, Jahrgang- X .
U nterrichtsblätter
1904. Nr. 1.
für
Mathematik und Naturwissenschaften.
O rg an des V e rein s z u r F ö rd e ru n g
des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n sc h a fte n .
Begründet unter M itwirkung von Bernhard Sch w alb e,
h e r a u s g e g e b e n v o n
F. P i e t z k e r ,
P r o fe s s o r am G y m n a siu m z u N o rd h a u se n .
V e r l a g : v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 30.
Redaktion: A lle f ü r d ie R e d a k tio n b e stim m te n M itte ilu n g e n u n d S e n d u n g e n w e rd e n n u r a n d ie A d re sse d es P r o f. P i e t z k e r i n N o rd n a u s e n e rb e te n .
V e r e in: A n m e ld u n g e n u n d B e i tr a g s z a h lu n g e n f ü r d e n V e re in (3 M k. J a h r e s b e i t r a g o d e r e in m a lig e r B e i tr a g v o n 45 M k.) sin d a n d e n S c h a tz m e is te r, P r o fe s s o r P r e s l e r in H a n n o v e r, L i n d e n e rs tra s s e 47, z u r ic h te n .
V erlag: D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g vo n 6 N u m m e rn is t 3 M ark , f ü r e in z e ln e N u m m e rn 00 P f . D ie V e re in s m it
g lie d e r e r h a lte n d ie Z e its c h r if t u n e n t g e l t l i c h ; fr ü h e r e J a h r g ä n g e sin d d u rc h d e n V e rla g b ez. e in e B u c h h d lg . zu b e z ie h e n . A n z e i g e n k o s te n 2 5 P f. fü r d ie 3 - g e s p . N o n n a r.- Z e ile ; bei A u fg a b e h a lb e r o d . g a n z e r S e ite n , so w ie bei W ie d e rh o lu n g e n E r m ä s s ig u n g . — B e ila g e g e b ü h re n n a c h U e b e r e in k u n f t.
N a c h d r u c k d e r e in z e ln e n A rtik e l is t, w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e so n d e rs a u sg e n o m m e n , n u r m it g e n a u e r A n g a b e d e r Q uelle u n d m it d e r Are r p f lie h tu n g d e r E i n s e n d u n g e in e s B e le g e x e m p la rs a n d e n V e rla g g e s ta tte t.
I n h t t l t: V ereins-A ngelegenheiten (S. 1). — Is t auch für M athem atiker und N aturw issenschaftler ein längerer Urlaub zur wissenschaftlichen W eiterbildung w ünschensw ert? Von M. L a t r i l l e (S. 1). —- E ine neue B ehandlung des U nendlichen im m athem atischen U nterrichte. Von K u r t G e i s s l e r (S. 3). — Die Schubkurbel. Von F . E b n e r (S ..6). — Z u r Behandlung der regelm ässigen Vielecke. Von Dr. K a r l B o c h o v v , F ortsetzung (S. 12). — P lanim etrisehe A b leitu n g der kubischen G leichung fü r die W inkol- T risektion. Von O t t o S c h n e i d e r (S. 17). — V ereine und V ersam m lungen [75. V ersam m lung d eu t
scher N aturforscher und A erzte in K assel vom 20. bis 26. S eptem ber 1903; II I. In tern atio n aler M athe
m atiker-K ongress zu H eidelberg] (S. 17). — L ehrm ittel-B esprechungen (S. 18). — B ücher-Besprechungen (S. 19). — Z u r Besprechung eingetroll'ene B ücher fS. 20). — A nzeigen.
V e rein s-A n g eleg en h eiten .
W ie bereits in No. 3 des abgelaufenen Jahrgangs m itgeteilt worden ist, w ird die dies
jährige — dreizehnte — Hauptversammlung des Vereins in der Pfingstwoche d. .1. in H a l l e a. S.
abgelialten werden.
Die allgemeinen Sitzungen sollen für die Diskussion über besonders wichtige Fragen des exaktw issenschaftlichen U nterrichts offen gehalten werden, als solche sind „die Behandlung der Physik als N aturw issenschaft“ und „die Bildungsaufgabe der M athematik innerhalb des U nterrichts an den höheren Schulen" in Aussicht genommen, für beide Them ata sind B ericht
ersta tte r bereits gewonnen worden. Dagegen sind Anmeldungen zu V orträgen in den einzelnen Abteilungen noch sehr willkommen. W ir bitten diese an D irektor Dr. S c h o t t e n in Halle a. S., Sophienstrasse 37, oder an Professor P i e t z k e r in Nördhausen zu richten.
F erner werden die Vereinsmitglieder ersucht, den Jahresbeitrag für 1904, sow eit dies noch nicht geschehen ist, unter Benutzung des dieser Nummer beiliegenden Postanw eisungs
formulars bis zum 1. April d. J. an den Vereins-Schatzmeister (Prof.
P re sle rin Hannover.
Lindenerstrasse 47) einzusenden. Die bis dahin nicht eingegangenen B eiträge werden im Laufe des folgenden Vierteljahrs durch Postnachnahm e eingezogen werden (§ 5 der Vereins-SatzungeD).
D er V erein s-V orstan d . Ist auch für M athem atiker und
N a tu r w isse n sc h a fter ein lä n g ererU rla u b zu r w is se n s c h a ftlic h e n W eite rb ild u n g
w ü n sc h e n sw e r t ?
Von
M.
L a t r i l l e , O berlehrer am R eform -R ealgym nasium in K iel.
Kollegen mit einem halbjährigen Urlaub und einer staatlichen U nterstützung ins Ausland gezogen, um sich in der französischen oder
Jenglischen Sprache zu vervollkommnen. W ir
M athem atiker und N aturw issenschaftler gönnen
ihnen diese Zeit des Studiums, frei von den
Mit dem Beginn des W intersem esters sind Berufsgeschäften, herzlich. Aber es liegt nahe
wieder eine Anzahl unserer neuphilologisclien zu überlegen, ob nicht auch für uns eine solche
S . 2 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X . N o . 1.
Zeit der W eiterbildung möglich und wünschens
w ert ist. Man könnte auf die Ferienkurse hin- weisen, in denen wir Gelegenheit haben, uns mit den neuen Entdeckungen und Gedanken auf den verschiedenen Gebieten v ertrau t zu machen. Mir liegt es -fern, diese Ferienkurse zu unterschätzen; ich habe selber an einem solchen in Berlin teilgenommen und denke noch gern an denselben zurück. Doch zweierlei Mängel w ird wohl auch der eifrigste Verteidiger dieser Kurse einräumen. Der eine ist die Kürze der Zeit, die dazu zw ingt, eine solche Fülle von Stoff und Anregungen zusammen zu häufen, dass der eine Eindruck den anderen stö rt. Der zweite liegt in der grossen Schw ierigkeit — um nicht zu sagen Unm öglichkeit — für uns, die während des Kursus aufgenommenen Keime nachher w eiter zu pflegen und zur E ntfaltung zu bringen. Dazu fehlt uns die Zeit und den meisten von uns auch die experim entellen und literarischen Hilfsm ittel. Es wäre also äusserst erw ünscht, wenn neben diese Kurse —- nicht s ta tt derselben — eine andere E inrichtung träte, welche einer Anzahl von uns in aus
giebiger W eise Z eit und Gelegenheit böte, uns m it unseren W issenschaften zu beschäftigen;
existieren ja auch für die Neuphilologen diese Auslandsreisen neben den Ferienkursen.
Vielleicht herrscht hier und da die Ansicht, bei den Neuphilologen liege die Sache doch etwas anders. Dieses Fach sei durch die E n t
wickelung der Pädagogik vor ganz neue Auf
gaben gestellt, die Anforderungen an seine Ver
tre te r seien ungleich höher als früher, und besondere Aufgaben erfordern besondere Mittel.
