

Poniewa˙z

(2.3) x = z + z

2 , y = z − z 2i , otrzymamy

f (z) = f (z

) + f

(z

) − if

(z

)

2 (z − z

) + f

(z

) + if

(z

)

2 (z − z

) + o(|z − z

|).

Dla funkcji R-r´o˙zniczkowalnej definiujemy pochodne formalne

(2.4)

∂f

∂z (= f

) := 1 2

µ ∂f

∂x − i ∂f

∂y

¶ ,

∂f

∂z (= f

) := 1 2

µ ∂f

∂x + i ∂f

∂y

¶ .

WykÃlad 2, 5.03.2007

Pochodne cz astkowe ∂/∂z i ∂/∂z prowadzi´c mo˙zemy r´ownie˙z przy pomocy formy

df : mamy

f

dx + f

dy = df = f

dz + f

dz = f

(dx + idy) + f

(dx − idy), a st ad

(2.5)

½ f

= f

+ f

,

f

= i(f

− f

),

sk ad Ãlatwo dostaniemy (2.4).

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze dla dowolnej funkcji R-r´o˙zniczkowalnej f mamy µ ∂f

∂z

¶

= ∂f

∂z , µ ∂f

∂z

¶

= ∂f

∂z .

Cwiczenie´

Obliczy´c f

oraz f

, gdzie f (z) = |z|

Re (z

).

Dla funkcji R-r´o˙zniczkowalnej w z

mamy wi ec

f (z) = f (z

) + f

(z

)(z − z

) + f

(z

)(z − z

) + o(|z − z

|) oraz, dla z 6= z

,

f (z) − f (z

)

z − z

= f

(z

) + f

(z

) z − z

z − z

+ o(|z − z

|) z − z

.

Wsp´olnie z ostatnim przykÃladem daje to nast epuj

ac

a charakteryzacj

e funkcji C-

r´o˙zniczkowalnych.

Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-r´o˙zniczkowalna w punkcie z

wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-r´o˙zniczkowalna w z

oraz f

(z

) = 0, tzn. w z

speÃlnione s a r´ownania Cauchy’ego-Riemanna:

½ u

= v

, u

= −v

. W takiej sytuacji f

(z

) = f

(z

). ¤

Powiemy, ˙ze funkcja f : Ω → C, gdzie Ω jest zbiorem otwartym w C, jest holomorficzna, je˙zeli jest ona C-r´o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie. Zbi´or wszyst- kich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O

(Ω) zbi´or nigdzie nieznikaj acych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika,

˙ze suma, iloczyn, iloraz i zÃlo˙zenie funkcji holomorficznych s a funkcjami holomor-

ficznymi. Je˙zeli f = u + iv jest R-r´o˙zniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy speÃlnione s a r´ownania Cauchy’ego-Riemanna.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze e

jest jedyn a funkcj

a z O(C) tak

a, ˙ze f

= f oraz f (0) = 1.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze cos, sin, cosh, sinh ∈ O(C) oraz obliczy´c pochodne zespolo- ne tych funkcji.

Propozycja 2.4. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f jest holomorficzna i klasy C

w pewnym otoczeniu z

∈ C oraz f

(z

) 6= 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z

oraz V - otwarte otoczenie f (z

), t.˙ze f : U → V jest bijekcj a, f

jest holomorficzna oraz

(2.6) (f

)

(f (z)) = 1

f

(z) , z ∈ U.

Dow´od. Je˙zeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista r´o˙zniczka f ma posta´c A :=

µ u

u

v

v

¶

=

µ u

u

−u

u

¶

dzi eki r´ownaniom Cauchy’ego-Riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C-

r´o˙zniczkowalno´sci

f

= f

= u

− iu

. Mamy wi ec

det A = u

+ u

= |f

|

.

Dzi eki temu, ˙ze f

(z

) 6= 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, ˙ze istniej a odp. otoczenia U i V , t.˙ze f : U → V jest bijekcj

a klasy C

oraz f

jest r´ownie˙z klasy C

. Zapiszmy f

= α + iβ. R´o˙zniczka f

jest r´owna

µ α

α

β

β

¶

= A

= 1 u

+ u

µ u

−u

u

u

¶ .

W szczeg´olno´sci α

= β

, α

= −β

, czyli f

jest holomorficzna. FormuÃl e (2.6)

dostaniemy r´o˙zniczkuj ac wz´or

f

(f (z)) = z, z ∈ U. ¤

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze Log z ∈ O(C \ (−∞, 0]) oraz (Log z)

= 1/z.

