Wykład Rachunek całkowy

(1)

Wykład Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona Definicja

Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w danym przedziale, jeśli w tym przedziale zachodzi warunek

F’(x)=f(x) Przykład .

) 2

(x x

f 

Wówczas F(x) lub też F(x)

Zauważmy, że jest prawdziwe następujące twierdzenie:

Twierdzenie

Jeśli w pewnym przedziale χ F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to funkcja F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną f(x). Na odwrót, każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w przedziale χ może być przedstawiona w tej postaci.

Na mocy tego wyrażenie F(x)+C gdzie C jest dowolną stałą, jest ogólną postacią funkcji, która ma pochodną równą f(x) lub (różniczkę f(x)dx)

Definicja

Wyrażenie F(x)+C gdzie C jest dowolną stałą, zaś funkcja F(x) ma pochodną równą f(x) (czyli różniczkę f(x)dx) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem



^f⁽^x⁾^dx^.

Zatem możemy zapisać



^x²^dx Tablice całek podstawowych



^x^^dx^_¹_₁^x^^¹^^C ^ ^^¹



¹_x^dx^^ln^x ^^C



_x²¹_₁^dx^^arctgx^^C



_ ^dx^ ^x^^C

x

arcsin 1

1

2



^a^x^dx^_ln^a^x_a^^C ^zatem



^e^x^dx^^e^x^^C



^sin^x^dx^^^cos^x^^C

(2)



_sin¹² _x^dx^^^ctgx^^C



_cos¹²_x^dx^^tgx^^C

Własności całki nieoznaczonej

Poniższe własności są naturalną konsekwencją odpowiednich własności pochodnej 1. ^^c^^R



^c ^f⁽^x⁾^dx^^c



^f⁽^x⁾^dx

2.

 

^f⁽^x⁾^^g⁽^x⁾



^dx^



^f⁽^x⁾^dx^



^g⁽^x⁾^dx

Przykład

 



³^x⁶^⁷^x⁴^¹²^x³^⁵^dx^



^_^_cos⁵²_x^⁷ ^x^_^^dx^



^_^⁵^x^ _x¹² ^_^^dx^

Podstawowe metody całkowania 1. Całkowanie przez części

Wychodząc od poznanego wcześniej wzoru na pochodną iloczynu funkcji, można wyprowadzić następujący wzór znany jako reguła całkowania przez części:



^f⁽^x⁾^g^'⁽^x⁾^dx^^f⁽^x⁾^g⁽^x⁾^ ^f^'⁽^x⁾^g⁽^x⁾^dx

Przykład



^xsin^x^dx^

(3)

Przykład



^{x sin}² ^x^dx^

Przykład



^{x ln}^x^dx^

2.Całkowanie przez podstawienie

Z kolei wychodząc od wzoru na pochodną funkcji złożonej, można wyprowadzić następujący wzór znany jako reguła całkowania przez podstawienie:



^g⁽^w⁽^x⁾⁾^w^'⁽^x⁾^dx^



^g⁽^t⁾^dt, gdzie t = w(x)

przy czym zakładamy, że wszystkie występujące w tym wzorze funkcje są ciągłe w pewnym przedziale <a,b>

(4)

Przykład

 



³^x^¹ ⁵^dx^

Przykład



^x^ln(¹^^x²⁾^dx^

Przykład



^sin^xe^cos^x^dx^

Przykład



₁_^x_x⁴ ^dx^

Szczególne przypadki wzoru na całkowanie przez podstawienie C

x f x dx

f x

f  



^'₍⁽ ₎⁾ ^ln ⁽ ⁾

C x f dx x f

x

f  



^'⁽₍ ⁾₎ ² ⁽ ⁾

C b ax aF dx b ax

f    



⁽ ⁾ ¹ ⁽ ⁾ , gdzie F(x) jest funkcją pierwotna funkcji f(x)

(5)

Przykład



_cos^sin^x_x^dx^

Opracowanie dr Elżbieta Badach na podstawie:

Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN Warszawa 1985

Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach PWN Warszawa 2006