Bei uns M athem atikern und N aturw issenschaft
lern herrsche dagegen eine Zeit grösserer S tetig
keit und R uhe; wesentlich neue Aufgaben gebe es für uns nicht. Deshalb sei auch für uns das Bedürfnis nach einer zeitraubenden W eiterbil
dung nicht vorhanden. Ich glaube, man braucht diesen Gedanken nur auszusprechen, um von allen Seiten energischen W iderspruch zu er
fahren. Die neuen Lehrpläne führten die d ar
stellende Geometrie in unser Schulpensum ein, und man mag über die A rt und W eise, wie sie je tz t dem Lehrplan eingeordnet ist, denken, wie man will, w ir werden sie sicher in dem Schulpensum behalten. Da haben namentlich die nicht mehr ganz jungen m athem atischen L ehrer, die während ihrer Studienzeit dazu keine Veranlassung h a tte n , den brennenden W unsch, sich recht gründlich m it dieser Dis
ziplin zu beschäftigen. In der Physik und Chemie haben die letzten Jah re eine Reihe ganz neuer Tatsachen und dem entsprechend neuer Hypothesen ans Licht gebracht. W ir alle haben den dringenden W unsch, nicht nur darüber etwas zu lesen, sondern von sachverständigster Seite an der Hand des Experim entes damit vertraut
gem acht zu werden. Die sogenannten beschrei
benden N aturw issenschaften fordern die Ein-
! fiihrung der Biologie in unsere oberen Klassen.
| Auch m it dieser Frage haben wir alle uns, so g u t es gehen wollte, beschäftigt. Aber die Zeit ist knapp, die Hilfsmittel gering. W ir haben w ieder den dringenden W unsch, auch auf diesem Gebiete gründlich heimisch zu werden.
Endlich arbeiten manche von uns darauf hin, dass der gesamte U n terrich t ausnüiude in eine philosophische Propädeutik, die auf naturw issen
schaftlicher Grundlage ru h t und demnach auch von einem V ertreter unserer F äch er erteilt wird.
Der W u n s c h i s t n i c h t u n b e r e c h t i g t , m a n m ö g e u n s Z e i t und Gelegenheit ge
währen, dass wir uns in diesen Gedankenkreis vertiefen können, wenn es auch hier leichter ist als auf den anderen G e b ie te n , wo das Studium von Büchern keineswegs ausreicht.
Also Aufgaben gibt es für uns genug, das Be
dürfnis nach einer längeren U nterbrechung unserer B erufstätigkeit behufs wissenschaftlicher W eiterbildung ist zweifellos vorhanden. W ie aber eine E inrichtung treffen, die dieses Be
dürfnis zu befriedigen geeignet is t?
Ich möchte m ir erlau b en , meinen F ach
genossen folgenden Vorschlag zur B egutachtung zu unterbreiten.
W ie für die Neuphilologen stellt der S taat auch für uns eine Anzahl Stipendien zur Ver
fügung. Die Inhaber eines solchen werden auf ein halbes Ja h r b eurlau bt; für die Ver
tretu n g sorgt der P atro n der A nstalt, also j e nachdem der S taat oder die GemeindeT'Soweit ist die Regelung der Angelegenheit ja sein- einfach, aber nun erhebt sich die Frage, wie wird das Semester am besten benutzt? Soll sich jeder, ähnlich wie die Neuphilologen, auf seine eigene Hand einen O rt aussuc.hen und dort gerade das stu dieren , wozu seine Neigung ihn tre ib t? Dagegen habe ich einmal das Bedenken, dass w ir wohl kaum in einer U niversitätsstadt das finden werden, was w ir su ch e n ; die ge
wöhnlichen Kollegien und Uebungen entsprechen doch unseren Zwecken zu wenig. Ferner soll ja dieser Urlaub in der H auptsache dem U n ter
richte zu gute kom m en, das tu t bei den Neu
philologen jeder A ufenthalt im Auslande, bei uns aber, wenigstens un m ittelb ar, nicht jede Beschäftigung m it unseren W issenschaften. Es müsste also au f eine andere W eise für unsere Bestrebungen gesorgt werden, und da bleibt nichts anderes ü b r ig , als eine gewisse Zentra
lisation. Alle Inhaber eines solchen S tip e n diums begeben sich an denselben Ort, man könnte an Berlin denken wegen der Eiille der Hilfsm ittel, auch an G öttingen, wo wir vor
aussichtlich in der Person des H errn Professor K l e i n warme U nterstützung finden würden.
Doch kommt die W ahl des. Ortes erst in zw eiter
1904. No. 1.
Ei n e n e u e Be h a n d l u n g d e s Un e n d l i c h e n.S. 3.
Linie inbetracht. An diesem Orte werden be
sondere Kurse eingerichtet. Die Vorm ittage sind Vorlesungen gewidmet. Diese umfassen die F ortschritte in der Physik und Chemie, angewandte M athematik, die neueren Ergebnisse in der Zoologie und B otanik, doch wäre hier das H auptgew icht nicht auf die Systematik zu legen, sondern auf allgemeine, besonders biolo
gische Fragen. An den Nachmittagen wird Gelegenheit zu Uebungen geboten, und hier wird der Individualität grösserer Spielraum gelassen, so dass der eine sich in der dar
stellenden Geometrie ausbilden kann, andere physikalische, chemische usw. Untersuchungen vornehmen können. Ich brauche wohl kaum zu sagen, dass nicht jed er Tag besetzt werden darf, dam it Zeit zur gründlichen V erarbeitung bleibt.
N otwendig für das Gelingen dieser Ein
richtung ist natürlich ein weitgehendes E n t
gegenkommen der Dozenten, die einmal die Vorlesungen ganz für unsere Bedürfnisse ein
rieh ten müssten, m it den üblichen Kollegien über Experim entalphysik und Chemie, allgemeine Zoologie und Botanik dürften diese keine Aehnlichkeit haben - dann auch in den Uebungen wohl mehr A rbeit von uns haben würden als von anderen P raktikanten. Die H erren, die sich dieser Mühe unterzögen, wären vom Staate angemessen zu honorieren. W egen der akade
mischen Ferien ist wohl nur das W intersem ester für solche Kurse geeignet.
Die betreffende U niversitätsstadt ist auch der passende O rt für eine dauernde Ausstellung von Lehrm itteln auf allen Gebieten der N atur
wissenschaften. Ich denke mir, die grösseren Firm en würden m it Freude die Gelegenheit ergreifen, uns auf diese W eise m it ihren neuen Apparaten usw. bekannt zu machen.
Diese Zentralisierung hat allerdings gewisse S chattenseiten, andererseits aber auch viele V orteile; ich liebe noch den Umstand hervor, dass eine ganze Anzahl V ertreter unserer Fächer genauer bekannt werden, sicli ihre bisherigen Erfahrungen mitfeilen und gegenseitig anregen können. Ich verhehle mir nicht, dass noch manche Schwierigkeiten zu überwinden sind, ehe der ausgesprochene Gedanke in die Tat um gesetzt werden kann. Aber wenn ich mich nicht täusche, dass mein Vorschlag einem all
gemein empfundenen Bedürfnis Ausdruck gibt, so w äre es wohl richtig, in dieser Zeitschrift Abänderungs- und Erw eiterungsvorschläge zur Sprache zu bringen. Haben sich die Ansichten geklärt, so m üsste der Vorstand unseres Vereins die Angelegenheit in die Hand nehmen, be
stimmte A nträge form ulieren, diese auf der nächsten Versammlung vorlegen und im Falle ihrer Annahme dem H errn M inister unterbreiten.
Bei dem grossen Wohlwollen, das das U nter
richtsm inisterium unbestreitbar allen Bestre
bungen entgegenbringt, die auf eine Verbesserung des U nterrichtes und der Ausbildung der Lehrer hinzielen, dürfen auch wir auf die Erfüllung unserer W ünsche hoffen. Ich würde mich freuen, wenn diese Zeilen den Anstoss zu einer Einrichtung gäben, die unseren Fächern und ihren V ertretern noch mehr als bisher die ihnen gebührende Beachtung sichern würde.
E in e n eu e B eh an d lu n g d es U n en d lich en im m a th em a tisch en U n terrich te.
V o rtra g au f d er H auptversam m lung in B reslau*).
Von K u v t G e i bs 1 e r (C harlottenburg).
W enn w ir die M athematik der Schule zu i überschauen versuchen, so erscheint sie uns wohl als ein Gebäude von grösser Sicherheit, aufge
baut auf feste Grundsteine und em porgeführt m it verschiedenen W andungen bis zu einer ge
wissen Höhe, bis zu einer A rt von Abschluss, der ein unbeschränktes W eiterbauen g estattet.
Aber wir merken doch auch, dass dieser Bau in gewissem Sinne luftig ist, es schliesst sich nicht alles eng aneinander; es bedarf zwar jeder Satz, jede U ntersuchung nach unten hin sicherer, vorher gelegter Stützen, indessen bleiben viele absichtliche oder unabsichtliche Lücken zwischen den einzelnen Bausteinen. Da taucht z. B. ein Pythagoreischer Lehrsatz auf, er stü tzt sich auf andere, aber man sieht nicht etw a ein lückenloses Ganzes einer nicht mehr vermehr- baren A llheit von Sätzen.
