Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy
Zestaw B1 Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu
a n =
2n√
2 n + 2n
Rozwi¸ azanie
Prawdziwa jest nierówność
√ 2 =
2n√
2 n ≤
2n√
2 n + 2n ≤
2n√
2 · 2 n =
2n√ 2 ·
2n√
2 n =
2n√ 2 · √
2 dla n=1,2, . . . . Jeśli n → ∞ to
2n√
2 → 1.
Z twierdzenia o trzech ci¸ agach wynika, że
n→∞ lim
2n
√
2 n + 2n = √ 2
Zadanie 2
Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f (x) = x
√ x + 1 Dziedzin¸ a funkcji D jest przedział (−1, ∞).
lim x→−1+ x
√ x + 1 − ∞ bo lim x→−1+x = −1 i granica lim x→−1+√
√
x + 1 = 0 jest osi¸ agana po wartościach wi¸ekszych od zera.
Wykres funkcji posiada asymptot¸e pionow¸ a prawostronn¸ a o równaniu x = −1.
Ponadto
f (x)
x = 1
√ x + 1 → 0, gdy x → +∞
oraz
f (x) − 0x = f (x) = x
√ x + 1 =
√ x
p1 + 1/x → ∞, gdy x → +∞
1
St¸ ad wynika, że wykres funkcji nie posiada asyptoty ukośnej i poziomej.
Zadanie 3
Prosz¸e znaleźć ekstrema lokalne funkcji
f (x) = x 2 − lnx Rozwi¸ azanie
Dziedzin¸ a D f funkcji jest przedział (0, ∞). Funkcja f jest różniczkowalna na tym prze- dziale.
Obliczamy pierwsz¸ a pochodn¸ a funkcji
f 0 (x) = 2x − 1
x = 2x 2 − 1 x
Dziedzin¸ a pierwszej pochodnej funkcji D f0 jest prosta rzeczywista bez punktu 0. Cz¸eści¸ a wspóln¸ a D f ∩ D f0 jest przedział (0, ∞) = D f .
jest przedział (0, ∞) = D f .
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego f 0 (x) = 0 ↔ x = −
√ 2
2 lub x =
√ 2 2 Zauważmy, że tylko x =
√ 2
2 należy do dziedziny funkcji i jej pochodnej. Obliczamy drug¸ a pochodn¸ a funkcji
f ”(x) = 2 + 1 x 2 > 0 Wartość drugiej pochodnej dla x =
√ 2
2 jest dodatnia, zatem na podstawie warunku wystarczaj¸ acego istnienia ekstremum lokalnego funkcji, funkcja posiada w tym punkcie minimum lokalne
f minlok. = f ( √
2/2) = 1 4 − ln(
√ 2 2 ) Zadanie 4
Prosz¸e obliczyć pole trój¸ ata utworzonego przez osie układu współrz¸ednych oraz styczn¸ a do wykresu funkcji f (x) = 2 x w punkcie (1, 2).
Rozwi¸ azanie
Równanie stycznej w punkcie p
y = f 0 (p)(x − p) + f (p) p = 1, f (1) = 2, f 0 (p) = − x 22, f 0 (1) = −2.
2
Równanie stycznej:
y = −2(x − 1) + 2 = −2x + 4
Pole trójkt¸a prostok¸ atnego
|S| = 1
2 · 2 · 4 = 4
Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć
Z √
xlnxdx
Rozwi¸ azanie
Zastosujemy metod¸e całkowania przez cz¸eści.
Z √
xlnxdx = Z
(2/3x 3/2 ) 0 lnxdx = 2
3 x 3/2 lnx − Z 2
3 x 3/2 1
x dx = 2
3 x 3/2 lnx − Z 2
3 x 1/2 dx =
= 2
3 x 3/2 lnx − 2 3 · 2
3 x 3/2 + C
Zadanie 6
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego osi¸ a Ox oraz wykresem funkcji f (x) = x sin(x 2 ) dla x ∈ [0, p π
2 ].
Rozwi¸ azanie
Z definicji pola zawartego mi¸edzy wykresem funkcji i osi¸ a OX
|P | = Z
√
π2
0
x sin(x 2 dx = 1 2
Z
√
π2
0
2x sin(x 2 dx = 1 2
Z
√
π2
