Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 10, No. 3

Jah rg a n g X .

U ntemchtsblätter

1904. Nr. 3.

f ü r

Mathematik und Naturwissenschaften.

O rgan des V e rein s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d er M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n sc h a fte n .

B egründet unter M itw irkung von B ernhard Sch w alb e,

herausgegeben von

F. P i e t z k e r ,

P r o fe s s o r am G y m n a siu m zu N o rd h a u se n .

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 3 0 .

Redaktion: A lle f ü r d ie R e d a k tio n b e stim m te n M itte ilu n g e n u n d S e n d u n g e n w e rd e n n u r a n d ie A d re sse des P r o f. P i e t z k e r i n N o rd n a u s e n e rb e te n .

V e re in : A n m e ld u n g e n u n d B e i tr a g s z a h lu n g e n f ü r d e n V e re in (3 H k . J a h r e s b e i t r a g o d e r e in m a lig e r B e i tr a g v o n .15 H k .) s in d a n d en S c h a tz m e is te r, P r o f e s s o r P r e s l e r in H a n n o v e r, L i n d e n c rs tra a s e 4", zu r ic h te n .

V e rla g : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e rn is t 3 H a r k , f ü r e in z e ln o N u m m e rn GO P f . D ie V e re in sm it­

g lie d e r e r h a lte n d ie Z e i t s c h r i f t u n e n t g e l t l i c h ; fr ü h e r e J a h r ­ g ä n g e sin d d u rc h d e n V e r la g b ez. e in e B u e h h d lg . zu b e z ie h e n . A n z e i g e n k o s te n 2r>Pf. f ü r d ie 3 - g e s p . N o u p a r .- Z c ile ; bei A u fg a b e h a lb e r o d . g a n z e r S e ite n , so w ie b e i W ie d e rh o lu n g e n E r m ä s s ig u n g . — B e i la g e g e b ü b re n n a c h U e b e r e in k u n f t.

N a c h d r u c k d e r e in z e ln e n A r tik e l is t, w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e so n d e rs a u sg e n o m m e n , n u r m it g e n a u e r A n g a b e d e r Q uelle u n d m i t d e r V e rp f lic h tu n g d e r E i n s e n d u n g e in e s B e le g e x e m p la rs a n d e n V e rla g g e s ta tte t.

I n h a l t : Vereins - A ngelegenheiten (S. 49). — U eber den B etrieb d er P hysik als N aturw issenschaft. Von E . G r i m s e h l (S, 49). — G eom etrographische Fünf- und Z ehnecks-K onstruktioncn. Von 11. B o d e n - s t e d t (S. 56). — Infinitesim alrechnung im U n terrich t. Von F . E b n e r (S. 59) und A. S c h u l k e (S. 60). — B erich t ü b er die dreizehnte H auptversam m lung des V ereins zur F ö rd eru n g des U nterrichts in der M athem atik und den N aturw issenschaften zu H alle a. S. in d er Plingstw oehe 1904 (S. 61). — Schul- und U niversitäts-N achrichten [G rcifsw alder F erienkursus 1904; P h y sik -U n terrich t in Bayern (S. 67).

—- V ereine und V ersam m lungen [V erein für Schulreform ] (S. 68). — Bücher-B espreehungen (S. 68). — Anzeigen.

V e rein s-A n g e le g e n h e ite n .

Die vorliegende Nummer bringt den B ericht Uber den allgemeinen Verlauf der w ährend der Pfingstwoohe zu Halle a. S. abgehaltenen dreizehnten Hauptversam m lung des Vereins. Ueber die V orträge und die w issenschaftlichen Diskussionen auf dieser Versammlung werden in der bisher schon üblich gewesenen A rt Einzelberichte erscheinen, womit bereits in dieser Nummer der Anfang gem acht wird.

W ie aus dem Versammlungsbericht ersichtlich, ist für den auf seinen Wunsch ausscheidenden Herrn D irektor Hamdorif H err Professor Dr. T h a e r , D irektor der Oberrealschule vor dem H olsten­

to r in Ham burg in den Vorstand neu eingetreten, während die übrigen satzungsgeinäss aus dem Vorstand ausscheidenden H erren w iedergew ählt worden sind. Demnach b esteh t der Vorstand für die Zeit bis zur nächsten Versammlung aus den H erren H a n s e n (Giessen), P i e t z k e r (Nord­

hausen), P r e s l e r (Hannover), B a s t i a n S c h m i d (Zwickau), S c h o t t e n (Halle a. S.), T h a e r (Hamburg). Das Amt des Schatzmeisters wird auch w eiterhin H err P r e s le r verw alten (siehe die Notiz am Kopfe des B lattes u nter der Rubrik „Verein“).

Die Bestimmung des Ortes für die nächste Hauptversam m lung ist dem Vereinsvorstand anheim gegeben worden, der die Entscheidung hierüber sobald, als es möglich ist, durch das Vereinsorgan zur allgemeinen Kenntnis bringen wird. Zuschriften, die sich auf diese Versammlung beziehen, wolle man an Prof. P i e t z k e r in Nordhausen richten. D er V orstand.

U eb er den B etrieb der P h y s ik als N a tu rw issen sch a ft.

V o rtrag a u f d er H auptversam m lung zu H alle (Saale)*) V on E. G r i m s e li 1 (H am burg)

Meine H erren! Als der Vorstand unseres Vereins mich dam it beauftragte, in der dies­

jährigen Pfingstversammlung über die Beliand-

*) Siche diese N um m er S. 64.

lang der Physik als N aturw issenschaft zu refe­

rieren, habe ich diesen A uftrag dankbar ange­

nommen, da das Them a den K ernpunkt meiner

Gedanken über den physikalischen U nterricht

enthält. W enn auch das Thema seinem Inhalte

nach, wenigstens in einigen Teilen, unter anderen

Namen schon oft behandelt ist, und wenn auch

noch vor drei Jahren H err P o s k e auf der

Pfingstversammlung in Giessen in seinem Vor-

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Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

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trage „U eber Grundfragen des physikalischen U n terrichts“ manche P unkte in einer W eise behandelt hat, die sich fast vollständig mit meiner Ansicht decken, so erscheint es tro tz­

dem nicht überflüssig, aufs neue die Forderung nach einer naturw issenschaftlichen Behandlung der Physik zu betonen, besonders da auch die V ertreter der biologischen Fächer in den letzten Jahren mehr als früher den Anschluss an die Physik gesucht haben, und da auch der Chemiker heute m it R echt Anspruch d arauf macht, dass die Schüler, besonders der oberen Klassen von neunstufigen A nstalten m it physikalischen K ennt­

nissen oder besser gesagt mit einer physikalischen A usbildung ausgerüstet s in d , die früher nicht v erlangt wurde, als sich der chemische U nter­

rich t vorwiegend darauf beschränkte, die che­

mischen Grundstoffe und ihre Verbindungen der Reihe nach, oft zusammenhanglos, m itzuteilen und zu dem onstrieren. So kommt es, dass die Physik auf der Schule heute mehr Anschluss an die übrigen naturw issenschaftlichen Fächer suchen muss, als an die reine M athem atik, m it der sie früher ausnahmslos, je tz t auch noch meistens, unm ittelbar und eng verknüpft ist.

Es ist nicht meine Aufgabe, den Gründen für die enge Verbindung von M athematik und Physik im einzelnen nachzuspüren. Einer der H auptgründe ist die durch die Prüfungsordnungen für L ehrer höherer Schulen bedingte .Personal­

union der beiden Fächer, da für das Verständ­

nis der theoretischen Physik umfassende m athe­

matische Kenntnisse erforderlich sind, die dem N ichtm athem atiker fehlen. So liegt denn auf der Schule der physikalische U nterricht in den Händen des M athem atikers, der allein das am t­

liche Zeugnis für die Lehrbefähigung in Physik für alle Klassen besitzt. Ob aber diese durch besondere Umstände veranlasste enge Verbindung im Interesse des physikalischen U nterrichts liegt oder nicht, habe ich im Laufe meines Vortrages auszuführen.