Podamy teraz formuÃl e na r´o˙zniczkowanie zÃlo˙zenia funkcji zespolonej z krzyw

a.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcje f : Ω → C oraz γ = (γ

, γ

) : (a, b) → Ω s a r´o˙zniczkowalne

(w klasycznym sensie). Wtedy, korzystaj ac z (rzeczywistej) formuÃly na pochodn

a

zÃlo˙zenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy

(2.7)

d

dt f (γ(t)) = f

(γ(t)) γ

(t) + f

(γ(t)) γ

(t)

= f

(γ(t)) γ

(t) + f

(γ(t))γ

(t).

3. CaÃlkowanie funkcji zespolonych

Niech a, b ∈ R, a < b. Funkcj e γ : [a, b] → C nazywamy drog

a, je˙zeli γ jest

ci agÃla oraz γ jest kawaÃlkami klasy C

, tzn. istniej a a = t

< t

< · · · < t

= b takie, ˙ze γ ∈ C

([t

, t

]), j = 0, 1, . . . , n − 1. Punkt γ(a) nazywamy pocz atkiem

za´s γ(b) ko´ ncem drogi γ. Obraz γ b edziemy oznacza´c γ

. Je˙zeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy drog a zamkni

et

a.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f : γ([a, b]) → C jest funkcj a ci

agÃl

a. Definiujemy

Z

γ

f (z)dz :=

Z

a

f (γ(t))γ

(t)dt.

(Powy˙zsz a definicj

e otrzymamy tak˙ze rozpatruj

ac cz

e´s´c rzeczywist

a i urojon

a formy

r´o˙zniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja pod caÃlk a jest

caÃlkowalna w sensie Riemanna niezale˙znie od tego jakie warto´sci przyjmuje w punk- tach t

. Ponadto, je˙zeli ϕ : [c, d] → [a, b] jest dyfeomorfizmem, to e γ := γ ◦ ϕ jest drog a tak

a, ˙ze e

γ

= γ

oraz

Z

e γ

f (z)dz = Z

c

f (γ(ϕ(s)))γ

(ϕ(s))ϕ

(s)ds = ( R

γ

f (z)dz, je˙zeli ϕ

> 0;

− R

γ

f (z)dz, je˙zeli ϕ

< 0.

Zatem, je˙zeli γ|

jest iniekcj a, to

R

γ

f (z)dz zale˙zy tylko od obrazu γ oraz od kierunku, w kt´orym caÃlkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji b edziemy

cz esto uto˙zsamia´c drogi z ich obrazem oraz odpowiedni

a orientacj

a.

W szczeg´olno´sci, je˙zeli D jest obszarem, kt´orego brzeg mo˙zna iniektywnie spara- metryzowa´c drog a zamkni

et

a, to mo˙zemy m´owi´c o dodatniej orientacji ∂D - b

edzie

ni a dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskaz´owek zegara.

CaÃlka R

∂D

f (z)dz ma w´owczas sens, gdy˙z nie zale˙zy od wyboru takiej parametryza- cji (i jest ona zgodna z caÃlk a z formy po krzywej gÃladkiej). B

edziemy u˙zywa´c tego

oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest koÃlem lub wn etrzem tr´ojk

ata.

Je˙zeli f jest okre´slone w pewnym otoczeniu obrazu drogi γ i ma tam funkcj e

pierwotn a, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, ˙ze F

= f , to z (2.7) otrzy- mamy

(3.1)

Z

γ

f (z)dz = Z

a

d

dt F (γ(t)) dt = F (γ(b)) − F (γ(a)).

W szczeg´olno´sci, je˙zeli γ jest drog a zamkni

et

a, to

R

γ

f (z)dz = 0.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze je˙zeli funkcja f = u + iv ma pierwotn a, to pole wektorowe

(v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = ∇χ dla pewnej funkcji χ.

PrzykÃlad. Dla n ∈ Z, z

∈ C oraz r > 0 obliczymy Z

∂K(z₀,r)

(z − z

)

dz.

Odpowiedni a parametryzacj

a tego okr

egu b

edzie

γ(t) = z

+ re

, 0 ≤ t ≤ 2π.