Je w eiter das Gebiet der Anwendungen wird, auf das Leben, auf die Natur, um so mehr be
vorzugen w ir Sätze von praktischer B rauchbar
keit; und um so mehr gew innt das Bild der M athem atik den Eindruck eines sinnlichen Bildes, eines Bildes, in dem Grössen von endlicher Ausdehnung Vorkommen. Zwar wissen wir, dass hier und da die Rede war vom Unendlichen, z. B. bei den Parallelen, bei der Geraden, die nie aufhört, bei der Verkleinerung in das Un
endlichkleine, etw a wenn man die Seitenzahl eines dem Kreise einbeschriebenen Polygons in unendliche Anzahl hinein vermehrt. Das Un
endliche erscheint zwar wie etwas nicht recht Entbehrliches, aber doch nur hier und da wieder Auftauchendes.
W enn ich im Folgenden eine Behandlung des Unendlichen Ihnen mitzuteilen versuche, die das genannte Bild der M athematik wesent
lich verändert, so muss ich in mehrfacher Be
ziehung um Ihre Nachsicht bitten. Erstlich ist es nicht leicht, in der kurzen Zeit eines Vortrags das Thema einigermassen in einheitlich abge
schlossener W eise zu behandeln. Die Versuchung, in mathematische Einzelheiten einzugehen, ist
*) S. U nt.-B l. IX , 3, S. 60.
S 4.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg . X. No. 1.
gross. Doch muss ich mich dessen so viel wie
jmöglich e n th a lte n , um den allgemeinen Sinn des Ganzen deutlich hervortreten zu lassen.
F erner liegt die grosse Schw ierigkeit vor, dass ; ich beträchtlich von gew ohnten Vorstellungen j abweichen muss, und dass ausgebildete Geister, die obenein ihre Lehrm ethode vielfach erprobt i haben, nicht so leicht auf neue Ideengänge ein- gehen, wie die gänzlich Unbefangenen oder Un
geübten, wie z. B. eine Generation von Schülern, welche eben erst anfängt zu lernen. Freilich würden diese ganz unfähig sein in einer einzigen Stunde während eines kurzen V ortrages das Gebiet der Schulm athematik zu durchiliegen, dazu gehö rt die E rfahrung des Geübten.
Ich bitte Sie deshalb freundlichst, die A rt meines V ortrags nicht als den Versuch einer R echtfertigung oder gar eines Beweises dieser Unendlichkeitslehren anzusehen, sondern nur als einen Abriss und eine A rt von R eferat über meine eigene U nterrich tstätig k eit in dieser Hinsicht..
W enn man m it der Geometrie beginnt, wie vielfach üblich, so wird man zunächst die sinn
liche Anschauung zu Hilfe nehm en, z . B. das Zeichnen. Man will versuchen, geom etrische Gebilde zu zeichnen. W elchen Zweck h at eine
jZeichnung, danach sollte man die Schüler zuerst j fragen. Eine lebhafte Beteiligung bleibt nie
jaus. Man kom m t dabin festzustellen, dass man m it irgend welchem M aterial etwas herstellt, welches irgend einen Beschauer zu derselben Vorstellung a n r e g e n soll, wie sie der Zeich
nende hatte. Danach also kann man auch solche Dinge zeichnen, die es garnicht in der räum- ! liehen Sinnen-W elt gibt, wenn es sie nur in der Vorstellung gibt. Das lässt sich leicht am j P u n k t e zeigen. An der Tafel entsteht ein Fleck. W as ist der F leck ? W ill man den Eindruck oder die V orstellung von Kreide er
wecken? Nein, man will, dass der Beschauer nicht an das Stoffliche d en k t, sondern nur an das Räumliche. Sieht man das rein Räumliche?
Sieht man einen P u n k t? Nein, der Kreidefleck ist zu gross, er darf aber auch nicht so klein werden, dass man ihn nicht mehr sieht, sonst wird g ar kein Eindruck erweckt. D a s Z e i c h n e n i s t a l s o e i n e m a n g e l h a f t e W i e d e r g ä b e d e r g e o m e t r i s c h e n V o r s t e 11 u n g . Der P u n k t soll kleiner sein als der Kreidefleck.
W ie klein? Die unbefangenen Schüler pflegen nicht zu sagen, der P u n k t solle gar keine Grösse mehr haben. W er bew eist uns auch, dass der P u n k t keine Grösse h a t? Sicher gelangt man zur P unktvorstellung leicht von Grössen aus, die man sich immer kleiner denkt. Zeichnet man zwei kleine, sehr nahe Flecke an die Tafel, so stellen sie keinen P u n k t vor, auch die zwischen ihnen gezogene Linie tu t dies nicht.
W arum n ich t? Man kann ja noch die Enden
unterscheiden oder sie sich als etwas U nter
schiedenes vorstellen. Die kleine Linie ist be
grenzt. D er P unkt aber, wie soll er sein?
Man bekom m t leicht die A ntw ort: grenzenlos klein. Sie erinnert gehr an das Euklidische:
ein P u n k t ist, was keine Teile hat. Ich möchte hierbei bleiben und ihn nicht als Ausdehnungs
los, sondern als g r e n z e n l o s k l e i n fassen.
Man h at hierdurch zum mindesten eine Schwierig
k eit vermieden, näm lich, dass der P u n k t zum ausgedehnten Raume gehören und doch keine Ausdehnung haben soll.
E r ist nicht sinnlichwahrnehm bar. Gibt es wohl in der N atur Stoffteilchen, die nicht mehr m it dem Auge wahrnehm bar sind? Man erinnert an Riechstoffe. Nocli kleinere Teilchen als diese sind sinnlichvorstellbar, unsere Sinne versagen zwar, aber im übrigen sind es doch Teilchen, ebenso wie die sinnlichwahrge
nommenen: man will aus einer endlichen An
zahl derselben das Sinnlichwahrnehm bare zu
sammensetzen. Der P unkt indessen h at keine sinnlichen E igensch aften; seine Grösse gellt nicht bloss unter das Sinnlichwahrgenommene, sondern auch u nter das Sinnlichvorstellbare.
W ir sagen, er gehöre zu Grössen, welche u n t e r - s i n n 1 i c h v o r s t e 11 b a r sind. Aber w ir setzen auch hinzu, dass er keine Grenzen haben soll, also er ist untersinnlich vorstellbar und g r e n z e n lo s . Das kann m an, wie ich oft. erfuhr, sehr leicht jedem Kinde von 10 bis zu 12 Jahren klar machen.
Die L i n i e ist in einer R ichtung ebenfalls grenzenlos klein, in anderer R ichtung InuUsie eine Ausdehnung. Sie wird aber begrenzt, wenn w ir wollen, durch Punkte, also kann man den P u n k t als eine Linie von untersinnlichvor
stellbarer Kürze fassen. So ist auch die Fläche in einer R ichtung, einer Dimension grenzenlos klein und untersinnlichvorstellbar, in zwei anderen aber endlich, ja sogar unendlich ausgedehnt vorstellbar. W ir haben hierbei eine eigentüm liche F ähigkeit der V orstellungskraft verwendet, nämlich die B e g r e n z u n g . Den K örper be
grenzen w ir durch etwas, in einer R ichtung Grenzenloskleines, die F läche, die also als K örper von grenzenlos kleiner Dünne aufgefasst werden kann, durch die Linie, die Linie durch den P unk t. L etzterer d arf also auch als ein dreidimensionales Gebilde aufgefasst werden, als ein g r e n z e n l o s k l e i n e r , u n t e r s i n n - l i e h v o r s t e i l b a r e r K ö r p e r . Es ist aber
jeine Tatsache, dass w ir alle drei Ausdehnungen, Länge, B re ite , Dicke nach Belieben in der V orstellung erw eitern können. W ie w eit? So
weit, dass uns ein Schwindel erfasst. Was
bedeutet, das? W ir werden unsicher in unserer
endlichen, in unserer Wahrnehmungswelt,, die
Grenzen verschwinden, alles Endliche erscheint
gegenüber derartigen Grössen, wie wir sie
1904. No. 1.
Ei n e n e u e Be h a n d l u n g d e s Un e n d l i c h e n.S. 5.
schliesslich in der Vorstellung haben können, grenzenlos, verschw indend, vermag diese in ihrem unendlichen W esen nicht zu vergrössern, ist für sie; grenzenlos klein. E i n e n d l i c h e r K ö r p e r i s t g e g e n ü b e r d e r u n e n d l i c h e n , d e r ü b e r s i n n l i c h v o r s t e l l b a r e n A u s d e h n u n g k l e i n w i e e i n P u n k t . D a
nach also könnte das, was w ir das eine Mal als einen P unkt, als etw as grenzenlos Kleines betrachten, das andere M al, also in Beziehung auf noch viel kleinere Gebilde wieder begrenz
bar erscheinen, und der begrenzte endliche Körper oder eine endliche Linienstrecke wäre f ü r eine unendlichlange Ausdehnung geradezu ein P unkt. Sobald w ir also eine Grösse nicht mehr mit Grenzen behaften, sondern sie selbst als eine Grenze für etwas unvergleichlich viel Grösseres ansehen, so ändert sich auch der Name, der bisherige K örper heisst ein Punkt.