Seit der Ham burger Naturforscher-Versamm- lung, bei welcher F. A h l b o r n in seinem be­

kannten Vortrage über den biologischen U nter­

richt die F orderung aufstellte, dass der biolo­

gische U nterricht bis in die obersten Klassen der höheren Schulen durchgeführt würde, ist von Seiten der V ertreter der biologischen Fächer wiederholt auf die Physik Ansturm gemacht, und es ist von ih r gefordert, dass sie zu Gunsten der Biologie einen Teil ihrer U nter­

richtsstunden aufgeben möchte, eine Forderung, die zuerst sehr energisch aufgestellt wurde, weil man glaubte, die Festung im Sturm e der ersten Begeisterung nehmen zu können, die aber allmählich einer ruhigeren Diskussion P latz gemacht hat, seitdem man eingesehen hat, dass die Erfüllung dieser Forderung absolut unaus­

fü hrb ar ist, wollte man nicht den Physiluinter-

richt, die Säule und Stütze der naturw issen­

schaftlichen Fächer auf allen Schulen, entgegen dem allgemeinen Interesse für die naturw issen­

schaftliche Bildung unserer Jugend, in seinen Grundfesten erschüttern. Ich glaube nicht fehl zu gehen, wenn ich behaupte, dass diese Periode der biologischen Bewegung zu ihrem eigenen Vorteile vorüber ist. Es möge auch heute nochmals ausgesprochen werden, dass es ganz unmöglich ist, die Anzahl der dem Physik- U nterricht zugewiesenen U nterrichtsstunden auch nur um eine einzige zu vermindern. Die ausser­

ordentliche M annigfaltigkeit des Stoffes bedingt schon ohnehin eine nur oberflächliche Behand­

lung ganzer A bschnitte d e r Physik zu Gunsten einer intensiven Behandlung anderer ausge­

w ählter Gebiete derselben. Eine Kürzung der Stundenzahl würde es unmöglich machen, auch nur diese beschränkten Gebiete so durchzu­

arbeiten, wie es für die geistige Schulung un­

bedingt erforderlich ist. Vielmehr muss es als w ünschensw ert bezeichnet w erden, für den physikalischen U nterricht noch mehr Zeit zu gew in n e n , als bisher dazu verw andt wurde.

W enn es auch wohl vorläufig noch ausgeschlossen erscheint, die Stundenzahl für die Physik zu verm ehren, solange w ir die schulmässige E r­

ziehung unserer Jugend bei allen Schulgattungen auf die sprachliche Ausbildung aufbauen, so glaube ich trotzdem , dass sich fü r die Physik im Rahmen des bestehenden Lehrplanes Zeit ge­

winnen lässt, wenn man den P hysikunterricht nicht erst dann beginnt, wenn Physik auf dem Stundenplan steht.

Es ist eine bekannte und oft ausgesprochene Tatsache, dass schon das kleine Kind, bevor es in die Zwangsjacke der Schule kommt, für alle N aturerscheinungen ein reges Interesse hegt, das durch den U nterricht in den ersten Schul­

jahren system atisch abgetö tet wird. Wie schwierig aber der A btötungsprozess ist, geht am besten daraus hervor, dass das Kind ausser­

halb der durch den Schulbesuch und durch die häuslichen Schularbeiten absorbierten Zeit in seinen Nebenbeschäftigungen und Spielen vorwiegend naturw issenschaftlich denkt. Je nach A rt der äusseren Umstände, die in erster Linie durch die W ohnungsverhältnisse der E ltern bedingt sind, huldigt das Kind m ehr dem Spiel m it der Pflanze und dem Tiere oder mehr dem an­

organischen Teil der N atur. In den auf letzteren Teil bezüglichen Spielen erfreut sich das Kind naiv an dem W irken der Kräfte. Bei seinen B auten m it Bausteinen und m it S a n d , beim Spielen m it der Eisenbahn, beim Kreiselschlagen, beim D rachensteigen usw. ist es beglückt, wenn es ihm gelungen ist, gewisse Schwierigkeiten zu überwinden, die sich ihm bei der ersten Inangriffnahme einer Aufgabe geboten haben.

Mit welchem Stolz erfüllt es einen Knaben,

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wenn er sieht, dass sein Drachen am höchsten steigt, dass sein Kreisel am besten läuft. Mit w ichtiger Miene wird dem Kameraden erzählt, wie er es anzustellen habe, dass auch dessen Spiele einen besseren Erfolg haben. Das W irken der K räfte ist es, das ihn hier, trotzdem die Schule seinen natürlichen Neigungen in keiner W eise entgegenkommt, am meisten fesselt.

Sollte es da nicht am Platze sein, auch im allerelem entarsten U nterricht den natürlichen G edankenkreis der Schüler auszubilden, an statt ihn mit rauher Hand zu zerstören? Ich möchte behaupten, dass der A nschauungsunterricht der untersten Klassen schon Gelegenheit bieten kann, den Schüler m it einer grossen Zahl w ichtiger physikalischer Tatsachen bekannt zu machen, ohne dass man Gefahr läuft, dadurch den Schüler zu überbürden. Gerade so gut, wie das zu Anschauungsbildern verw andte Material den Stoffen der belebten Natur, der biblischen Geschichte, der Geschichte, ja sogar neuerdings der K unst entnommen wird, würde es möglich sein, in die Bilder zwanglos physikalische Vor­

gänge zu verflechten. Ich habe eine grosse Zahl der für die U nterstufe verwandten An­

schauungsbilder einmal darauf durchgesehen, ob vielleicht von dem Zeichner unbeabsichtigt der­

artige Vorgänge m it zur D arstellung gebracht sind. Das R esultat der D urchsicht w ar fast mehr als negativ, denn dort, wo man h ätte an- kniipfen können, waren die Bilder falsch. Die Verstösse gegen die Perspektive waren oft geradezu empörend. W enn eine Lerche grösser als der K opf eines W anderburschen, wenn ein beladener Dampfer kleiner als ein einzelner Eisenbahnwagen auf demselben Bilde und vieles andere mehr gezeichnet wird, so weiss man nicht, ob dadurch das Kind, das das Bild be­

trachtet, mehr Schaden davon hat, wenn es sich keine richtige Vorstellung von den Grössen­

verhältnissen macht, oder wenn es sp äter bei seinen eigenen Zeichnungen zu ähnlichen Fehlern veranlasst wird. A uf einem Bilde sehen wir badende Kinder im W asser. D er Zeichner hat aber offenbar nicht daran gedacht, oder es nicht gew usst, dass die vertikalen Dimensionen im W asser verkürzt erscheinen Bei der D arstellung eines Hausbaues ist eine W inde angebracht, doch so, dass kein Maurer oder Zimmermann dieselbe benutzen würde, weil die aufgewun­

denen Balken das Schutzgerüst zertrümmern würden. Ganz besonders geissein möchte ich die D arstellung des Blitzes auf einem anderen Bilde. Eines solch schweren Verstosses gegen die w ahre Form des Blitzes wie hier haben sich kaum diejenigen Maler schuldig gemacht, die von dem V orurteil der Zickzackform des Blitzes noch nicht, durch richtige Blitzphotographien befreit sein konnten. Es ist doch gewiss nicht nötig, auf den Anschauungsbildern der U nterstufe

physikalische Torheiten zur D arstellung zu bringen. W ären nur die vorhin als falsch be- zeichneten physikalischen Vorgänge und E r­

scheinungen richtig auf den Bildern dargestellt, so wäre eine kurze Bem erkung über die Brechung des Lichtes, über die W irkungsw eise einer W inde, über das G ew itter bei der Be­

sprechung des Bildes wohl am Platze. Vor einem grossen pädagogischen F ehler ist hierbei allerdings nicht genug zu w a rn en ; gerade hierin m öchte ich nicht missverstanden w erden: Um keinen Preis wünsche ich etwa, dass der A n­

schauungsunterricht dazu benutzt w e rd e , das Brechungsgesetz des L ich tes, das sogenannte Hebelgesetz oder gar die F rage nach der E n t­

stehung des G ew itters durchzunehmen. Damit würde mehr geschadet werden, als nützliches dabei herauskommt. Ein Hinweis auf die T a t­

sachen, eine Aufm unterung zur Beobachtung soll die Aufgabe dieses Teils des U nterrichts sein.