Wtedy γ

(t) = rie

oraz

(3.2) Z

∂K(z0,r)

(z − z

)

dz = Z

0

r

ie

dt =

½ 0, je˙zeli n 6= −1;

2πi, je˙zeli n = −1.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla n 6= −1 wynika to r´ownie˙z z (3.1), gdy˙z wtedy funkcja (z−z

)

ma pierwotn a okre´slon

a w otoczeniu ∂K(z

, r). Pokazuje to tak˙ze, ˙ze funkcja 1/(z −z

) nie ma pierwotnej w ˙zadnym pier´scieniu o ´srodku w z

.

Je˙zeli z, w ∈ C, to przez [z, w] oznaczamy drog e dan

a przez parametryzacj

e

γ(t) = (1 − t)z + tw, t ∈ [0, 1].

Cwiczenie´

Obliczy´c Z

[1,i]

Log z dz.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze Z

∂K(z0,r)

dζ

ζ − z = 2πi, z ∈ K(z

, r),

trzema sposobami:

i) wprost z definicji, korzystaj ac z faktu, ˙ze sinus jest funkcj

a nieparzyst

a, a

cosinus parzyst a, wyprowadzi´c

Z

∂K(z0,r)

dζ ζ − z = 2i

Z

0

1 + a cos t 1 + 2a cos t + a

dt, gdzie a = |z − z

|/r < 1 i obliczy´c odp. caÃlk e nieoznaczon

a;

ii) udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej p´oÃlprostej P o pocz atku w z funkcja ζ 7→ 1/(ζ − z)

ma pierwotn a w C \ P oraz u˙zy´c (3.1), (3.2);

iii) pokaza´c, ˙ze 1 ζ − z =

X

(z − z

)

(ζ − z

)

, z ∈ K(z

, r), ζ ∈ ∂K(z

, r), przy czym zbie˙zno´s´c jest jednostajna dla ζ ∈ ∂K(z

, r), i u˙zy´c (3.2).

Zauwa˙zmy, ˙ze (3.3)

¯ ¯

¯ ¯ Z

γ

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ Z

a

|f (γ(t))| |γ

(t)|dt ≤ l(γ) max

γ

|f |, gdzie

l(γ) :=

Z

a

|γ

(t)|dt jest dÃlugo´sci a γ.

WykÃlad 3, 12.03.2007

4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego

Podstawow a wÃlasno´sci

a geometryczn

a funkcji holomorficznych jest twierdzenie

caÃlkowe Cauchy’ego. ÃLatwo wynika ono ze wzoru Greena w nast epuj

acym przy-

padku (Cauchy, 1825): zaÃl´o˙zmy, ˙ze f jest funkcj a holomorficzn

a klasy C

w ob- szarze Ω, natomiast γ jest drog a zamkni

et

a w Ω, kt´ora parametryzuje brzeg klasy

C

obszaru D b Ω. Wtedy

Z

γ

f (z)dz = Z

D

d(f dz) = Z

D

f

dz ∧ dz = 0.

GÃl´ownym problemem w uog´olnieniu tego faktu jest pozbycie si e zaÃlo˙zenia, ˙ze f jest

klasy C

. ZostaÃlo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie og´olnej wersji twierdzenia caÃlkowego Cauchy’ego byÃlo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu tr´ojk ata (sam Goursat rozpatrywaÃl czworok

aty, jak

jednak wkr´otce zauwa˙zyÃl Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata byÃly tr´ojk aty).

Twierdzenie 4.1. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f ∈ O(Ω \ {z

}) ∩ C(Ω), gdzie Ω jest otwartym podzbiorem C, za´s z

∈ Ω. Wtedy dla dowolnego tr´ojk ata T ⊂ Ω (czyli otoczki

wypukÃlej trzech niewsp´oÃlliniowych punkt´ow) mamy

Z

∂T

f (z)dz = 0.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze z

∈ T . Przez z /

, z

, z

oznaczmy wierzchoÃlki T . Rozpatruj ac punkty (z

+ z

)/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy tr´ojk at T na cztery tr´ojk

aty

T

, . . . , T

. Mamy wtedy

Z

∂T

f (z)dz = X

Z

∂T^j

f (z)dz.

Wybieraj ac jako T

odpowiedni z tr´ojk at´ow T

, . . . , T

otrzymamy

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 4

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T₁

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ .

Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze l(∂T

) = l(∂T )/2. W ten sam spos´ob wybieramy indukcyjnie tr´ojk aty T

, n = 1, 2, . . . , tak, ˙ze

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z

∂T_n−1

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ 4

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T_n

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯

oraz l(∂T

) = l(∂T

)/2. Otrzymali´smy zatem zst epuj

acy ci

ag tr´ojk

at´ow T

taki,

˙ze (4.1)

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 4

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯

oraz

(4.2) diam(T

) ≤ l(∂T

)

2 = l(∂T ) 2

. Z twierdzenia Cantora wynika, ˙ze

\

T

= {e z}

dla pewnego e z ∈ T . Z C-r´o˙zniczkowalno´sci f w e z mamy f (z) = f (e z) + ¡

f

(e z) + ε(z) ¢

(z − e z), gdzie

z→e

lim

ε(z) = 0.

Poniewa˙z funkcja f (e z) + f

(e z)(z − e z) ma pierwotn a, z (3.1) i (3.3) wynika, ˙ze

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

ε(z)(z − e z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ l(∂T

)diam(T

) max

T_n

|ε|.

Korzystaj ac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla ka˙zdego n

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ (l(∂T ))

2 max

T_n

|ε|,

czyli twierdzenie zachodzi przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze z

∈ T . /

Je˙zeli z

∈ T , to dziel ac T na trzy (lub dwa) mniejsze tr´ojk

aty, kt´orych wierz-

choÃlkiem jest z

widzimy, ˙ze bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze z

jest jednym z wierzchoÃlk´ow T . Je˙zeli teraz podzielimy T na tr´ojk at T

o wierzchoÃlku w z

oraz czworok at Q

tak, ˙ze l(T

) d a˙zy do 0, to z poprzedniej cz

e´sci wnioskujemy, ˙ze

Z

Q_n

f (z)dz = 0,

zatem ¯

¯ ¯

¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z

∂T_n⁰

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ l(T

) max

T

|f |. ¤

PrzykÃlady. i) Niech f (z) = e

i dla R > 0 niech T

b edzie tr´ojk

atem o wierz-

choÃlkach 0, R, R + iR. Z Twierdzenia 4.1 mamy

Z

∂T_R

f (z)dz = 0.

Cwiczenie´

Wywnioskowa´c st ad, ˙ze

Z

0

cos t

dt = Z

0

sin t

dt = r π

8 .

ii)

CaÃlkuj ac funkcj

e e

po brzegu prostok ata o wierzchoÃlkach

0, R, R + λi, λi (poniewa˙z ka˙zdy wielok at mo˙zemy podzieli´c na sko´

nczon a liczb

e

tr´ojk at´ow, jest jasne, ˙ze Twierdzenie 4.1 zachodzi w przypadku, gdy T jest dowol-

nym wielok atem) pokaza´c, ˙ze

Z

0

e

cos(2λx)dx =

√ π

2 e

, λ ∈ R.

Nast epnym krokiem jest pokazanie zwi

azku twierdzenia caÃlkowego Cauchy’ego z

istnieniem funkcji pierwotnej.

Twierdzenie 4.2. Niech Ω b edzie obszarem w C, natomiast f funkcj

a ci

agÃl

a w Ω.

Wtedy nast epuj

ace warunki s

a r´ownowa˙zne

i) Istnieje F ∈ O(Ω) takie, ˙ze F

= f ; ii)

Z

γ

f (z)dz = 0 dla ka˙zdej drogi zamkni etej γ w Ω.

Je˙zeli Ω jest obszarem gwia´zdzistym, to powy˙zsze warunki s a r´ownowa˙zne nast

epu-

j acej wÃlasno´sci

iii) Z

∂T

f (z)dz = 0 dla ka˙zdego tr´ojk ata T ⊂ Ω.

Dow´od. Implikacja i)⇒ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z

∈ Ω. Dla z ∈ Ω niech γ b edzie dowoln

a drog

a Ãl

acz

ac

a z

oraz z. KÃladziemy

F (z) :=

Z

γ

f (ζ)dζ.

Dzi eki i) wida´c, ˙ze definicja F nie zale˙zy od wyboru γ. Dla odp. maÃlych h mamy

(4.3) F (z + h) − F (z) =

Z

[z,z+h]

f (ζ)dζ, a st ad, dzi

eki (3.3),

¯ ¯

¯ ¯ F (z + h) − F (z)

h − f (z)

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 h

Z

[z,z+h]

(f (ζ) − f (z))dζ

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ sup

ζ∈[z,z+h]

|f (ζ) − f (z)|.

Z ci agÃlo´sci f w z wynika, ˙ze ostatnie wyra˙zenie d

a˙zy do 0. Otrzymali´smy zatem,

˙ze F ∈ O(Ω) oraz F

= f .

