Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy

(funkcji jednej zmiennej)

Sieczna i styczna

Definicja pochodnej funkcji y=f(x) w punkcie.

Inne zapisy pochodnej w punkcie:

Ważny wzór:

Pochodna to jest współczynnik kierunkowy stycznej

Równanie linii stycznej: 𝑦 − 𝑓(𝑥₀) = 𝑓^′(𝑥₀) ∙ (𝑥 − 𝑥₀)

Przykłady obliczania pochodnej z definicji.

Pochodna lewo i prawo stronna.

Przykład wzorcowy:

Ten sam przykład rozwiązany trochę inaczej:

Jakie znaczenie ma pochodna w fizyce, mechanice, w przyrodzie , itd. ? Pochodna to prędkość zmiany jakiejś wielkości fizycznej w czasie.

Prędkość to pochodna drogi po czasie

Prędkość stygnięcia jakiegoś ciała to pochodna temperatury względem czasu.

Prędkość tycia/chudnięcia to pochodna masy względem czasu.

Ogólnie: jeśli mamy jakąś wielkość fizyczną w(t) zmienną w czasie,

to prędkość zmiany tej wielkości to jest pochodna tej wielkości po czasie.

Wzory do obliczeń pochodnych funkcji elementarnych.

Pochodna funkcji potęgowej

𝒙 ^{𝒏 ′} = 𝒏𝒙 ^𝒏−𝟏

Jak wyprowadzić wzór 𝒙^{𝒏 ′} = 𝒏𝒙^𝒏−𝟏 ?

Tabela pochodnych funkcji elementarnych.

Jeszcze kilka ważnych wzorów:

Kilka przykładów:

Kąt przecięcia dwóch linii = kąt jaki tworzą styczne w punkcie przecięcia.

Nowe funkcje, funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos

Nowe funkcje, funkcje cyklometryczne: arctg, arcctg

Nowe funkcje, funkcje hiperboliczne: sinh, cosh, tgh, ctgh

Nowe funkcje, funkcje hiperboliczne: cosh

Funkcja logistyczna

Krzywa Gaussa

Monotoniczność funkcji.

Zbadaj monotoniczność tzn. wyznacz przedziały, w których funkcja rośnie, w których maleje oraz wyznacz punkty, w których funkcja osiąga minimum lub maksimum lokalne.

Monotoniczność a pochodna – rysunek poglądowy

Ekstremum (minimum, maksimum) funkcji.

Jak zatem rozpoznać, czy w punkcie, w którym pochodna się zeruje jest ekstremum czy nie ?

Przykład z wartością bezwzględną.

Pochodne wyższych rzędów.

Pochodna drugiego rzędu 𝑓^′′ 𝑥 = (𝑓^′ 𝑥 )′

Pochodna trzeciego rzędu 𝑓^′′′ 𝑥 = (𝑓^′′ 𝑥 )′

Pochodna n-tego rzędu 𝑓^(𝑛) 𝑥 = (𝑓^(𝑛−1) 𝑥 )′

Np. 𝑓 𝑥 = 𝑥⁵ 𝑓^′ 𝑥 = 5𝑥⁴ 𝑓^′′ 𝑥 = 20𝑥³ 𝑓^′′′ 𝑥 = 60𝑥² 𝑓⁽⁴⁾ 𝑥 = 120𝑥 𝑓⁽⁵⁾ 𝑥 = 120 𝑓⁽⁶⁾ 𝑥 = 0

Drugi warunek wystarczający

Zadanie optymalizacyjne: Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o objętości v=0,5 l , by pole powierzchni tej puszki było jak najmniejsze?

Zad. Dom stoi w odległości 5 km od drogi, najbliższy przystanek autobusowy przy drodze jest w odległości 13 km od domu (w linii prostej). W terenie poruszamy się z prędkością 3 km/h, po szosie 5 km/h. Którędy należy iść, by zminimalizować czas dojścia do przystanku?