Der Zweck m einer W ünsche ist d e r , die Kinder von vornherein daran zu gewöhnen, dass sie die physikalischen Erscheinungen dort suchen, wo sie s in d : in der N atur. Es muss jedem Schüler klar sein, dass die Physik nicht erst dort anfängt, wo eine Tür des Schulgebäudes die A ufschrift „P hy sik“ führt, oder wo auf dem Stundenplan dieses geheimnisvolle W o rt steht, mit dem die Schüler gern eine dunkle Vorstellung von Apparaten und Instrum enten m it Glas und glänzendem Messing verbinden. Doch hiervon später.

Ich glaube, dass es möglich sein wird, bei den Anschauungsbildern und beim Anschauungs­

un terricht der U nterstufe das naturw issenschaft­

liche, speziell das physikalische Interesse nicht erst zu wecken, sondern das von vornherein vorhandene Interesse zu beleben, wenn auch in den Anschauungsm itteln selbst physikalische Vorgänge im Rahmen der übrigen D arstellungen zwanglos cingefiihrt werden. Um dieses aber nicht zum Schaden s ta tt zum Nutzen für die Physik ausbilden zu können, is t vor allem nötig:

„rich tig “, denn auch auf dieser Stufe soll der U nterricht den W irklichkeitssinn erwecken und beleben.

Nun die M ittelstufe. Auch hier verlange ich schon Physik. Die biologischen Fächer und die Geographie bieten hier die A nknüpfungs­

punkte. In der Biologie ist es die belebte, in der Geographie vorwiegend die unbelebte N atur, die den Gegenstand der Behandlung bildet. Die Beziehungen der Biologie zur P hysik sind im Rahmen unseres Vereins in den beiden letzten Jahren mehrfach erö rtert, sodass es heute über­

flüssig erscheint, einzelne K apitel herauszugreifen

oder diese Beziehungen nochmals aufzuzählen,

die gewiss w eder ein Biologe noch ein Physiker

leugnen oder nur anzweifeln wird. Es kommt

nu r darauf an, den richtigen Moment der An­

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knüpfung nicht unbenutzt vorübergehen zu lassen. Vonseiten der Biologen, insbesondere von L a n d s b e r g in dem A ufsatze; „Die Biologie auf den Oberklassen des Gymnasiums“ in der Monats­

schrift für höhere Schulen 1902, 692— 700, wird verlangt, dass der Physik- und Chemie­

unterricht in den Oberklassen der Schulen Bezug nim mt auf die in den tierischen und pflanzlichen Organismen stattfindenden Vorgänge. Ich möchte die F orderung um kehren und dem biologischen U nterrich t der M ittelklassen in erster Linie die Aufgabe zuweisen, diese Vorgänge dazu zu benutzen, m it den Schülern die zur E rklärung der Vorgänge nötigen physikalischen und che­

mischen Kenntnisse innerhalb der biologischen U nterrichtsstunden zu entw ickeln und durch möglichst einfache Versuche zu erläutern. Ich bin überzeugt, dass das auch hier und da ge­

schieht zum Vorteil für alle in F rage kommen­

den Fächer und zur Belebung des U nterrichts, ohne dass der P hysiker bange zu sein braucht, dass ihm der Biologe ins H andwerk pfuscht.

Sollte es nicht schon an geeigneter Stelle in der Q uarta möglich sein, gelegentlich der Be­

sprechung der Atm ung die A tm ungsprodukte durch Kalkw asser nachzuweisen und zu zeigen, dass die Kohlensäure ebenso wie durch die Verbrennung einer Kerze auch durch den Atmungsprozess erzeugt w ird und den Schülern nahe zu legen, dass ähnlich, wie bei der Ver­

brennung der Kerze W ärm e entsteht, auch im tierischen K örper die Körperwärm e durch den Oxydationsprozess bei der Atm ung erzeugt wird?

Sollte nicht im Anschluss hieran schon die Diffusion der Gase durch poröse W ände und die für das Leben der Fische so w ichtige Löslich­

k eit des Sauerstoffs im W asser behandelt und dem onstriert w erden können? Die W ichtigkeit der Osmose für das Saftsteigen im Stengel der Pflanze als eine der Ursachen für den schein­

baren W iderspruch gegen die Schwerewirkung gebietet, schon in den m ittleren Klassen den pflanzenphysiologischen Versuch durch den ent­

sprechenden physikalischen zu ergänzen. Ich will S ie . nicht ermüden m it der Aufzählung von noch m ehr Beispielen, da sie ja von den Biologen oft genannt sind. N ur glaube ich zum U nterschiede von letzteren, dass es zu spät sein w ürde, wenn man erst im P hysikunterrichte die biologischen Vorgänge behandelte. Das jugendliche Gemüt im A lter von 10— 14 Jahren ist so empfänglich für die M itteilung und die E rklärung einfacher physikalischer und chemi­

scher Prozesse, dass ich bestim m t glaube, dass die Schüler im Hause und im G ärten, bei ihren Schulwegen und Ausflügen viel m ehr Blick für die einfachen physikalischen Vorgänge haben würden, als sie es je tz t haben, wenn man ihnen schon in der „N aturgeschichte“ zeigt, dass die Physik auch eine N a tu rw is s e n s c h a ft ist, der

sie allerw ärts begegnen, wo ihre Sinne Kenntnis von der Aussenw elt bekommen, wenn sie nur aufzupassen g elernt haben. Es ist m. E. ein schw erer Fehler, der wohl meistens begangen wird, dass die Schüler von Physik nichts zu wissen bekommen, wenn sie am empfänglichsten für diese W issenschaft sind. W erden auf die angegebene W eise auch n ur ausgewählte Kapitel der P hysik im N aturgeschichtsunterricht der M ittelklassen ohne „M ethode“ und nicht „syste­

m atisch“ behandelt werden, so schadet das ganz gewiss nichts. „M ethode“ und „System “ sind schon genug im Schulunterricht, es mag etwas

„U nsystem atisches“ als ein kleiner Leckerbissen zur Abwechslung in der Ä lltagskost willkommen sein.

Die Geographie, von einem N aturw issen­

schaftler unterrich tet, kann der Mithilfe der Physik garnicht entbehren. Man sieht ja Gottlob immer mehr ein, dass die Geographie nich t nur die Aufgabe h a t, der Geschichte als Hilfs­

w issenschaft zu dienen. Das tote und geistes- tötende Auswendiglernen von Städtenam en, von Kaps u. dergl. mag ja noch ab und an getrieben werden. Von solchem G eographieunterricht kann natürlich nicht verlangt werden, dass er A nknüpfungspunkte an Naturprozesse sucht.

W enn aber der naturw issenschaftliche Geograph die Gebirgsformationen bespricht, w ird er die gebirgsbildenden und gebirgsvernichtenden K räfte, also besonders die W irkun g des W assers durch W o rt und Bild erläutern. Aber auch ein­

fache physikalische Versuche können und sollten hier zur Veranschaulichung ausgeführt werden.

Ich möchte hier besonders auf die schönen Versuche aufmerksam machen, die S c h w a l b e in der Z eitschrift fü r physikalischen und chemi­

schen U nterricht, X, 65 u. 217, u nter dem Titel

„Das geologische Experim ent in der Schule“

bekannt gem acht hat.

D er geographische U n terricht verlangt ein Eingehen auf die klimatischen Eigentüm lich­

keiten eines Landes oder E rdteils. Ein einfacher Versuch, dass von zwei gleichen Bunsenbrennern der eine ein m it W asser gefülltes Gefäss während derselben Zeit nicht auf dieselbe Tem peratur erhöht, wie ein gleich schweres Gefäss, bei dein ein Teil des W assers durch einen dicken, gleich schweren Stein ersetzt ist, erläutert den U nter­

schied von Land- und Seeklima als hervorge­

rufen durch die verschiedene W ärm ekapazität von W asser und Land. Die stark e Regen- und Nebelbildung an den Gebirgen, bei denen die feuchten Luftström e aufw ärtssteigen, sich aus­

dehnen und ab k ü h len , lassen sich durch die schönen K i e s s 1 i n g ’sehen Versuche über Nebel­

bildung in willkommener W eise erläutern. Die

Frage, warum ein Schneefeld oder ein G letscher

im Sommer nicht vollständig w e g ta u t, wird

gewiss von jedem denkenden Schüler aufge-

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3 . Üb e r d e n Be t r i e b d e r Ph y s i k a l s Na t u r w i s s e n s c h a f t.