Je˙zeli Ω jest gwia´zdzisty, to implikacja ii)⇒iii) jest trywialna, natomiast, zakÃla- daj ac, ˙ze zachodzi iii) i ˙ze Ω jest gwia´zdzisty wzgl

edem z

, kÃladziemy

F (z) :=

Z

[z0,z]

f (z)dz, z ∈ Ω.

Z iii) wynika, ˙ze zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, ˙ze F

= f . ¤

Z Twierdze´ n 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy’ego dla zbior´ow gwia´z- dzistych.

Wniosek 4.3. Je˙zeli obszar Ω jest gwia´zdzisty i f ∈ O(Ω\{z

})∩C(Ω) dla pewnego

z

∈ Ω, to Z

γ

f (z)dz = 0 dla ka˙zdej drogi zamkni etej γ w Ω. ¤

5. Wz´ or caÃlkowy Cauchy’ego

Podstawow a wÃlasno´sci

a funkcji holomorficznych jest wz´or caÃlkowy Cauchy’ego

(1831), kt´ory odtwarza dan a funkcj

e wewn

atrz koÃla z jej warto´sci na brzegu.

Twierdzenie 5.1. Je˙zeli f jest funkcj a holomorficzn

a w otoczeniu koÃla K(z

, r), to

(5.1) f (z) = 1

2πi Z

∂K(z0,r)

f (ζ)

ζ − z dζ, z ∈ K(z

, r).

Co wi ecej, f jest C-r´o˙zniczkowalna dowoln

a ilo´s´c razy oraz

f

(z) = n!

2πi Z

∂K(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z)

dζ, z ∈ K(z

, r), n = 1, 2, . . .

Dow´od. Niech Ω b edzie gwia´zdzistym otoczeniem K(z

, r), w kt´orym funkcja f jest okre´slona. Dla ζ ∈ Ω zdefiniujmy

g(ζ) :=

 



f (ζ) − f (z)

ζ − z , ζ 6= z,

f

(z), ζ = z.

Wtedy g ∈ O(Ω \ {z}) ∩ C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, ˙ze

0 = Z

∂K(z₀,r)

g(ζ)dζ = Z

∂K(z₀,r)

f (ζ)

ζ − z dζ − 2πif (z).

Otrzymali´smy zatem (5.1). Druga cz e´s´c tezy wynika z faktu, ˙ze mo˙zemy teraz

r´o˙zniczkowa´c pod znakiem caÃlki, zauwa˙zmy, ˙ze

µ ∂

∂z

¶

µ 1 ζ − z

¶

=0, µ ∂

∂z

¶

µ 1 ζ − z

¶

= 1

(ζ − z)

. ¤

Druga cz e´s´c Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem og´olnego rezulatu o

holomorficzno´sci funkcji danej wzorem caÃlkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych).

Lemat 5.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze γ jest dowoln a drog

a w C, natomiast g funkcj

a ci

agÃl

a na

γ

. PoÃl´o˙zmy

f (z) :=

Z

γ

g(ζ)

ζ − z dζ, z ∈ C \ γ

.

Wtedy f ∈ O(C \ γ

), f jest C-r´o˙zniczkowalna dowoln a ilo´s´c razy oraz dla n =

1, 2, . . . mamy

f

(z) = n!

Z

γ

g(ζ)

(ζ − z)

dζ, z ∈ C \ γ

. ¤

Cwiczenie´

Obliczy´c Z

∂K(0,2)

e

(z + 1)

dz.

Je˙zeli rozpatrzymy wz´or Cauchy’ego dla z = z

oraz parametryzacj e ζ = z

+re

, 0 ≤ t ≤ 2π, otrzymamy twierdzenie o warto´sci ´sredniej.

Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Je˙zeli f jest funkcj a holomorficzn

a w otoczeniu koÃla

K(z

, r), to

f (z

) = 1 2π

Z

0

f (z

+ re

)dt. ¤

Bezpo´sredni a konsekwecj

a wzoru Cauchy’ego jest tak˙ze nier´owno´s´c Cauchy’ego

(1835).

Twierdzenie 5.4. Niech f ∈ O(K(z

, r)) b edzie taka, ˙ze |f | ≤ M dla pewnej

staÃlej M . Wtedy

|f

(z

)| ≤ n! M

r

, n = 1, 2, . . .

Dow´od. Wystarczy zastosowa´c wz´or Cauchy’ego w kole K(z

, ρ) dla ρ < r oraz

(3.3), a nast epnie skorzysta´c z dowolno´sci ρ. ¤