1. Prosz¦ udowodni¢, »e warto±ci wªasne macierzy hermitowskiej s¡ rzeczywiste.

Zadania z algebry na 26,27 maja 2015

1. Prosz¦ udowodni¢, »e warto±ci wªasne macierzy hermitowskiej s¡ rzeczywiste.

2. Prosz¦ udowodni¢, »e wektory wªasne macierzy hermitowskiej odpowiadaj¡ce ró»nym warto-

±ciom wªasnym s¡ wzajemnie ortogonalne:

A v ₁ = λ ₁ v ₁ A v ₂ = λ ₂ v ₂

λ ₂ 6= λ ₁







−→ v ^† ₁ v ₂ = 0

3. Prosz¦ zdiagonalizowa¢ nast¦puj¡ce macierze transformacj¡ ortogonaln¡ (tzn. wybra¢ or- tonormalny ukªad wektorów wªasnych, tak aby macierz β zbudowana z tego ukªadu byªa ortogonalna: β ^T = β ).

(a)

A ₁ =





0 2 −1

2 0 −1

−1 −1 3





(b) (zadanie ju» rozwi¡zane w grupie ±rodowej)

A ₂ =





0 1 1 1 0 1 1 1 0



 , (c)

A ₃ =





−5 −1 2

−1 −5 −2 2 −2 −2



 ,

4. Wykorzysta¢ diagonalizacj¦ macierzy A 2 z poprzedniego zadania do policzenia macierzy A ¹⁰⁰ ₂ . 5. Niech przestrze« wektorowa V oznacza zbiór wszystkich kombinacji liniowych funkcji sin φ,

cos φ . Niech A = _dφ ^d .

(a) Prosz¦ pokaza¢, »e A jest operatorem liniowym w V .

(b) Prosz¦ pokaza¢, »e wektory ˆe 1 = sin φ i ˆe 2 = cos φ stanowi¡ baz¦ w V .

(c) Prosz¦ policzy¢ macierz operatora A w tej bazie.

(d) Prosz¦ znale¹¢ warto±ci warto±ci wªasne i odpowiadaj¡ce im wektory wªasne tego ope- ratora. Uwaga: przyj¡¢, »e V jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad C.

6. Niech przestrze« wektorowa V oznacza zbiór wszystkich wielomianów co najwy»ej drugiego

stopnia w zmiennej t. Niech A = _dt ^d

.

(a) Prosz¦ pokaza¢, »e A jest operatorem liniowym w V .

(b) Prosz¦ pokaza¢, »e wektory ˆe 1 = 1 , ˆe 2 = t i ˆe 3 = t ² /2 stanowi¡ baz¦ w V .

(c) Prosz¦ policzy¢ macierz operatora A w tej bazie.

(d) Czy w przestrzeni V istnieje baza, w której macierz operatora A jest diagonalna?