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worfen. Man lasse im Sommer ein grösseres Stück Eis in einer Schale in einem Klassen­

zimmer liegen und beobachte, wie lange das Stück ' Eis der K lassenluft Stand hält. Ein durch diesen Versuch vorbereiteter Hinweis auf die Schmelzwärme des Eises lässt eine ober­

flächliche Berechnung zu, dass die zum Schmelzen eines Gletschers nötige W ärme nicht entfernt innerhalb eines Sommers von der L uft und der Sonne an den G letscher abgegeben wird. Das sind einige Beispiele dafür, wie auch in der Geographiestunde Physik getrieben werden kann.

W enn die Schüler nun in der O bertertia den eigentlichen P hysik unterricht bekommen, werden sie denselben nicht mehr m it Neugierde für die schönen Experim ente e rw arte n , sondern sie werden vermuten, dass ihnen hier ein tieferer Einblick in die N a tu re rsc h e in u n g e n geboten wird. Es ist je tz t Sache des eigentlichen Physikunterrichts, die schon gesponnenen Fäden zu einem stattlichen Gewebe zu verflechten, in dem aber die einzelnen Fäden nicht verschwinden dürfen, ohne Schaden für die H altbarkeit des Gewebes. D ort wo sich Gelegenheit bietet, die physikalischen Erscheinungen in der belebten oder unbelebten N atur wieder zu erkennen, muss die Gelegenheit m it Freuden ergriffen werden. Der Schüler muss dauernd in der U eberzeugung erzogen werden, dass die Appa­

rate sowohl wie die mathem atischen Ableitungen keinen Selbstzweck haben, sondern dass sie nur nützliche Hilfsm ittel sind, um die oft ver­

wickelten Erscheinungen in der freien N atur in einer einfachen Form darzustellen und zu untersuchen.

G estatten Sie, dass ich auf diese beiden Hilfsm ittel, die A pparate und die M athematik im P hysikunterricht noch etwas näher eingehe.

Als obersten Grundsatz möchte ich aus- spi’echen: „D ort, wo ein physikalischer Vorgang ohne A pparat vorgeführt werden kann, ist die B enutzung eines Apparates zu verw erfen“. Es mag dieser Satz, aus meinem Munde ausge­

sprochen, für manche von Ihnen verblüffend sein, da ich selbst gerade in den letzten Jahren eine grössere Zahl von physikalischen U nter­

richtsapparaten k onstruiert habe, und da ich auch bei der je tz t tagenden Versammlung Ihnen noch in einer Abteilungssitzung der Physik einige neue A pparate vorführen möchte. T rotz­

dem halte ich diesen Satz aufrecht. E r ist auch bei der K onstruktion meiner A pparate der Leitsatz gewesen.

Lassen Sie mich den Grundsatz an einigen Beispielen illustrieren.

1. Es soll nachgewiesen werden, dass die Luft Gewicht hat. Das Gewicht einer mit Luft gefüllten Flasche w ird auf der W age austariert, dann wird ein Teil der L uft m it dem Munde

ausgesogen. Die Flasche ist leichter geworden.

Beim Oeffnen des die Flasche verschliessenden Hahnes nimmt sie das ursprüngliche Gewicht wieder an.

2

. Nachweis des Luftdrucks durch den Torricellischen Versuch in seiner einfachsten Form.

3. Ableitung der Pallgesetze am freifallen- den K örper ohne Fallmaschine und Pallrinne.

4. Das verschiedene W ärmeleituiigsvermögen der festen K örper wird dadurch nachgewiesen, dass ein Schüler einen Nagel und ein gleich grosses Ende Glasstab gleichzeitig in die Flamme h ält und beobachtet, dass der Glasstab glühend wird, während er den N a g e l, ohne ihn zum Glühen zu brin g en , wegen der starken E r­

wärmung am festgehaltenen Ende sehr bald fallen lassen muss.

5. Der Nachweis der Erw ärm ung beim E r­

starren eines überschmolzenen Körpers durch das Gefühl.

6

. Die Ableitung der Ampereschen Schwimmer­

regel an einer Magnetnadel m it darüber oder darunter gehaltenem vom Strome durchflossenen D raht.

7. Die Reflexion und Brechung des Lichtes, nachgewiesen m it dem S on nen strahl, der auf einen Spiegel oder ins W asser fällt und dessen Einfalls-, Reflexions- und Brechungswinkel mit dem einfachen Transporteur gemessen wird.

8

. W irkung der Prismen und Linsen am einfachen Sonnenstrahl. Im Anschluss hieran Zusammensetzung der F ernrohre aus einfachen Linsen.

9. Eine grössere Zahl hübscher Versuche aus der Optik ohne eigentliche Apparate ist von Herrn H a h n im H eft 2 dieses Jahrganges der Z eitschrift für physikalischen und chemischen U nterricht angegeben.

In dieses K apitel gehören alle die soge­

nannter. F reihandversuche, denen der unver­

gessliche S c h w a l b e m it vollem R echt so viel W e rt heilegte.

Es würde ermüdend sein, wenn ich Ihnen die Versuchsreihe noch w eiter ausführte, die Beispiele sollen eben nur Beispiele sein.

Leider ist es aber nicht möglich, alle phy­

sikalischen Vorgänge in dieser W eise zu be­

handeln. W ir müssen die N atur in Fesseln

| schlagen, um sie für unsere Erkenntnis der N atur dienstbar zu machen. Diese Fesseln sind die Apparate. Machen w ir aber diese Fesseln m öglichst leicht und durchsichtig! Dieser Forderung wird um so m ehr genügt, je ein­

facher der A pparat ist, je unm ittelbarer die Beziehung zwischen den einzelnen Erscheinun­

gen zur G eltung kommt, je mehr also der A pparat selbst in den H intergrund tr itt.

Aus diesem Grunde verurteile ich ganz be­

sonders die sogenannten Universalapparate. Die­

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Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg . X. No. 3.

selben mögen für einen wenig geübten Expe­

rim entator sehr bequem sein, aber w ir dürfen docli nicht vergessen, dass das Interesse des U nterrichts das der Schüler und nicht das des Lehrers ist. Bei einem Universalapparate liegt die Gefahr vor, dass der Schüler einen grossen Teil der Physik, also auch der N atur gleichsam nur durch diese beschränkte Brille des U niversalapparates sieht. F ü r den L ehrer oder für jeden Menschen, der eine ausgebildete physikalische Erziehung hinter sich hat, bieten die U niversalapparate gewiss viele Anregung, indem sie dazu auffordern, einmal ein m öglichst umfangreiches Gebiet der Physik dem A pparate nutzbar zu machen. Von diesem G esichtspunkte aus habe ich im verflossenen Ja h re einmal die Glühlam pen*) behandelt. In einer m ir zuge­

gangenen K ritik wurde dann auch die Glüh­

lampe als ein U niversalapparat bezeichnet.

Als ich diese K ritik las, die, wie aus dem ganzen W o rtlau t derselben hervorging, in hohem Masse wohlwollend war, bedauerte ich, in der Ab­

handlung nicht schon au f die Gefahren der universellen B enutzung hihgewiesen zu haben.

Es wäre doch gewiss zu verurteilen, wollte ein L ehrer alle die beschriebenen Glühlampenver- suche nur dazu benutzen, um die m it der G lüh­

lampe zu dem onstrierenden Vorgänge allein mit und im Lichte der Glühlampe zu behandeln. Ein derartiges Vorgehen würde ohne Zweifel im höchsten Masse einseitig sein. Dasselbe gilt auch von anderen Universalapparaten.