Es kommt also dabei immer darauf an, in welches W eitengebiet sich unser Geist versetzt, ein P unkt, der eine endliche Linie begrenzt, der grenzenlos klein ist g e g e n ii b e r dem Sinnlichen, dieser könnte in der W elt des viel K leineren, in der W elt des Unendlichkleinen oder Untersinnlichvorstellbaren mit einer Aus
dehnung vorgestellt werden. Dann freilich ist er für dieses W eitengebiet keine Grenze mehr, sondern kann nun selbst wieder begrenzt werden durch noch viel K leineres, durch ein auch für diese kleine W elt wieder G r e n z e n l o s k l e i n e s (zweiter Ordnung oder n i e d e r e r W e i t e n - b e h a f t u n g ) . Die F ähigkeit sich so ver
schiedene W eitengebiete vorzustellen, nennen wir d i e W e i t e n b e h a f t u n g e n z. B. die W eitenbehaftungen des Endlichen oder Sinn
lichvorstellbaren, und dazu noch W eitenbehaf
tungen nach dem Untersinnlichen und Ueber- sinnlichen hin.
In irgend einem W eitengebiete, z. B. im S innlichvorstellbaren, kann man nun wieder vielerlei Unterscheidungen machen. Es gibt z. B. mancherlei Arten von Linien. Man er
wecke die Vorstellung durch Zeichnung von K r e i s e n , kleinen und grossen. W as wird schliesslich ein Kreis sein, der grenzenlos klein im Endlichen w ird ? Ein P u n k t für das End
liche. Aber was denn ein K reis, der immer grösser wird und schliesslich so gross, dass die endlichen dam it gar nicht mehr zu vergleichen sind ? Man gelangt zur Anschauung der Geraden.
Man kann dieselbe als eine im Unendlichen Krumme betrachten. Nun schneide man aus einem endlichen Kreise immer kleinere Stücke heraus, sie sehen immer weniger krumm aus, d. h. für ein Auge, das sich absichtlich in das Kleine begibt. W ie werden sie von uns vor
gestellt werden im Gebiete des Untersinnlichen?
So lange w ir sie noch begrenzen: als k l e i n e g e r a d e S t r e c k e n , wenn wir sie nicht mehr
begrenzen und m it dem Endlichen vergleichen:
als P unkte für das Endliche.
W as ist e i n e G e r a d e f ü r d a s E n d l i c h e ? Man kann sie so auffassen, dass es auf die kürzeste Entfernung ankommt. Ein Kind, welches unbefangen ist, wird nicht leicht sagen, es gebe nur eine kürzeste. Sobald es bereits seine Aufmerksamkeit auf Unendlich
kleines g erichtet hat, so wird es leicht ver
stehen, dass wir den Unterschied zweier W ege immer kleiner machen können. W ir gelangen so auf die unendlichkleine Zahl oder Massgrösse.
Und es ist recht leicht zu sagen: zwei Wege, die sich nur noch um Unendlichkleines unter
scheiden , haben für das Sinnlichvorstellbare keinen U nterschied mehr. Daraus fo lg t, dass es beliebig viele, um unendlichwenig verschiedene W ege geben kann, die sich doch im Endlichen zu einem einzigen zusammenschliessen, z. B. zu der einzigen endlichen Geraden. Auf diesem W ege gelangt man zu dem r e l a t i v e n B e g r i f f e d e r G e r a d e n , den ich aufstellte, um dadurch auch die Schw ierigkeit des unendlich- grossen und kleinen Kreises fortfallen zu lassen.
(Jahresberichte der D. Math. Vereinigung 1903, H eft 5). Sie werden erkennen, dass in der T at alsdann d e r u n e n d l i c h k l e i n e K r e i s b o g e n für das Untersinnlichvorstellbare noch krumm sein kann, während er für gewisse Be- haftungen gerade ist.
Aus dem Gesagten folgt ganz einfach, ohne besondere Axiome, dass sich K örper in Flächen, Flächen inL inien, Linien in Punkten s c h n e i d e n . Man kann sich nun auf irgend einer endlichen Linienstrecke, die mithin durch Zwei Endpunkte begrenzt sein soll, beliebig viele Punkte vor
stellen, sie m i t beliebig vielen P u n k t e n b e h a f t e n . z. B. kann man sie durch ein Büschel von Strahlen schneiden lassen. Kann man sie auch in unendlichkleine Strecken zerlegen?
A llerdings, natürlich nur in unendlichviele, und die Grenzen zwischen je zwei von solchen unendlichkleinen Strecken sind wieder Punkte, nämlich „Grenzenloskleines zw eiter O rdnung“.
Kann man auch eine endliche Strecke in P un kte zerlegen oder eine solche aus Punkten z u - s a m m e n s e t z e n , ein Versuch, der oft gem acht worden ist und gem acht wird, aber auch sehr angestritten w ird? Da der P u n k t grenzenlos klein sein soll, so kann man die einzelnen P unkte nicht aneinandergrenzen lassen, folglich en tsteh t aus unendlichvielen P unkten keine endliche Strecke, auch dann nicht, wenn es endliche P un kte sind. Kann man einen Kreis aus P unkten zusammensetzen, kann man sagen, d e r g e o m e t r i s c h e O r t für alle Punkte, die von einem Punkte in der Ebene gleiche E n t
fernung haben, sei der K reis? Gewiss, wenn
man nicht etw a unter dem geometrischen Orte
die Gesam theit aller P unkte versteht. D er Aus-
S.
6.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jah rg . X. No. 1.
druck G e s a m t h e i t hat eine endliche.'Summe, also den Kreis doch nur, wenn das Einzelne sich aneinanderfügen lässt, also Grenzen hat. j
Die gerade Linie schneidet, als Sekante den Kreis in zwei P unkten. Legt, man nun beliebig viele Sekanten, so liegen auch einige immer näher an der Peripherie und es erhebt sich die berühm te Frage, wann die Sekante zur Tangente wird. Die beiden Schnittpunkte m it dem Kreise begrenzen eine endliche Sehne und sind selbst als solche Grenzen unendlichklein von erster Ordnung und grenzenlos. Die unendlich
kleine Sehne aber hat eine etwas geringere Länge als der zwischen ihren Endpunkten be- | bildliche K reisbogen, aber beide unterscheiden sich nur um ungemein wenig, sie fallen für das Endlichgleiche zweifellos zusammen, auch noch für unendlichkleine Abstände erster Ordnung, nur wenn es sich um Unterschiede oder Diffe
renzen von der Ordnung
d ~handelt, sind sie noch als krumm und gerade zu unterscheiden.
Die Tangente hat also m it dem endlichen Kreise eine unendliehkleine gerade Strecke gemeinsam, sobald man A bstände in der Richtung des Radius vom Grade <5
2nicht mehr hineinzieht. Daraus folgt, dass ein V i e 1 s e i t aus unendlicliviel unendlichkleinen Seiten w irklich ein Kreis ist, freilich immer nur für die B erücksichtigung bestim m ter W eitenbehaftungen.
W ie wir also den P u n k t definierten für bestimmte Behaftungen, wie w ir nicht von einer absoluten Geraden sprachen, sondern nur von Geraden für bestim mte B ehaftu ngen, so auch für den Kreis. P a s s t m a n s o G e b i l d e s t e t s r e l a t i v , s t e t s n u r f ü r b e s t i m m t e B e h a f t u n g e n , s o v e r s e i l w i n d e n d i e S c h w i e r i g k e i t e n d e s U n e n d l i c h e n .
Man könnte fragen, was für eine Begrenzung denn nun die unendliehkleine Strecke habe, die eine Kurve m it der Tangente gemeinsam hat?
Gr'enzenlos klein, ein P u n k t darf sie nicht sein.
