Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

(1)

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw D1 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

a _n = √

2n ² + n − n √ 2

Rozwi¸ azanie

Stosuj¸ ac znan¸ a ze szkoły śrdniej tożsamość

a − b = a ² − b ² a + b Otrzymujemy

√

2n ² + n−n √

2 = ( √

2n ² + n) ² − (n √ 2) ²

√ 2n ² + n + n √

2 = n

√ 2n ² + n + n √ 2 = n

n · 1

p2 + 1/n + √

2 → 1 2 √

2 Zadanie 2

Prosz¸e zbadać istnienie asymptot wykresu funkcji f (x) = √

xlnx

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji D jest otwarta półprosta rzeczywista (0, ∞).

lim

x→0

⁺

f (x) = lim

x→0

⁺

√ xlnx = [0 · −∞] =

lim

x→0

⁺

lnx

x ^−1/2 = [−∞/∞]H = lim _x→0

⁺

1/x

−1/2x ^−3/2 == lim _x→0

⁺

(−2 √

x) = 0.

Wykres funkcji nie posiada asymptot pionowych.

f (x)

x =

√ xlnx

x = lnx

√ x = [−∞/∞]H = lim

x→∞

1/x 1/2 √

x = 2 lim

x→∞

√ 1 x = 0

x→∞ lim (f (x) − 0x) = lim

x→∞

√ xlnx = ∞ Wykres funkcji f nie posiada asymptoty ukośnej i poziomej.

1

(2)

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x ² − 2 sin ² x

na przedziale [0, 2π].

Rozwi¸ azanie

Obliczamy miejsca zerowe drugiej pochodnej funkcji

f ⁰ (x) = 2x−4 sin x cos x = 2(x−sin 2x), f ”(x) = 2−4 cos 2x = 0 ↔ cos 2x = 1/2 ↔ x = π/6, lub x = 5π/6 Obliczamy wartości trzeciej pochodnej funkcji w punktach x = π/6, lub x = 5π/6

f ⁽³⁾ (x) = 8cos2x, f ⁽³⁾ (2π/6) = 8cos(π/3) = 4 6= 0, f ⁽³⁾ (5π/6) = 8cos(10π/6) = 8 cos(5π/3) = 8 cos(2π − π/3) = 8 cos π/3 = 4 6= 0

Ponadto

f ”(x) < 0 dla x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π) i f ”(x) > 0 dla x ∈ (π/6, 5π/6)

Wykres funkcji f jest wkl¸esły na przedziałach (0, π/6), (5π/6, 2π) i wypukły na prze- dziale (π/6, 5π/6).

Na podstawie twierdzenia o punktach przegi¸ecia wykresów funkcji wielokrotnie różnicz- kowalnych - punkty x = π/6 , x = 5π/6 s¸ a punktami przegi¸ecia wykresu.

Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć wartość √

e z dokładności¸ a 10 ⁻³ , wykorzystuj¸ ac wzór Maclaurina.

Rozwi¸ azanie

Przpomnijmy rozwini¸ecie funkcji f (x) = e ^x w szereg Maclaurina e ^x = 1 + x

1! + x ²

2! + . . . + x ⁿ⁻¹

n! + R _n (x, c) gdzie

R _n (x, c) = ^e _n!

^c

x ⁿ , c ∈ (0, x) jest n-t¸ a reszt¸ a rozwini¸ecia.

√ e = e

¹²

Kład¸ ac w tej reszcie x = ¹ ₂ oraz uwzl¸edniaj¸ ac, że e ^c < 3 , c ∈ (0, 1/2) mamy e ^c

n!

1 2

n

< 1

10 ³ ↔ n! · 2 ⁿ ≥ 3 · 10 ³ Ostatnia nierówność zachodzi dla n ≥ 4.

2

(3)

St¸ ad

√ e ≈ 1 + 1 2 + 1

2 · 2 ² + 1

6 · 2 ³ + 1 24 · 2 ⁴

Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć

Z

x sin(2x + 3)dx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy metod¸e całkowania przez cz¸eści Z

x sin(2x + 3)dx = Z

x(− 1

2 cos(2x + 3)) ⁰ dx = −x 1

2 cos(2x + 3) + 1 2

Z

1 · cos(2x + 3)dx =

= −x 1

2 cos(2x + 3) + 1

4 sin(2x + 3) + C Zadanie 6

Prosz¸e dobrać liczb¸e dodatni¸ a a tak, aby pole obszaru ograniczonego osi¸ a OX i wykresem funkcji

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw D1 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

a n = √

2n 2 + n − n √ 2

Rozwi¸ azanie

Stosuj¸ ac znan¸ a ze szkoły śrdniej tożsamość

a − b = a 2 − b 2 a + b Otrzymujemy

√

2n 2 + n−n √

2 = ( √

2n 2 + n) 2 − (n √ 2) 2

√ 2n 2 + n + n √

2 = n

√ 2n 2 + n + n √ 2 = n

n · 1

p2 + 1/n + √

2 → 1 2 √

2

Zadanie 2

Prosz¸e zbadać istnienie asymptot wykresu funkcji f (x) = √

xlnx

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji D jest otwarta półprosta rzeczywista (0, ∞).

lim

x→0

f (x) = lim

x→0

√ xlnx = [0 · −∞] =

lim

x→0

lnx

x −1/2 = [−∞/∞]H = lim x→0

1/x

−1/2x −3/2 == lim x→0

(−2 √

x) = 0.