Ich glaube auch g ar nicht, dass es den Erfindern der U niversalapparate als Ideal vor- gesclnvebt hat, dass ein solcher Missbrauch da­

m it getrieben werde.

Des ferneren muss ich mich gegen bleudende Experim ente in der Schule aussprechen. Vor einem Jah re habe ich mich in der Beschreibung der U nterrichtsräum e an der Oberrealschule a. d.

U hlenhorst in H am burg gegen diese blendenden Experim ente mit den W orten gew andt „Impo­

nierende Knalleffekte gehören in das Gebiet der öffentlichen Schaustellungen, nicht aber in das ernste A rbeitsfeld der Schule“. Ich kann auch heute diese W orte an dieser Stelle noch ein­

mal wiederholen. Sollte nicht ein Schüler durch den äusseren Glanz eines blendenden Experim ents geblendet w erden? W ird der Schüler da nicht in seiner Ansicht bestärkt, dass die Physik n ur in den Physikräum en herrscht?

Bei jedem Experim ente, bei jedem A pparat muss der Schüler den Grund für die gew ählte experim entelle A nordnung, für die besondere K onstruktion eines A pparates erkennen, wo­

möglich ehe er den A pparat selbst gesehen hat.

*) E . G r i m s e h 1, Dio elektrische G lühlam pe im D ienste des physikalischen U nterrichts. A bhandlungen z u r D idaktik u nd Philosophie d er N aturw issenschaften, Bd. I , H e ft I. B erlin. S p rin g er 1904.

K ennt der L ehrer seine A pparate, so h at er es n u r in ganz aussergewöhnlichen Fällen nötig, die A pparate vor der U nterrichtsstunde genau an der Stelle aufzubauen, wo er sie im U n ter­

rich t gebraucht, wenn er sie nur vorher hand­

lich zurecht gestellt hat, nachdem er sie ge­

w issenhaft und sorgfältig auf ihre B rauchbarkeit und Zuverlässigkeit gep rüft hat. Das Zu­

sammenstellen einer Versuchsanordnung vor den Augen der Schüler u n ter ih rer geistigen, viel­

leicht auch körperlichen M itwirkung verh ält sich zur B enutzung einer fertigen Zusam m enstellung ähnlich wie die E ntw ickelung einer geom etrischen F ig u r zu der Benutzung einer vorher an die Tafel gezeichneten fertigen F igur. Allerdings setzt diese A rt des Versuchs eine ebenso grosse experim entelle Gewandtheit voraus, wie die Entw ickelung einer geom etrischen F igur eine gewisse Zeichenfertigkeit voraussetzt. Der Vor­

teil einer solchen B ehandlung des Experim ents liegt darin, dass der Schüler lernt, das Experi­

ment und den A pparat als Beiwerk anzusehen, das den eigentlichen N aturvorgang nur m öglichst wenig verschleiern darf. Die schon vorhin geforderte Einfachheit der A pparate u n terstü tzt die T ätig k eit des experim entierenden Lehrers und die A bstraktionsfähigkeit des Schülers von dem A pparat.

Es mag zum Schlüsse für dieses K apitel noch erw ähnt werden, dass in der P ro jek ­ tionssucht eine grosse Gefahr für den U nter­

richt vorliegt. Man lasse bei einem Versuche, der eine Ablesung erfordert, die nicht gleich­

zeitig von der ganzen Klasse vorgenommen werden kann, die Klasse gruppenweise an den A pparat lierantreten. D er Zeitaufw and ist auch bei einer grossen Klasse nicht zu gross im Gegensatz zu dem Vorteil, dass die Schüler die Vorgänge ohne das Zwischenm ittel der P rojektion erkennen. Jed e r erwachsene und erfahrene Mann weiss, wie schwer es oft ist, bei einem projizierten Vorgänge auf den Vor­

gang selbst richtig rückw ärts zu schliessen.

Sollen w ir von unserer zu erziehenden Jugend m ehr verlangen, als w ir selbst leisten können?

V erhängnisvoller aber noch als die Gefahr, dass die Schüler diesen Schluss vielleicht nicht richtig ziehen, ist die Tatsache, dass säe durch eine solche P rojektion noch m ehr von der N atur entfernt werden, als es ohnehin durch den A pparat schon geschieht.

M. II. Nun kommt die M athem atik an die lteihe. Gäbe es eine Physik ohne Apparate, so wäre das m it Freuden zu begrüssen; gäbe es eine Physik ohne M athem atik, so wäre das ein Ideal. Beides ist leider unmöglich. Beide H ilfsm ittel sind unentbehrlich und als H ilfsm ittel unschätzbar. A ber lassen Sie uns nicht ver­

gessen, dass es nu r Hilfsm ittel sind. D er

Schüler w ird durch m athem atische A bleitungen

1904. No. 3.

Üb e r d e n Be t r i e b d e r Ph y s i k a l s Na t u r w i s s e n s c h a f t.

S. 55.

niemals einen Einblick in die N atur gewinnen.

Die m athem atische Entw ickelung g e sta tte t nur, eine Gedankenfolge in verhältnism ässig kurzer Zeit m it möglichst wenig Hilfsm itteln auszu­

führen, sie g estattet insbesondere in der Physik, das Tatsachenm aterial zu ordnen und in eine übersichtliche Formel zusammenzufassen. In der Form el liegt der H auptvorteil, aber auch die H auptgefahr der Anwendung der M athe­

m atik, indem g ar zu leicht die Entw ickelung der Form el uncl die Formel selbst als das End­

ziel des physikalischen U nterrichts angesehen wird. W ichtiger aber als die Entw ickelung der Formel ist die genaue F estlegung des T a t­

sachenmaterials und die gewissenhafte U nter­

suchung, welche Voraussetzungen gem acht wer­

den mussten, um den N aturvorgang in das mathem atische Gewand zu kleiden. Die Formel selbst ist ein kurzer Ausdruck für die bei einem N aturvorgange m itsprechenden Faktoren. In der Schule ist noch lange nicht alles getan, wenn die Formel entw ickelt ist, sondern die sich aus der Formel ergebende Begriffsbildung muss durchgeführt und erreicht werden. Der Schüler muss die Formel nicht nur herleiten können und auswendig wissen, das ist völlig Nebensache, sondern er muss dieselbe gewisser- massen physikalisch fühlen und verstehen. Das­

selbe g ilt auch von denjenigen mathematischen Entwickelungen, die deduktiv aus den Hypo­

thesen hergeleitet w erden, bei denen sich die Schüler der hypothetischen N atur und der zu den Hypothesen führenden Naturerscheinungen bew usst bleiben müssen. An einem Beispiele möchte ich meine Ansicht über die m athema­

tische Form el kurz darlegen. Bei der Behand­

lung des schiefen W urfes muss der Schüler wissen, dass die Abszisse und die Ordinate eines Punktes der W urfbahn sich durch die

<r ~

Formeln x — c t • cos o, y — c ■ t • sin « ---- ” t - ausdrücken lassen, er muss dabei aber im Auge behalten, dass c t • cos a und c t • sin

^a

die hori­

zontale und vertikale Komponente des W eges O *

c ■ t sind, und dass * t'~ von der vertikalen Komponente, des freien Falles wegen, zu sub­

trahieren ist. Die Entw ickelung der Parabel­

gleichung aus den beiden Koordinaten ist rein m athem atisch, sie fördert das physikalische Verständnis nur insoweit, als es noch einmal zum Ausdruck kommt, dass die Ordinate, nach K oordinatentransform ation, dem Quadrate der Abszisse proportional ist. Ich würde es ver­

urteilen, wollte jem and etw a die Gleichung der W urfbahn von seinen Schülern auswendig lernen lassen. H at man aus der Gleichung der W urf­

bahn die Formel für die W urfw eite und W urf­

höhe entw ickelt, und hat man nachgewiesen, dass die W urfw eite bei derselben Anfangs­

geschwindigkeit dieselbe ist, wenn der Eleva­

tionswinkel

n

und wenn er 90° —

a

ist, so darf man nicht vergessen, dass das auch physikalisch begründet ist, indem bei dem B ogenwurf die horizontale Komponente bei gleicher W urfzeit kleiner ist als beim flachen W urf wegen des F aktors cos «, dass also, trotzdem der geworfene K örper länger in der Luft ist und höher steigt, wegen des Faktors sin

a

bei der Ordinate, trotzdem also der F ak to r t grösser wird, das P ro du kt c • t • cos

^a

m it verändertem

^a

denselben W ert noch einmal annehmen kann und auch tatsächlich annimmt, wie der Versuch auch bestätigt.