Denn einem P unk te fehlt die R ichtung. H at ! eine unendlichkleine Strecke zwei G renzpunkte, : so h a t sie auch eine Richtung. Die gemein
same unendlichkleine Strecke kann begrenzt vorgestellt werden, aber darum ist es noch nicht nötig, dass diese G r e n z e n b e s t i m m t e sind. ; Die bestimmte Begrenzung bekommt erst einen | Sinn, wenn man Strecken verschiedener Grösse vergleicht, z. B. zwei endliche oder unendlich- | k lein e unterein ander.
Als G rundsatz der W eitenbehaftungen muss aufgestellt w erden: Die Grösse einer höheren | W eitenbehaftung kann in ihrem W esen, z. B.
die endliche S trecke in ihrer endlichen Grösse, j nicht durch eine zugesetzte unendlichkleine ver
mehrt werden, oder e i n u n e n d
1i c h k
1e i n e r S u m m a n d n e b e n e n d l i c h e n i s t Nu l l . Aber freilich, u n e n d l i c h v i e l e , u n e n d l i c h k l e i n e S u m m a n d e n e r g e b e n e t Ayas
E n d 1 i c h e s. Dies folgt einfach aus der strengen Sonderung der verschiedenen W eitenbehaftungen, die zw ar für jede Beliaftung bestim m te Ver
hältnisse aufw eisen, aber nicht einfach durch
einander gem engt werden können. Die Grössen verschiedener W eitenbehaftung sind durch die Sondergesetze der Behaftungen deutlich ge
schieden, aber ebenso unzw eifelhaft durch Be
ziehungsgesetze zwischen den Behaftungen ver
bunden. (Fortsetzung folgt.)
D ie S c h u b k u r b e l
ein K apitol aus der angew andten M athem atik.
V o r tr a g a u t' <ler H a u p tv e r s a m m lu n g in B re s la u *)
V on F. E b n e r (Breslau).
Von b eru fen er Seite ist schon o ft d arau f hinge
wiesen, den m athem atischen U n terrich t durch die E in füh ru n g gewisser technischer A nw endungen der M athe
m atik zu beleben. Gewöhnlich w erden als solche A n
w endungen d er logarithm ische R echenschieber und das A m slersclie P o larp lan im eter genannt. Es g ib t jedoch noch ein d ritte s In stru m e n t, das fü r den M äschincn- teclm iker von g rö sster B edeutung ist un d auch das Interesse des M ath em atik ers beanspruchen . darf. W ir m einen den In d ik a to r, je n e n von Jam es W a tt zu r A rbeitsm essung erfundenen A p p arat, der ihm „für die V ervollkom m nung seiner D am pfm aschine so w esentliche D ienste geleistet h a t.“ Das m athem atische Interesse j k o n zen triert sich bei dem In d ik a to r vor allem auf die I sogen. G rad fü h ru n g des Schreibstiftes. A u f dieses P roblem die A ufm erksam keit der M athem atiker zu lenken und es in seiner allgem einsten F orm zu dis
kutieren, ist der Zw eck der folgenden Zeilen. A ller
dings zeigt dieses P roblem eine E ig en tü m lich k eit, die fast al lo A ufgaben auszeichnet, welche die T echnik d er Ma.-- th em atik s te llt: so leicht und einfach sich dicUSufgabe
| fü r den konstruierenden In g en ieu r erw eist, so schw ierig I und m ühsam g estaltet sie sich fü r den rechnenden
| M athem atiker, d er m it dem schw erfälligen G erüst des (’.’artesischen K oordinatensystem s arbeiten muss. M an w ird es deshalb verstehen, wenn w ir uns bei der Be
h an d lu n g d er In d ik ato ra u fg ab e gewisse B eschränkungen auferlegen und n u r das m athem atisch In teressan te h er
vorheben.
IM mgeinäss behandeln w ir in §§ 1 — l die B ahn
kurven der allgem einen exzentrischen Scliubkurbcl- bew eguug und ihre w ichtigsten E ig en sch a ften ; in § 5 w erden die E rgebnisse d er allgem einen U ntersuchung fü r die eigentliche, sogen, zentrische Schubkurhel spezia
lisiert. D er letzte P ara g ra p h (g 6) bespricht dann kurz die G rad fü h ru n g der verschiedenen In d ik a to rk o n stru k tionen. *•*)
*) S . Unt.-Bl. IX, 3, S . so.
**) Z u r m a th e m a tis c h e n L i t e r a t u r ü b e r u n s e r e n G e g e n s ta n d i s t zu e r w ä h n e n :
S . R o b e r ts , P r o c e e d in g s o f th e L o n d o n m a th e m a t . S o c ie ty , v o l. II u n d III.
R . M ü lle r, U e b e r d ie G e s ta ltu n g d e r K o p p e l k u r v e n f ü r b e so n d e re K alle d es K u rb e lb e tr ie b e s . Z e i t s c h r i f t f ü r M a th . u. P h y s . B d . 3o. 1891, S . 1 1.
Vorn r e i n k in e m a tis c h e n S t a n d p u n k t a u s ¡findet m a n d ie S e h u b k n r b e l a ls S p e z ia lf a ll d es a llg e m e in e n K u rb e lin e c h a n is - rau s in a lle n L e h r b ü c h e r n d e r K in e m a tik u n d th e o r e t. M a sc h in e n le h re , z . B. in B u rm e ste r, K in e m a tik , I , S . 325—328, f e r n e r in G ra sh o ff, T h e o re t. M a s c h in e n le h re , B d . I I , S. 124 if. B e m e r k t sei n o c h , d a ss sic h e in e g e w iss e B a h n k u r v e d e r S c h u b k u r b e l
b e w e g u n g in dem L o r ia s c h e n S a m m e lw e rk ü b e r e b en e K u rv e n I u n t e r d e n „ P o ly z o m a lk u r v e n - S. 131 flü c h tig e r w ä h n t fin d e t
1904. No. 1.
Di e Sc h u b k u r b e l.S. 7.
§
1-
Die A ufgabe d er Schubkurbelbew egung.
A u f g a b e : E in e G erade w erde so bew egt, dass ein gegebener P u n k t au f ih r im m er auf einem ge
gebenen K reise, ein and erer im m er a u f einer gegebenen G eraden b le ib t; die D alm kurve irgend eines dritten Punktes a u f der bew egten G eraden zu bestim m en. *)
- k ) P +
J'i
: k :x ( x
(Ti) [b (x 2 -f- y 2 -f- a 2 — r 2) — 2 a x ( x - [2 a y (x—k )]2 — 4 a s b 2 y 2
! oder auch nach y aufgelöst und a — b = c g e se tz t:
| .(III). y = A | - I a | b 'a fZ ^ x -k )2 :l : | V r* — (c x — I k ) s | Die G leichungen (I bis I I I ) der B ahnkurve, deren je d e ihre besonderen V orzüge hat, zeigen, dass die B ahnkurve eines beliebigen K oppelpunktes vom 4. G rade ist und zur x-A chse sym m etrisch liegt.
| . § 2.
I Die D oppelpunkte der B ahnkurve eines K oppelpunktes.
Um die B ahnkurve w eiter zu diskutieren, sollen
| zunächst die singulären P u n k te bestim m t werden, im j Besonderen die D oppelpunkte, deren eine K urve 4. Ord-
! nung höchstens drei haben kann.
Aus der G leichung (I I) d er B ahnkurve folgt sofort, i dass die K oordinaten aller Punkte, die gleichzeitig den
drei G leich u n g e n :
[ b ( x 2 + y 2 - f - a 2 - r- ) — 2 a x (x- k)]2 = 0 , [2 a y (x—k ) ] | = 0 , (2 a b y ) !! = 0
j genügen, D oppelpunkte d er B ahnkurve sein müssen.
Diesen drei G leichungen w ird nun zugleich genügt durch die K oordinaten d er S c h n ittp u n k te der beiden K urven :
,v = o )
F ig. 1.
Der M ittelp u n k t 0 des gegebenen Kreises, des sog.
K urbelkreises, w erde als U rsprung eines rechtw inkligen K oordinatenkreuzes gew ählt, dessen x-Achse, in die R ichtung des von 0 auf die feste G erade, der sogen.
S chuhgeraden, gefällten Lotes falle.
Die K oordinaten irg en d eines P u n k tes C auf der bew egten G eraden, der sogen. K oppel, seien x und y ; der A bstand dieses P unktes von dem gegebenen P u n k te A sei a, von dem gegebenen P u n k te B sei b. L ieg t C zwischen A und B, so soll b n e g a tiv , lieg t e r auf der V erlängerung von A B über A hinaus, so sollen a und b negativ gerech n et werden.