Monotoniczność – podsumowanie:

f’(x)=0 – w tych i tylko w tych punktach (oraz w punktach, w których pochodna nie istnieje) może być ekstremum Jeśli w otoczeniu takiego punktu pochodna zmienia znak to jest ekstremum

Jeśli 2-ga pochodna w takim punkcie jest różna od zera to jest ekstremum

Wklęsłość, wypukłość funkcji.

Def. Funkcja jest wypukła w przedziale (a,b) jeżeli dla każdego punktu tego przedziału wykres funkcji leży nad styczną.

Def. Funkcja jest wklęsła w przedziale (a,b) jeżeli dla każdego punktu tego przedziału wykres funkcji leży pod styczną.

Def. Punkt, w którym funkcja zmienia wypukłość nazywamy punktem przegięcia pp.

Przedziały wypukłości.

Jak wyznaczyć przedziały wypukłości ?

Tw. Jeżeli w przedziale (a,b) f’’(x)>0 to funkcja jest wypukła.

Jeżeli w przedziale (a,b) f’’(x)<0 to funkcja jest wklęsła.

Jeżeli w punkcie 𝑥₀ 𝑓′′(𝑥₀) = 0 i w otoczeniu tego punktu f’’ zmieni a znak, to 𝑥₀ jest punktem przegięcia.

Np.1. 𝑓 𝑥 = 𝑥², 𝑓^′ 𝑥 = 2𝑥, 𝑓^′′ 𝑥 = 2 > 0 − 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 Np.2. 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥, 𝑓^′ 𝑥 = 𝑒^𝑥, 𝑓^′′ 𝑥 = 𝑒^𝑥 > 0 − 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 Np.3. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , 𝑓^′ 𝑥 = _𝑥¹, 𝑓^′′ 𝑥 = −_𝑥¹₂ < 0 − 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑤𝑘𝑙ę𝑠ł𝑎

Przykład obliczeniowy.

Jakie znaczenie ma wklęsłość bądź wypukłość funkcji ?

Przykład 1. Krzywa wzrostu liczebności populacji, np. krzywa wzrostu liczby ludności na świecie.

Przykład 2. PKB – hossa i bessa

Wn: 1-sza pochodna opisuje stan obecny, druga pochodna daje prognozę !

Badanie przebiegu funkcji:

1. Dziedzina

2. Asymptoty pionowe 3. Asymptoty ukośne 4. Wstępny szkic wykresu 5. Monotoniczność

6. Wypukłość 7. Wykres

Zadanie. Zbadaj przebieg funkcji 𝑓 𝑥 = _{2 𝑥−1}^𝑥3 ₂ i naszkicuj jej wykres.

Reguła de l’Hospitala [delopitala]

𝑥→𝑥lim₀

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) [0

0,∞

∞] = lim

𝑥→𝑥₀

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥) o ile granice te istnieją.

Szereg Taylora.

Jakie działania potrafimy wykonać dokładnie?

Tylko dodawanie (odejmowanie), mnożenie (dzielenie).

Zatem dokładnie możemy obliczyć tylko wartości funkcji wielomianowej ! Jak obliczyć wartości innych funkcji ?

Np. jak obliczyć ln(7), sin(34,5) ???

Tw. Dla każdej (prawie) funkcji, dla każdego (prawie) przedziału (a,b)

można znaleźć wielomian, który na tym przedziale przybliża tę funkcję z dowolną zadaną z góry dokładnością.

Jak znaleźć taki wielomian ?

Kolejne przybliżenia funkcji f(x)=sin(x)

𝑓 𝑥 = sin 𝑥 = 0 f^′ x = cos x = 1 f^′′ x = −sin x = 0

𝑓 ³ 𝑥 = − cos 𝑥 = −1 𝑓 ⁴ 𝑥 = sin 𝑥 = 0 𝑓 ⁵ 𝑥 = cos 𝑥 = 1

𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≈ 𝑥 − 𝑥³

6 + 𝑥⁵

120 − 𝑥⁷ 7! 𝑖𝑡𝑑

Wzór na różniczkę zupełną

Zastosowania wzoru na różniczkę zupełną.

1. Obliczanie przybliżonej wartości 2. Szacowanie błędu pomiaru