A uf ein anderes Beispiel aus der M athematik komme ich morgen noch einmal zurück bei der Dem onstration eines A pparates für das T räg­

heitsmoment. Ich verweise des ferneren noch auf meine Ihnen im vorigen Jah re in unserem Verein vorgeführten und entw ickelten Aus­

führungen über die sogenannten einfachen Maschinen.

Die Anwendung der entw ickelten Formeln zum Auflösen von Aufgaben m öchte ich in Uebereinstim nmng m it schon früher an dieser Stelle gegebenen M itteilungen vollständig in die M athem atikstunde verlegen, solange es sich nicht um Aufgaben handelt, die ohne Zeitauf­

wand fast völlig im Kopfe gelöst werden können.

Zu letzteren zähle ich auch die Aufgaben, die sich an einen ausgeführten physikalischen Ver­

such unm ittelbar anschliessen. Es ist ja eine eigentümliche Tatsache, dass die physikalischen Aufgaben, die der N atur entspringen, überaus einfach sind; die m athem atischen Spitzfindig­

keiten, von denen manche Buchaufgaben voll sind, kommen in der N atur garnicht vor. In dieser Beziehung sind die praktischen physi­

kalischen Hebungen der Schüler besonders lehr­

reich, dieselben bieten nur sehr selten Stoff zu grossen Rechnungen. Die Zeit verbietet, hier­

auf näher einzugehen, es w äre ein besonderes und wichtiges K apitel, im Zusammenhänge mit meinem heutigen Thema die Schülerübungen, von deren ausserordentlicher F ruch tb arkeit für die Entw ickelung der naturw issenschaftlich­

physikalischen Ausbildung der Schüler ich auf das tiefste durchdrungen bin, einer Besprechung zu unterziehen.

Ein anderes Gebiet muss ich aber noch kurz streifen; nämlich w ir sind, wenn w ir auf der U nter- und M ittelstufe den übrigen n atu r­

wissenschaftlichen Fächern zumuten, dass sie ihrerseits die physikalische A usbildung der Schüler m it entw ickeln sollen, diesen Fächern auch Dank schuldig, den w ir um so lieber ab statten , als w ir die Quelle unserer physi­

kalischen Forschung in der N atur suchen und nun unsere Forschung auch der N atur wieder nutz­

bar machen. W ir wollen auch auf der Ober­

S. 56.

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jah rg . X. No. 3.

stufe, im P hy sikunterricht allgemein, nich t ver­

säum en, die A nknüpfungspunkte fester zu schnüren. W ir wollen beim L uftdruck die A tm ung und die Atm ungswerkzeuge, bei der Optik die Sehwerkzeuge, in der Lehre von der E lastizität und F estigkeit den Knochenbau und die S tru k tu r der Pflanzenteile, sow eit sie als Stützen und T räger dienen, bei der Energie­

berechnung einer fallenden W asserm asse die Erosionen der Gebirge, bei der W ärm elehre die zertrüm m ernde W irkung des gefrierenden W assers und die klimatologischen Vorgänge behandeln. So werden die Schüler auch dann, wenn es noch nicht allgemein durchgeführt werden kann, dass der naturw issenschaftliche U nterrich t auch auf biologischer und geogra­

phischer Seite bis in die obersten Klassen aus­

gedehnt ist, noch im physikalischen U nterrichte Fühlung behalten m it der belebten und der unbelebten Natur.

Als w ünschensw ert möchte ich es am Schlüsse noch aussprechen, dass der P hysik­

unterricht auch von den übrigen V ertretern der N aturw issenschaften bis in die obersten Klassen durchgeführt werden möge, damit nicht nur der M athem atiker das Privileg des P hysik­

unterrichts geniesst. Zwar werden die ersten Biologen und Chemiker, denen diese Aufgabe zugem utet wird, eine grosse A rbeit nötig haben, um auf dem Boden der bisherigen meist m athe­

m atischen B ehandlung der Physik den U nterricht zu erteilen, aber die A rbeit w ird fruchtbar sein für sie und für die Physik, am meisten frucht­

b a r aber für unsere Jugend, für deren A us­

bildung und F örderung uns keine A rbeit zu gross erscheinen darf.

G e o m e tr o g r a p h i s c h e F ü n f- u n d Z e h n e c k s - K o n s tr u k t i o n e n .

Von H . 13 o d e n s t e d t in B raunschw eig.

H e rr E . L e m o i n e h a t in sein W e rk : G c o m c - t r o g r a p h i e o u a r t d e s c o n s t r u c t i o n s g é o - m é t r i q u é s *) U ntersuchungen üb er die K reisteilu n g n ich t aufgenom m en, w odurch er seinen Schülern ein grosses A rbeitsfeld überlassen hat. Ich b iete im folgen­

den einige geom etrographische **), d. h. einfachste K on­

struktionen regelm ässiger Fünf- und Z ehnecke. Dazu schicke ich einen Satz voraus, der, in seinen Teilen bek an n t* * * ), vielleicht im Z usam m enhänge noch nicht ausgesprochen ist. D ieser Satz w ird durch folgende U cberlegungeu gew onnen :

I s t (Fig. 1) O A 0 A>) das B estim m ungsdreieck eines regelm ässigen Zehnecks im K reise 0 (r) und halbiert m an A0 A., 0 durch -Vi Po. sowie - 4 IV A «, 0 durch

*) „S c i c n t i a*, P h y s .- M a th é m . 1 10 1 8, E d i t e u r G . N a u d , P a r i s 1902.

* * ) U e b e r d ie g e n a u e re B e d e u tu n g d es B e g r iffe s e in e r

„ g e o m e tr o g ra p h is e h e n * K o n s t r u k tio n so w ie ü b e r d ie G ru n d - 7.üge d e r G e o m e tro g ra p h ic s e lb s t v e rw e ise ic h a u f d e n A u f s a tz d es H e r r n R . G ü n t s c h e in d ie s e r Z e i t s c h r i f t , J a h r g a n g 8, H e f t 3, 1902.

***) V e rg l. z . B . : H e n r i c i - T r o u t l e i n , L e h r b u c h d e r E le m e n ta r g e o in e tr ie , A ufl. 2. S e i t c2l l , A u fg . 8 a . o d e r R o u c h é - C o m b c r o u s s e , T r a i té d e G e o m e tr ie , s e p tiè m e E d i tio n , T . 1, S e ite lüo, p ro b l. 277.

Ai) Q0, ferner die N ebenwinkel durch A., Q0' und A., P r/, so te ilt je d e der vier H albierungslinien einen der R adien, A5 0 od er A 0 O, in dem selben V erhältnis und zwar stetig. In ihren V erlängerungen gehen die H albierungs-

A y ________4

/ \ \ l r \ r \

/ w \ \

( n V ^a. K

° a n : - \ \ ‘7 v / .’r .

\ \ \ /

\ / \

F ig . 1.

linien, wie sich aus d er W inkel Vergleichung erg ib t, je durch eine E cke des Zehnecks. E benso e rk lä rt es sieh, dass A„ P 5' und 1’0 A 2 gleich r sind. Solche Bezie­

hungen w iederholen sieh an den übrigen H auptachsen des Zclm ecks, und so gew innt m an den angedeuteten Satz, d er besonders anschaulich w ird, w enn m an die in R ü ck sich t auf die R aum verhältnisse h ier n u r zum ge­

ringen T eil ausgeführte F ig u r völlig auszeichnet:

T e i l t m a n d i e 10 R a d i e n n a c h d e n E c k e n e i n e s r e g e l m ä s s i g e n Z e h n e c k s s t e t i g i n n e r ­ l i c h u n d ii u s s e r 1 i c h u n d z w a r v o n j e d e 111 E n d p u n k t e a u s , s o e r h ä l t m a n

10.4

T c i l - p u n k t e v o n d e r L a g e , d a s s d i e V e r b i n d u n g s ­ l i n i e j e z w e i e r n i c h t d i a m e t r a l e r Z e h n ­ e c k s e c k e n d u r c h z w e i d i e s e r P u n k t o u n d j e d e r m i t d e m R a d i u s r u m e i n e E c k e d e s Z e h n e c k s g e s c h l a g e n e K r e i s d u r c h v i e r d i e s e r P u n k t e g e h t .