Wykres funkcji nie posiada asymptot pionowych.

f (x)

x =

√ xlnx

x = lnx

√ x = [−∞/∞]H = lim

x→∞

1/x 1/2 √

x = 2 lim

x→∞

√ 1 x = 0

x→∞ lim (f (x) − 0x) = lim

x→∞

√ xlnx = ∞ Wykres funkcji f nie posiada asymptoty ukośnej i poziomej.

1

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x 2 − 2 sin 2 x

na przedziale [0, 2π].

Rozwi¸ azanie

Obliczamy miejsca zerowe drugiej pochodnej funkcji

f 0 (x) = 2x−4 sin x cos x = 2(x−sin 2x), f ”(x) = 2−4 cos 2x = 0 ↔ cos 2x = 1/2 ↔ x = π/6, lub x = 5π/6 Obliczamy wartości trzeciej pochodnej funkcji w punktach x = π/6, lub x = 5π/6

f (3) (x) = 8cos2x, f (3) (2π/6) = 8cos(π/3) = 4 6= 0, f (3) (5π/6) = 8cos(10π/6) = 8 cos(5π/3) = 8 cos(2π − π/3) = 8 cos π/3 = 4 6= 0

Ponadto

f ”(x) < 0 dla x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π) i f ”(x) > 0 dla x ∈ (π/6, 5π/6)

Wykres funkcji f jest wkl¸esły na przedziałach (0, π/6), (5π/6, 2π) i wypukły na prze- dziale (π/6, 5π/6).

Na podstawie twierdzenia o punktach przegi¸ecia wykresów funkcji wielokrotnie różnicz- kowalnych - punkty x = π/6 , x = 5π/6 s¸ a punktami przegi¸ecia wykresu.

Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć wartość √

e z dokładności¸ a 10 −3 , wykorzystuj¸ ac wzór Maclaurina.

Rozwi¸ azanie

Przpomnijmy rozwini¸ecie funkcji f (x) = e x w szereg Maclaurina e x = 1 + x

1! + x 2

2! + . . . + x n−1

n! + R n (x, c) gdzie

R n (x, c) = e n!

x n , c ∈ (0, x) jest n-t¸ a reszt¸ a rozwini¸ecia.

√ e = e

Kład¸ ac w tej reszcie x = 1 2 oraz uwzl¸edniaj¸ ac, że e c < 3 , c ∈ (0, 1/2) mamy e c

n!

 1 2

 n

< 1

a _n = √

2n ² + n − n √ 2

a − b = a ² − b ² a + b Otrzymujemy

2n ² + n−n √

2n ² + n) ² − (n √ 2) ²

√ 2n ² + n + n √

√ 2n ² + n + n √ 2 = n

x ^−1/2 = [−∞/∞]H = lim _x→0

−1/2x ^−3/2 == lim _x→0

Prosz¸e wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x ² − 2 sin ² x

f ⁰ (x) = 2x−4 sin x cos x = 2(x−sin 2x), f ”(x) = 2−4 cos 2x = 0 ↔ cos 2x = 1/2 ↔ x = π/6, lub x = 5π/6 Obliczamy wartości trzeciej pochodnej funkcji w punktach x = π/6, lub x = 5π/6

f ⁽³⁾ (x) = 8cos2x, f ⁽³⁾ (2π/6) = 8cos(π/3) = 4 6= 0, f ⁽³⁾ (5π/6) = 8cos(10π/6) = 8 cos(5π/3) = 8 cos(2π − π/3) = 8 cos π/3 = 4 6= 0

e z dokładności¸ a 10 ⁻³ , wykorzystuj¸ ac wzór Maclaurina.

Przpomnijmy rozwini¸ecie funkcji f (x) = e ^x w szereg Maclaurina e ^x = 1 + x

1! + x ²

2! + . . . + x ⁿ⁻¹

n! + R _n (x, c) gdzie

R _n (x, c) = ^e _n!

x ⁿ , c ∈ (0, x) jest n-t¸ a reszt¸ a rozwini¸ecia.

Kład¸ ac w tej reszcie x = ¹ ₂ oraz uwzl¸edniaj¸ ac, że e ^c < 3 , c ∈ (0, 1/2) mamy e ^c

1 2

n

10 ³ ↔ n! · 2 ⁿ ≥ 3 · 10 ³ Ostatnia nierówność zachodzi dla n ≥ 4.

2 · 2 ² + 1

6 · 2 ³ + 1 24 · 2 ⁴

2 cos(2x + 3)) ⁰ dx = −x 1

f (x) = a − x ² było równe 1.

(a − x ² )dx = 2 Z

(a − x ² )dx = 2[ax − x ³ /3]|

a √