Bezeichnet r den K urbelradius, k den A bstand des K urhelm ittelpunktes von der Schubgeraden, und sind (x |, y ,) die K oordinaten von A. so folgt aus Fig. 1 :
x , = x — a cos cp | :y — a sin <p ( 1) : X --- b COS Cp j Aus d er d ritte n G leichung folgt
x —k . ] b 2 — ( x—k ) 2 COS w = — , Sill (/: = l — ---
b b
S etzt man diese W erte für sin cp und cos ip in die K reisg leic h u n g :
x ,2 + j-j- - (x — a cos cp)--|-
(y
— a sin <p) 2 =r 2
ein, so folgt nach einigen U m form ungen:x2 + y 2 + a 2 —____________________ k) , y I b 2 — (x—k )2
2
a b
~r ~b
oder
f !) [b ( x 2 -}- y 2 -j- a - — r 2) — 2 a x ( x - k)]2 ==
4 a 2 y 2 [b2 — (x —k )2].
Die G leichung (I) d er gesuchten B ahnkurve kann auch in der F orm geschrieben w erden:
’ ) D ie A u fg a b e i s t e in e Y e r a l[g e m e in e r u n ^ .d e r b e k a n n te n A u fg a b e d e r B e w e g u n g e in e r g e g e b e n e n S tr e c k e in e in e m g e g e b e n e n W in k e l; b ei d ie s e r „ K r e u z s e k ie b e rk e tte " ( E llip s e n z ir k e l) sin d ilie B a h n k u r v e n E llip s e n .
b ( x 2 + y 2 + a 2 ■ 2 a x (x —k) == O I d. h. die beiden D oppelpunkte sind die S chnittpunkte der x-Achse m it einem K eg elsch n itt; ihre K oordinaten sind :
x = _ L _ J a k I | a 2 k 2 + ( a 2 — r 2) (a* - c 2) ] \
y = 0 J
Die beiden D oppelpunkte fallen in einen zusam men f ür : oder nach
1
a 2 k 2 + ( a 2 ; ( a 2 — c s) = 0
4 r a c2 aufgelöst, für:
(r* + c* - k») l r(r
2
+ c2~ k2)?D ie diesen v ier W erten von a entsprechenden Koppel- punkte beschreiben also im allgem einen B ahnkurven m it zwei zusam m enfaljenden D oppelpunkten; diese vier K oppelpunkte, die zu A sym m etrisch liegen, sind jedoch nur reell und verschieden fü r:
oder
( r 2 -)- c 2 — k 2)'2 4 r 2 c*
c j > r -+- k ) (1)
c < r — k
jIm ersten Falle kann die K urbel O A volle Um
drehungen m achen und w ährend einer U m drehung schw ingt d er P u n k t B au f der Schubgeraden hin und h e r ; das G etriebe ist ein r o t i e r e n d e s S c h u h k u r b e 1 g e t r i e b e . D abei kann die Strecke der S ch u b g erad en , die B durchläuft, au f der einen oder anderen S eite von D liegen (vergl. F ig . 2). d. h.
die B ahnkurve bestellt aus zwei g etrennten T eilen.*) Im anderen Falle (c r — k), d er n u r Sinn hat.
wenn die Schuhgerade den K urbelkreis schneidet, kann der P u n k t A n u r einen bestim m ten Bogen des K u rh el
kreises beziehentlich den zu 0 D sym m etrischen be
schreiben, w ährend B w ieder au f der Schuhgeraden hin- und herschw ingt; das G etriebe ist ein s c h w i n g e n d e s S c h u b k u r h e l g e t r i e b e , und die B ahn
kurve besteht w ieder aus zwei getrennten Teilen.
Die beiden P u n k tep aare der K oppel, die B ahn
kurven m it zwei zusam inenfallcnden D oppelpunkten er
zeugen, fallen in ein P aar zusammen, w enn:
*) D ie B ah n k u rv «
a u sg e z o g e n . n s in d liie r w ie in a lle n a n d e r e n F ig u r e n
S .
8.
Ü N T E R RIC H T S BL Ä T T ER.Jahrg . X. No. 1.
ist, d. h. für
( r 2 -j- c 2 — k 2) 2 = ; 4 r 2 c 2
c = r + k \
o = r - k
jF ig . 2.
In diesem Falle passieren A und B gleichzeitig die x-A ohse; so rg t m an also durch Beharrungsschluss da
für, dass B den P u n k t D ü b e r s c h r e i t e t , so w ird bei zw eim aliger U m drehung der K urhel der P u n k t B auf d er S chubgeraden eine H in- und H erschw ingung m achen, die zu D sym m etrisch lie g t; das G etriebe ist ein d u r c h s c h l a g e n d e s S c h u b k u r b e 1 g e t r i e b e (vergl. Fig. 3).
Da in dieser D urohschlagslage die beiden K u rv en teile des Falles (1) fü r je d e n K oppelpunkt ineinander übergehen, so e rg ib t sich in dieser D urchschlagslago für je d e n K oppelpunkt (und ebenso fü r je d e n m it d er K oppel fest verbundenen P u n k t) ein d ritte r Doppel
p unkt, der in dem Falle, dass m an sich au f die B ahn
kurven d er K oppelpunktc selbst beschränkt, auch auf der x-Aohso liegen muss. Da nun a b er die x-Achse eine K urve 4. O rdnung höchstens in vier P un k ten schneiden k a n n , und die beiden D oppelpunkte der Bahnkurve jedes K oppelpunktcs schon au f dieser Achse selbst liegen, so folgt, dass der d ritte D oppelpunkt m it einem d er beiden anderen zusam m enfallen muss, d. h.
die K u rv e des durchschlagenden Schubkurbelgetriebes besitzt e i n e n B e r ü h r u n g s k n o t e n auf d er x-Achse, in dem sich zwei K urvenzw eige berühren.
I s t schliesslich:
(r 2 + c 2 _ k -J - < 4 r - c 2 d. h. is t:
r -j- k > e > r — k, ] (3)
so sind die beiden
^ W e rte von a2 im ag i
n ä r; in diesem F alle kann A n u r einen
l( ' \ Bogen des K u rb e l-
i kreises durchlaufen,
w ährend B au f der Schubgeraden hin- u nd herschw ingt wie im F alle (2 ); das G etrieb e is t ein
s c h w i n g e n d e s
S c h u b k u r b e l g e- t r i e b e mi t n ur e i n t e i l i g e n B ahnkurven ; die beiden D oppelpunkte 's in d im m er reell (vergl.
F ig. 4).
Das R esu ltat der U ntersuchung der D oppelpunkte lau tet m ith in :
Die B ahnkurve
i irg en d eines K o p
pelpunktes besitzt im allgem einen 2
1 D oppelpunkte au f
Fig. 4. einer G eraden
durch den K u rb el
n u tte lp u n k t, ist dem nach eine sogen, elliptische K urve 4. O rdnung vom G eschlecht 1. Im Falle des d u rch schlagenden S chubkurbelbetriebes erhöht sich die Zahl d er D oppelpunkte au f d r e i ; die K urve 4. O rdnung ist dann vom G eschlecht 0 . Bei den zw eiteiligen Koppel kurven können die beiden D oppelpunkte zusam m en
fallen od er im ag in är w e rd e n ; bei den einteiligen K oppelkurven des schw ingenden Schubkurbelbetriebes sind sie im m er reell.
§3-
Die D oppeltangenten d er K oppelkurve.
S ta tt die D oppelpunkte zur G rundlage der K lassi
fikation der B ahnkurven des Schubkurbelgetriebes zu m a c h e n , kann m an auch nach dem V orgänge von
1904. No. 1.
Di e Sc h u b k u r b e l.R. 9.
(4)
P lü ck er und Z euthen*) die reellen D oppeltangenten der B ahnkurve benutzen.
Als A usgangspunkt der U ntersuchung diene die G leichung (I) des § 1. näm lich:
(I) [h (x 2 + y 2 + a 2 - r 2) - 2 a x (x - k )l2 =
■1 a 2 y 2 [b 2 — (x - k )2J.