D er Satz is t auch analytisch leicht b ew iesen : Ist d e r K re ism itte lp u u k t 0 d er A nfan g sp u n k t eines re c h t­

w inkligen K oordinatensystem s, dessen A bscissenaehse du rch A 0 geht, und sind A ^ u n d A,, zwei beliebige E ck en eines regelm ässigen n-ecks im K reise, so ist die G leichung d er durch A „ u nd A,, gehenden G e ra d e n :

9 n

2

^V

.T

y-

^{- r sin}

.

z

u

r sm — x — r sin

n

n 2 n

r cos —— ,-i — r cos ■ n

n /

^2u

\

2 r < X n 4

Sic lässt sich au f d ie F orm b r in g e n :

u 4- r . ii -f- v u — v

x c o s zi 4- y s m zt= r c o s .7.

11 ‘ 11 n

Die G erade schneidet von d er x-aehse das S tück a b : u — v

c o s ZT IC ,

t

.

•

7

«-}->•

c o s zi n

[A uch als A nw endung des Sinussatzes ist dieser W ert zu gewinnen.]

F ü r das regelm ässige Z ehneck ist 11= 10; w ählt m an fü r /< und v zwei verschiedene W erte von 0 bis 9.

so erh ält m an einen bestim m ten A chsenschnitt, z. B.

fü r n = 9. i- = 2 :

0 0 3i ö *

11 1

C O S - . T

cos 126° — cos 54°

cos 198°r — cos 18® 1

1 9 0 4 . N o . B. Ge o h k t b ó g r a p h i s c h e Fü n f- u n d Zk h n e c k s- Ko n s t u u k t i o n e n. S . 5 7 .

el. h. die G erade A (J A., geht durch einen der T eilpunkte des Radius.

Die G leichung des K reises A /( (r) ist:

( x ^- r cos u ) - f ( y ^— r sin ^{?/■ - .t ) . = r ,} woraus sich die A chsensehnitte ergeben :

2

/<

X. = 0 und x„ = 2 r cos — ,t.

n F ü r u = IO und /i = 2 erh ält m an z. 13.

x2 = 2 r cos 72° = ^ (( '5 - ]).

Die nun folgenden K onstruktionen stützen sich zum grössten Teile a u f die in dem gebotenen Satze enthaltenen Beziehungen.

A u f g a b e 1 : D i e P e r i p h e r i e e i n e s K r e i s e s i n 1 0 [ o d e r 5] g l e i c h e T e i l e z u t e i l e n . Siebente geom etrographische K o n stru k tio n *) : D urch einen b e ­ liebigen D urchm esser schneide m an den gegebenen K reis 0 (r) in A5 u nd A0 : ( R j l h > ) (Fig. 2), durch einen

F ig . 2.

K reis A 0 (r) in B und ß ' : (2 C, + C3) und d u rch einen K reis A 5 (r) in C und

C'

:

(Cj

4

C3)

; dann ziehe m an C' A 0 m it den S ch n ittp u n k ten D und D ' au f A0 ( r ) : (2 R , -f- R 2). D er nun um B m it B D geschlagene K reis:

(2 C, 4 C3) erzeugt die goldenen S ch n ittp u n k te P 5 und P 5' des R adius 0 A 5. Bis h ierh er h an d elt es sich um die bekannte geom etrograpliische Sectio aurea („Sci- e n tia“ , X L I I I , 3). W ährend n un die erste Z irkelspitze noch in 13 w eilt, nehm e m an B 0 a u f: (Cj) und schlage dann die K reise P 5 ( r )

: (Ct 4 C3)

und P ./ ( r )

:

(Cs

4 C3).

E s ist je tz t der K reis 0 (r) m it 18 E lem enten in fünf gleiche Teile g eteilt in den P u n k te n Aj, A 3, A f), A 7 und A,j. S chlägt m an noch um die P unkte P0 und I’0', in denen die vorigen K reise die Achse schneiden, K reise m it r : (2 Cj 4 2 C3). so gew innt m an die noch fehlenden Zehnecksecken A ,. A_„ A i; und A8. O p .: (3 Rj -f- 2 R., 4 10 C| 4 7 C^); S .: 22; E .: 13. [U nd fü r die F ü n f­

te ilu n g : (3 R, 4 2 IG 4 8 Cj 4 5 C3) ; S . : 18; E . : 11].

A u f g a b e 2 : E i n e r n K r e i s e e i n r e g e l ­ m ä s s i g e s Z e h n e c k [ o d e r F ü n f e c k ] e i n z u - s c h r e i b e n . W ollte m an erst n ach der K reisteilung die Seiten zeichnen, so w ürde m an durch deren E le­

m ente (30 fü r die Seiten des Zehnecks und 15 fü r die des Fünfecks) au f den E infach h eitsg rad 52 [bezw. 33]

k o m m e n ; b ed en k t m an aber, dass S eiten u nd D iago­

nalen des regelm ässigen Zehnecks durch die goldenen S ch n ittp u n k te d er Radien gehen, so genügen für die Zehneckszeichnung die m it 18 E lem enten gewonnenen

*) D ie g e o m e tr o g r a p b is c h e n K o n s t r u k tio n e n 1—6 u n d 8 sin d i n d e n B e i tr ä g e n z u r G e o in e tro g ra p h ie , 1—3, v o n H . G ü n t s c h e im A r c h iv d e r SXathem. u n d P h v s . v e rö f f e n tlic h t.

Fünfecksecken. P r/ A, (F ig. 2) erzeugt alsdann A,„

P6' Aa die E ck e Ax, P 0' A ;l erzeugt A , und P0' AT end­

lich A (i. Es sind vier Elem ente g e sp a rt; m au e rh a lt:

S . : 48. [F ür das F ünfeck sp a rt man zwei E lem ente, da Q0' A t (vergl. Fig. 1) durch A., und Q0' A„ durch A7 g e h t; m an erh ält also S. : 81].

A u f g a b e 3 : D i e E c k p u n k t e d e s e i n e m K r e i s e O (r) u m s c h r i e b e n e n r e g e l m ä s s i g e n F ü n f e c k s zu k o n s t r u i e r e n . D ie gesuchten P u n k te liegen a u f einem K reise vom Radius r (j 5 — l) . Man könnte also O A5 (F ig. 2) stetig teilen, 0 P r, —- (| 5 ] ) verdoppeln und in

0

( 2

0 Pr,)

den erforderlichen K reis erhalten. Die F iin fteilu n g desselben ist sehr eitifacli zu gew innen; d ie : ganze K onstruktion ist a b er n ich t geom etrographisch (sie liefert S .: 24). Schneller kom m t m an zum Ziel, wenn m an r ( | ' ö — l ) d irek t konstruiert als grösseren A b sch n itt einer stetig .geteilten S trecke 2 r:

D urch einen beliebigen D urchm esser schneide m an den gegebenen K reis 0 in A und A ': (R t 4 R 2) (Fig. 3 );

F ig . 3.

