Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy
Zestaw C1 Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu
a
n=
√ 1 + 2 + ... + n 2n + 3
Rozwi¸ azanie
Suma n-wyrazów ci¸ agu arytmetycznego 1 + 2 + ... + n =
1+n2n St¸ ad
a
n=
q
(1+n)n 22n + 3 = n
n · p1/2n + 1/2
2 + 3/n → 1 2 √
2 Zadanie 2
Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji
f (x) = 2x + sin x x
Rozwi¸ azanie
Dziedzin¸ a funkcji D jest prosta rzeczywista bez punktu 0.
x→0
lim f (x) = lim
x→0
(2x + sin x
x ) = 0 + 1 = 1 Wykres funkcji nie posiada wi¸ec asymptot pionowych
Ponadto
f (x)
x = 2 + sinx
x
2→ 2 + 0 = 2, gdy x → ±∞
oraz
f (x) − 2x = sinx
x → 0, gdy x → ±∞
Prosta o równaniu y = 2x jest asymptot¸ a ukośn¸ a wykresu funkcji w plus i minus nieskoń- czoności.
1
Zadanie 3
Prosz¸e wykazać, że równanie
2
x= log
2x + 3
ma conajmniej jedno rozwi¸ azanie na przedziale < 1, 4 > . Rozwi¸ azanie
Tworzymy funkcj¸e
f (x) = 2
x− log
2x − 3
Funkcja f jako różnica dwóch funkcji ci¸ agłych na przedziale < 1, 4 > jest funkcj¸ a ci¸ agł¸ a na tym przedziale.
Ponadto f (1) = 2 − log
21 − 3 = −1 < 0 i f (4) = 2
4− log
24 − 3 = 11 > 0 Na mocy twierdzenia (własności) Darboux funkcja f (x) ma conajmniej jedno jedno miejsce zerowe na przedziale < 1, 4 >.
Zatem równanie 2
x= log
2x + 3 ma conajmniej jedno rozwi¸ azanie na przedziale < 1, 4 >.
Co mieliśmy wykazać.
Zadanie 4
W jakich punktach i pod jakim k¸ atem przecinaj¸ a si¸e krzywe o równaniach y =
√1x, y = √
x?
Rozwi¸ azanie
K¸ atem mi¸edzy krzywymi nazywamy jeden z k¸ atów wierzchołkowych zawartych mi¸edzy stycznymi do krzywych w ich punkcie przeci¸ecia si¸e.
Dziedzinami funkcji f i g s¸ a odpowiednio przedziały D
f= (0, ∞), D
g=< 0, ∞).
Cz¸eści¸ a wspóln¸ a tych przedziałów jest D
f∩ D
g= (0, ∞).
Obliczamy współrz¸edne punktu przeci¸ecia si¸e krzywych.
f (x) = 1
√ x = √
x = g(x) ↔ |x| = 1 → x = 1
Obliczamy wartości pochodnych funkcji f , g w punkcie 1 - współczynniki kierunkowe stycznych.
f
0(x) = −1 2 √
x
3, f
0(1) = −1
2 = tan α, g
0(x) = 1 2 √
x , g
0(1) = 1
2 = tan β St¸ ad
tan γ = tan(β − α) tan β − tan α
1 − tan α · tan β = 1/2 + 1/2
1 − 1/2 · 1/2 = 1 3/4 = 4
3
γ = arctan 4
3 = 53.130
◦2
Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć
Z √ x + 1 x − 3 dx Rozwi¸ azanie
Stosujemy metod¸e podstawienia Z √
x + 1 x − 3 dx
y=√x+1, 2ydy=dx
−→
Z 2y
2y
2− 4 dy = 2 Z
1 + 4 y
2− 4
dy = 2
Z
dy + 4
Z dy y
2− 4
=
= 2 Z
dy+4· 1 4
Z dy y − 2 −
Z dy y + 2
= 2y+ln
y − 2 y + 2
+C = 2 √
x + 1+ln
√ x + 1 − 2
√ x + 1 + 2
+C
Zadanie 6
Dla jakiej wartości a wykres funkcji f (x) = a sin x dzieli obszar D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x}
na dwa obszary o jednakowych polach?
Rozwi¸ azanie
|D| = Z
π0
sin xdx = − cos x|
π0= 2.
|D
1| = 1
2 |D| = 1 = Z
π0