Diese G leichung zeigt, durch ihre F orm sofort, dass die K egelschnitte:
>' 2
=
0\
h 2 — ( x — k ) 2 = 0 /die K oppelkurve in je zwei zusam m enfallenden P unkten schneiden, d. h. dass die G e ra d e n :
y =
o
)h + ( x - k) = 0
c — (x — k) = 0 J
drei D oppeltangenten d er K u rv e 4. O rdnung sind. Die G leichung (1) zeigt auch, dass die sechs B erührungs
pun k te der G eraden (4) ihre S ch n ittp u n k te m it dem K egelschnitt:
h (x 2 4- y 2 + a 2 — r 2) — 2 a x (x — k) = 0 (5) sind, auf dem nach § 2 auch die beiden D oppelpunkte der K oppelknrve liegen.
Die B erührungspunkte der T angente y = 0 sind dem nach die beiden D oppelpunkte d er K oppelkurve;
dass die V erbindungslinie zweier D oppelpunkte einer K urve eine D oppeltangente der K urve ist, leuchtet ein, da je d e G erade durch einen D oppelpunkt gewisser- massen eine T angente der K urve, die G erade durch zwei D oppelpunkte m ithin eine D oppeltangente der K u rv e sein muss.
Als eigentliche D oppeltangenten d er K oppelkurve bleiben also nur die beiden Parallelen zur S ch u h g erad en :
b + (x — k) == 0 1 ,,, b — (x — k) = 0 ) (4 )
Um ihre B erührungspunkte m it d er K urve 4. O rd
nung zu finden, h a t m an ihre S ch n ittp u n k te m it dem K egelschnitt (5) zu bestim m en. D ie G leichung dieses K egelschnitts kann m it H ilfe d er K oordinatenver- scliieb u n g :
t a k
a -f- c
>1 — y
au f die F o rm g eb rach t w erden:
wo gesetzt i s t :
(«) a
2k
2-j-(ag — r-) (a* - c 2)
(a -j- c)J
a
2k
2-p (a
2— c ( a
-— r
-) (6).c - — a
Die G leichung (t>) zeigt, dass dieser K egelschnitt eine Ellipse fü r c [ ) > a , °bie H yperbel fü r a j > c ist; der liebergang von d er E llipse zur H yperbel w ird ver
m itte lt durch das L inienpaar (für c — a ) :
a k k
^ ' a + e ^ '
2(7)
k k
od e r x = 2 I . - . (7)
Der K egelschnitt (6) ist reell, solange der A u sd ru c k :
| a s k 2 -f- ( a 2 — r*) ( a ä — c 2)
reell ist, das heisst nach § 2 : solange die beiden Doppel
punkte (die S cheitelpunkte des K egelschnitts au f der
*1 D ie K u rv e , a n d e r P lü c k e r z e ig te , d a ss d ie 28 D o p p e l
ta n g e n t e n e in e r K u rv e v ie r te n G ra d e s a lle re e ll sein k ö n n e n , is t e in e B a h n k u r v e d e r a llg e m e in e n S c h u b k u rb e lb e w e g u n g , b ei w e lc h e r d e r b e s c h re ib e n d e P u n k t m it d e r K o p p e l fesi v e r b u n d e n i s t ; v e rg l. G re lle s J o u r n . Bd. 4m.
x-Achse) reell sind. Diese B edingung ist aber nach
§ 2 erfü llt fü r alle zw eiteiligen K oppelkurven, solange:
a* < 4 [(r* + c 2 - k 2) - ]'(r* + c2 - k 2)2 - 4 r 2c 2 1 a' 2 u n d :
» * > . , | r* + c* — k* - f J^ rM F c2- 1 k5)* —‘4 r 3c» | a" 2 Is t d ag e g e n :
a ' 2 < a 2 < a " 2,
so w ird für die zw eiteiligen K oppelkurven der K egel
schnitt (6) im aginär (im aginäre E llip se ); der U ebergang von einer reellen zu einer im aginären Ellipse und um g ek eh rt t r it t ein fü r a = a' bezw. a = a " ; der Ucber- gangskegelschnitt ist dabei das im aginäre G raden p a a r :
(c - f a ) i 2 + (c — a) >/2 = 0 m it reellem S ch n ittp u n k t (näm lich x — .
F ü r das durchschlagende u nd das schw ingende ein
teilige S chubkurbelgetriebe ist dagegen der Kegel
sch n itt (6) im m er reell. Im Falle des durchschlagenden K urbelgetriebes fallen näm lich die beiden W erte von a ' 2 und a " 2 zusammen in den W e rt:
a 2 = :1: r c
ohne dass dieser W e rt den lJehergang in das Im aginäre v e rm itte lt; vielm ehr scldiessen sich an das im aginäre G radenpaar m it reellem S c h n ittp u n k t w ieder Ellipsen, die durch das reelle L in ien p aar (7) in H yperbeln über
gehen.*)
F ü r das schw ingende einteilige K urbelgetriebe w erden sowohl a' 2 wie a" 2 im ag in är; es tritt überhaupt kein P u n k t als G renzfall einer E llipse ein.
Sucht m an nun die S ch n ittp u n k te der beiden G raden (4 ') m it dem K egelschnitt (5), so e rh ä lt m an als K oor
dinaten der B erührungspunkte der beiden D oppeltan
genten
(4')
m it d er K urve4.
O rdnung:x = k — b \
y = I I r 2 — (k + C )2 J x = k -f- 1) \ y = : L | r 2 — (k — c ) ' )
Diese B erührungspunkte sind also n u r reell f ü r : c < J r — k (zweiteiliges schwingendes G etriebe) (8) hz. c < ( r - l - k (einteiliges schw ingendes G etriebe) (8') F ü r die P unkte o a <CJ c ist dabei b negativ zu nehm en. F ü r das durchschlagende G etriebe c = r I k ist ebenfalls n u r die eine der beiden D oppeltangenten eine solche m it reellem B erü h ru n g sp u n k t; es ist das stets die D oppeltangente im B erührungsknoten.
Die bisher besprochenen D oppeltangenten (4) sind sog. D oppeltangenten erster A rt nach P l ü c k e r , d . h . sie berühren n u r einen und denselben Teil d er K urve
4.
O rdnung zweimal oder ihre B erührungspunkte sind im aginär; ihre Zahl b e trä g t allgem ein vier.D aneben besitzt ab er jed e K u rv e 4. O rdnung, die aus zwei einander n ich t umschlicssenden Teilen besteht, noch
4
gem einsam e andere T an g en ten , sog. T angenten zw eiter A rt, genau so wie zwei K egelschnitte im allgem einen 4 gem einsam e T angenten besitzen, die im be
sonderen natürlich im aginär werden k ö n n e n ; ihre Zahl b e trä g t für die K oppelkurvc höchstens vier.
Alan erh ält also das R esu ltat:
Die B ahnkurve eines K oppelpunktes besitzt im allgem einen acht D oppeltangenten, von denen vier solche erster A rt, vier solche zw eiter A rt sind. Die B erührungspunkte d e r eigentlichen D oppeltangenten
*) In F ig . 3 u n d -t is t d ie s e r K e g e ls c h n itt p u n k t i e r t e i n g e z e ic h n e t.
bezw.
(
8)
(8')
S.
1 0.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. X. No. 1.
erster A rt können n u r bei «len schw ingenden und dem durchschlagenden S chubkurbelbetriebe einmal reell w erd en ; die B erührungspunkte d er D oppeltan- genten zw eiter A r t können bei jedem Sclntbkurbel- getriebe reell w erden.
§4.
Die K onstruktion d er K oppelkurve.
E s e rü b rig t sich noch die U ntersu ch u n g d er G lei
chung (111) d er K oppelkurve in § 1 :
a a , , . i / , ( c x — a k ) a\
ziz b , ( x - k ) . ;t | ¡ ( 1, 1,
wo alle vier V orzeichenkom binationen g iltig sind, da bei einer K u rv e 4. O rdnung zu je d e r G raden x — konst.
im allgem einen v ier W e rte von y gehören. Die G lei
chung ( I IP ) kann in der F orm geschrieben w erd en : 7 — 1 y i : i y 2 ( N I " )
wo gesetzt ist:
y i = ye =
S etzt m an n o c h :a a - p (x - k ) a
• , ( c x — a k ) s
r ~ r.»
- k
ak
(9)so w i r d :
a -
, c a X ./y-i
—
1b «
und m an erh ält y , und y., als die O rdinalen der beiden Ellipsen
x r i —
b* r a*
'• -a v.,‘
. + - i =
1 1( ¥ ) '
(9')
D er M ittelp u n k t der ersten E llipse (9') ist stets der P u n k t D der S ch u b g erad en ; der M ittelp u n k t der zweiten Ellipse (9') w andert m it a von ■— o ö bis -j-O O auf der x-A rhse.