nun schlage m an 3 K reise m it dem R adius A A ': der um A schneide die A chse in A " : (2 Ox 4 ö8 i, der um O in 13 und B ': ( 0 1 -(- C3) und der um B den vorigen in C u nd C ': (Cj 4 0 3!. E he m an die erste Z irk el­

spitze von B abhebt, nehm e m an B A ' au f: (C j); dann schneide man den K reis A (A A ') durch C G1' : (2 R t -f- R,) in D und schlage D ( B A ' ) : (C, 4 C3'. Die S c h n itt­

p u n k te P und P ’ dieses K reises m it der A chse teilen 0 B' ste tig ; also i s t O P — r ( | 5 — l ) . N un schlage m an O ( O P ) : (2 Cj 4 C3), d er die A chse in A 0, C G ’ in A 1 und A g und B ( A A ' ) in A2 und As schneidet. E in letzter Kreis B' (O P ) : (C, 4 C3) liefert die P unkte A^

und A e. Die verlangten E cken sin d : A0, A 2, A4, A (;

und A8. O p .: (3 R t -f- 2 R 2 4 - 9 0 , + 6 G .,); S .: 20;

E . : 12. D er in seiner E infachheit überraschende Schluss der K onstruktion b e d a rf der E rk lä ru n g : T e ilt man O P = r ( [ 5 — l ) ste tig , so w ird der äussere A bschnitt

= _ _ (L l i (| 5 4 l ) = 2 r ; B und B' sind also goldene Sch n ittp u n k te der R adien 0 P und 0 A0. So e rk lä rt es sich, dass B' (0 P ) zwei d er gesuchten E c k p u n k te erzeugt. Dass in A2 und Ag von selbst zwei der Ecken vorliegen, erk en n t m an nach F ig . 1, wo A 0 P5' g l e i c h s c h e n k l i g ist.

A u f g a b e 4 : E i n e m K r e i s e e i n r e g e l m ä s s i g e s F ü n f e c k z u u m s c h r e i b e n . D urch die V erbindungs­

linien der in A ufgabe 3 gew onnenen E cken verbrauchte m an 15 E lem ente, käm e also au f S . : 35. B edenkt m an aber, dass CO ' (F ig. 3) schon T an g en te an 0 (O A) ist, dass ih re S c h n ittp u n k te m it 0 (O P ), A t und A9, also

S. 58.

U N TER R IC H TSB LÄ TTER .

Jahrg. X. No. 3,

Fig.

4.

A (A B ) : ( 2 Cj -)- C3), der A B in E schneiden m öge, und B (A B ) : ( ¿ i ~f-C 3). Durch b eid er K reise S ch n itt­

pu nkte Z und / ' leg e m an d ie G erade : (2 R , -f- R»), die A B in C halbiert. A u f Z Z ’ trage man C D = A B a b : (C[ -f- C3), nehm e, während die erste Z irk elsp itze n och in C w eilt, C E a u f: (Cj) und schlage 11 ( C E ) : (C4 -j- C3V; dieser letzte Ivreis treffe A B in X und X '.

In diesen Punkten ist zwar n ich t A B , sondern A E ste tig g e te ilt; doch ist das h ier b elanglos, da der

A B

K adius des gew ünschten K reises, —— (| 5 p l ) , in B X vo rlieg t. Man schlage nun B (B X ) : (2 0 ( + C3) m it

F ig . 5.

dazu, sodass also M überbestim m t ist. V on W ert sind näm lich d ie P unk te Y und Y ', in denen A (B X ) und B ( B X ) die L in ie A B schneiden. N un sch lage man M (M X ) : (2 Ct -j- C3) ; es is t d ies der U m kreis eines Sternzeh neck s, das nun ohne M ühe m it 9.3 E lem en ten ein gezeich n et w erden kann und das daS verlangte Zehn- eek A B L R T V Ü S Q K in sich enthält. O p .: (20 Rj p 10 R2 p 11 Cj —|- t C3) ; S . : 48 ; E . : 31.

E cken des regelm ässigen Z ehnecks in 0 (O P ) sind, so­

wie, dass P ’ Aj und P 'A ,, durch 2 w eitere dieser E cken, A., und A -, geh en m üssen, so erk en nt m au B ' (O P ) als überflüssig und hat nach den 18 E lem en ten für die G ew innung von 0 (O P ) nur noch die 12 E lem en te n ö tig für die 4 fehlen d en S eiten des F ü n feck s A ( A 3 A r> ( = P ) A ; A 9. S .: 30.

A u f g a b e 5 : E i n e m K r e i s e e i n r e g e l m ä s s i g e s Z e h n e c k z u u m s c h r e i b e n . Durch K onstruktion b eider F ü n feck e ans A u fg a b e 4, A , A :l A - (— P) A - A 9 und A 0 A 2 A 4 Ag A 8j gew in n t man das gew ü n sch te Z ehn­

eck m it (18 -{- 2 p 15 p 12) E lem en ten . A lso : S . : 47.

A u f g a b e 6 : D i e E c k e n e i n e s r e g e l m ä s s i g e n F ü n f e c k s ü b e r A B z u k o n s t r u i e r e n . N ach­

dem man A B in 13 E lem en ten ste tig g e te ilt hat, sch lä g t m an um B und A m it dem äusseren A b sch n itt

(l 5 p l ) K reise: (3 Ct p 2 C3). D iese schneiden sich und die schon vorhandenen K reise A (A ß ) und B ( A B ) sow ohl oberhalb w ie unterhalb A B in den gesuchten Punk ten . S . : 18.

A u f g a b e 7 : D i e E c k e n e i n e s r e g e l m ä s s i g e n Z e h n e c k s ü b e r A B z u k o n s t r u i e r e n . Man teile w ieder A B stetig , w ähle aber diesesm al die K on­

struktion, w elch e zu gleich die Sym m etrieach se von A B liefert als Ort für den M ittelp un kt des K reises, au f dem die gesuchten P unk te liegen. E s ist die Kon­

struktion „ S cien tia “, X L I I I , 2 : M an sch lage (F ig . 4)

den Schn ittp un kten H au f A ( A B ) und AI auf der S ym m etrieach se und dann M (B X ) : (Cj -(- 0 3), der die K reise A (A B) und B ( A B ) in F und G schn eidet.

F und G sind zw ei der gesuchten P unk te. D ie noch fehlenden sechs E ck en zu gew innen, kann man m it G F K reise um G, B , A und F schlagen : (5 0 , -f- 4 C3);

oder m an sch lä g t m it dem schon ein g estellten R adius B X den K reis II ( B X ) : (0 , + C3), der B ( B A ) in K sch n eid et; dann K ( B X ) : ( 0 4 p C3), sodass in L und N zw ei der gesu ch ten P unk te gefund en w erd en ; während d ie erste Z irk elsp itze noch in K w eilt, fasse man K B und sch lage schliesslich L ( K B ) und N ( K B ) : (3 C 4 p 2 U 3).

In beiden F ä llen erh ält man : O p .: (2 R4 P R 2 p 14 0 4 - j - 1 0 C 3) ; S . : 2 7 ; E . : 16. D as erste V erfah ren ist das du rchsichtigere, das zw eite liefert ein e elegantere F igu r und sch ein t m ir in sein er B egrü ndu ng leh rreich er: H ist, da B H — B X = ~ ( |,r5 p E c k e des regelm ässigen Z ehnecks im K reise A (A ß ) ; ebenso is t der zu H sym m etrische P u n k t K Z ehnecksecke im K reise B (A B).

AI ist, da Al A = AI B = ~ ( / ö -p l ) , äusserer stetiger T eilp u n k t von R adien der K reise A (A ß ) und B (A B ).

A lso ist AI 11 = Al K = A B. S o m it sind 11 und K im K reise AI ( AI A) innere stetig e T eilp u n k te von R ad ien ; daher m üssen K reise um H und K m it dem R adius M A = B I durch E ck en des regelm ässigen Z ehnecks im K reise AI (Al A ) gehen.

A u f g a b e 8 : U e b e r A B e i n r e g e 1 m ii s s i g e s Z e h n e c k z u k o n s t r u i e r e n . W o llte man nach V o llen d u n g der A u fg a b e 7 die noch fehlen den 9 S eiten ein zeich n en : (18 R[ -J- 9 R ,), so erh ielte man S .: 54.

AVesentlich ein fach er ist folgen d e K on stru k tion : Alan verfahre w ie in A u fg a b e 7 nur bis zur G ew in nu ng des A littelpu nk tes M, fü g e aber A ( B X ) : ( 0 , - f C3) (F ig . 5)