V erm ittelst d er beiden G leichungen ( I I I " ) und (9') kann die K oppelkurve leich t k o n stru iert w erd en ; sie liegt stets innerhalb eines F läehenstreifens parallel zur y-Achse, d e r sowohl yt w ie y., enthält, also den beiden Ellipsen (90 zugleich zukom m t. Soll die K oppelkurve dem nach reell sein, so können die beiden Ellipsen (90 niem als ganz auseinander liegen. *)
S chneidet die eine Ellipse die andere, so fallen fin
den S ch n ittp u n k t zwei d er vier W e rte von y in Null zusam men, d. h. dem S c h n ittp u n k t entspricht ein D oppel
pu n k t d er K oppelkurvo au f d er x-Achse. D ie D is
kussion d er D oppelpunkte kann also auch g e fü h rt werden durch die Diskussion der S c h n ittp u n k te der beiden Ellipsen (90-
Sind z. B. alle vier S ch n ittp u n k te, die zu r x-Achse stets sym m etrisch liegen, reell, so besitzt die K o p p el
kurve zwei reelle D oppelpunkte, die die S ch n ittp u n k te ihrer zwei Teile sin d ; b e rü h rt die eine E llipse die andere, so fallen zwei D oppelpunkte in einen zusammen, d e r der B erührungspunkt der zwei Teile ist.
*) D ie b e u le n E llip s e n , d e re n e in e f ü r d e n K o p p e lm itte l- p u n k t zu m K re is u m D w ird , sin d in a lle n F ig u r e n g e s tr ic h e lt e i n g e tr a g e n .
L ie g t die eine E llipse ganz innerhalb d er anderen, so sind «lio S ch n ittp u n k te der beiden Teile der K oppel
kurve im ag in är; da ab er das x des D oppelpunktes in i; 2 doch reell bleiben kaiin, so b esitzt die K oppelkurve eventuell noch zwei isolierte P u n k te au f d er x-A chse;
d erartig e isolierte P u n k te können ab er n u r' au ftreten, wenn die H auptachse 2 b der einen Ellipse (90 stets grösser oder kleiner als die H auptachse 2 b ™ der
r
anderen E llipse (90 ¡st, also n u r für das rotierende S chubkurbelgetriebe c t k oder «bis schw ingende zw eiteilige S chttbkurbelgetriebe c r — k.Sind von den vier S chnittpunkten der beiden E llipsen (90 n u r zwei reell, liegen die beiden Ellipsen also n u r teilweise in einander, so en tsp rich t diesem S c h n ittp u n k t d er eine D oppelpunkt, d er andere ist dann ein iso lierter P u n k t. Es ist dies der F all bei dem schw ingenden einteiligen Schuhkurhelgetriebe r j - k c j > r — k.
Bei dem durchschlagenden K u rb elg etrieb e berühren sich die beiden E llipsen stets in einem P u n k te der x-A chse, dem d er Ilerührungsknotcn der K oppelkurve entspricht, der andere D oppelpunkt kann reell und isoliert sein.
Is t speziell Vj oder y., gleich Null, so fallen eben
falls die vier W e rte von y in zwei zur x-Achse sym m etrische zu sam m en ; ist m ithin dieser übrigbleibende W ert reell, so schneidet die T an g en te in dem einen S cheitelpunkt d e r grossen A chse d er einen E llipse die andere E llipse in einem P unkte, d er zugleich ein Be
rü h ru n g sp u n k t einer D oppeltangente «1er K oppelkurve sein muss.
D abei sind die Scheiteltangenten d er ersten Ellipse (9’) in den E n dpunkten d er grossen A chse, wie man leicht sieht, ilic zwei eigentlichen T angenten erster A rt des § 3, die S eheiteltangenten d er zweiten Ellipse sind
«lagegen im m er D oppeltangenten zw eiter A rt.
M it H ilfe d er beiden E llip- , sen kann also die K oppelkurve i sehr übersichtlich d isk u tiert und
k o n stru iert werden.
§ fr-
P a s zentrische Schubkurhel
getriebe.
Die vorhergehenden U nter
suchungen sollen nun speziali
sie rt w erden fü r den in der T echnik w ichtigen F a ll:
k = O
Die Schubgerade g eh t dann d u rch den K urhelm ittelpunkt, und das G etriebe heixst z e n t r i s c h ; die B ahnkurve ist nach § 1 auch sym m etrisch zur y-Achse. I n diesem Spezialfall reduzieren sich die vier G e
trieb earten des § 2 a u f folgende d re i: (vergl. hierzu Fig. 5 — 7).
(10 c r : das ro tiere n d e zen
trische S chubkur
b elg etrieb e (in der P rax is kurz Schub
k u rb el genannt).
(2 ') c = r : das gleickschenkl.
zentrischeG etriebe F ig . 5.
1904. xn o. 1.
Di e Sc h u b k u r b e l.S. 11.
(3') e < ^ r : das schw ingende (zweiteilige) zen
trische Sehubkurbelgetriebe.
i i
i
F ig . 7.Das schw ingende einteilige Sehubkurbelgetriebe fällt h ier fort. Die K oordinaten der D oppelpunkte werden je tz t:
x = + I ! “ ! — r D ( a 2 — e 2) |
a + c ,
y = 0 |
sic liegen also sym m etrisch zum K urbelm ittelpunkt ; sie fallen in ihn zusam men fü r:
a * = 4 | r 2+ o ! ± ( r 2 - e 2) J o d e r : a' == + o )
a" = - j- r j
I s t also c ) > r (rotierendes G etriebe), so folgt fü r:
0 < ( a < ( r : zwei reelle D oppelpunkte (K noten
punkte).
a — r : zwei zusam m enfallende K noten
punkte (im K urbelzentrum ).
r < ( a < ( c : zwei im aginäre K notenpunkte.
a = o : zwei zusam m enfallende isolierte P u n k te (im K urbelzentrum ).
u a < ( O O : zwei isolierte P u n k te (au f der x-Achse).
I s t d a g e g e n : c <C r (schwingendes G etriebe), so beginnt bei ähnlicher V eränderung von a die Keihe m it den zwei isolierten P u n k ten uud schliesst um gekehrt m it den zwei reellen K n o ten p u n k ten ; die B ahnkurven des schw ingenden G etriebes sind also die um gekehrten des rotierenden.
Ist en d lich : c = r (gleichschenkliges oder durch
schlagendes G etriebe), so folgt aus G leichung (I) der K oppelkurve in § 1 fü r k = 0 , r = c:
(a + c) x 2 — (a — c) y 2 — (a — c) 2 (a + c) —
- f 2
ay | b
2— x
2oder nach einigen U m fo rm u n g en :
I y + I b 2 — X 2 ] • [ v i - l b 2 —- x 2 —
(y d ; Vr b 2 — y 2)
j
= 0Die K oppclkurvo zerfällt also in die beiden K u rv en :
x
2-j- y
2= b
2|
x2+ . ^ „
= 1d°)
b 2 (a + c)*J
d. i. in einen K reis vom Radius b um 0 und in eine Ellipse, die den K reis in seinen Schnittpunkten m it d er x-Achse b e rü h rt; die B erührungspunkte der beiden K urven (10) sind die beiden D oppelpunkte, die eigent
lich aus vier D oppelpunkten, den Schnittpunkten von K reis und Ellipse, entstanden zu denken sind.
S o rg t man durch Beharrungsschluss dafür, dass die Koppel des gleichschenkligen G etriebes ihre T otlage
— die D urchschlagslage durch die x-A chse — über
schreiten k a n n , so e rh ä lt man als B ahnkurve eine E llipse; das G etriebe kann daun als E l l i p s o g r a p h bezeichnet w erden. U n ter den B ahnellipseu sind zwei au sgezeichnete: die S trecke 4 r = 4 c au f der x-Achse (für a = c, b — 0 ) und die gleiche S trecke a u f der x-Achse (für a = — c, b = — 2 c).
Die D oppcltangenten erster A rt des zentrischen G etriebes sind zwei P arallele zu r y-A chse im A bstande x = üb b ; sie sind gemäss den beiden G leichungen (9') in § 4 D oppeltangenten m it reellem B erührungspunkt für b < ( b -, d. i. fü r c r (schwingendes G etriebe) dagegen D oppeltangenten m it im aginären B erübrungs- punkten für b ü> b
r
, d. i. für c O r (rotierendes Getriebe). F ü r c = r sind die B erührungspunkte der D oppeltangenten natürlich die (beiden D oppelpunkte (B erührungspunkte) von K reis und Ellipse.
