Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 6. Rozwiązanie zadania 6.2 - dodatkowy podpunkt (g) Opracowanie: Anna Sip
Zadanie 6.2
(g) Wylicz – o ile to możliwe – wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o dystrybuancie
F (x) =
0 dla x ¬ −1/2,
1
2 + 3πarcsin(x) dla −1/2 < x ¬ 1/2,
1 dla 1/2 < x.
Rozwiązanie:
• Jak pokazaliśmy w zadaniu 5.4, zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości:
f (x) =
( 3
π√
1−x2 dla − 1/2 < x ¬ 1/2,
0 poza tym.
• Wartość oczekiwana (in. wartość średnia) zmiennej losowej X to
EX =
∞
Z
−∞
xf (x)dx =
1
Z2
−1
2
x · 3 π√
1 − x2dx = 3 π
1
Z2
−1
2
√ x
1 − x2dx = 0, bo wyliczamy tu całkę oznaczoną z funkcji g(x) = √1−xx 2, która jest nieparzysta (g(−x) = −g(x)), po przedziale [−12;12] symetrycznym względem punktu 0.
• Wariancja (in. dyspersja) zmiennej losowej X to
D2X =
∞
Z
−∞
x2f (x)dx − (EX)2 =
∞
Z
−∞
x2f (x)dx =
1
Z2
−12
x2· 3 π√
1 − x2dx = 3 π
1
Z2
−12
x2
√1 − x2dx(∗)=
= 2 · 3 π
1
Z2
0
x2
√1 − x2dx =
x = sin t cos t 0 dla t ∈h0;π6i dx = cos t dt √
1 − x2 = cos t x 0 12
t 0 π6
= 6 π
π
Z6
0
sin2t · cos t cos t dt =
= 6 π
π
Z6
0
sin2tdt = 6 π · 1
2
π
Z6
0
(1 − cos 2t)dt = 3 π
t − 1 2sin 2t
π6
0
= 2π − 3√ 3
4π ≈ 0.0865
Uzasadnienie (*):
wyliczamy tu całkę oznaczoną z funkcji h(x) = √x2
1−x2, która jest parzysta (h(−x) = h(x)), po przedziale [−12;12] symetrycznym względem punktu 0.
1
• Mediana (in. wartość środkowa), kwartyle:
I sposób (za pomocą funkcji gęstości f (x)):
Mediana to kwantyl rzędu q = 0.5. Kwantyl rzędu q = 0.5 to taki punkt x0.5, że pole pod wykresem gęstości f (x) do tego punktu wynosi 12. Widzimy z symetrii wykresu f (x) wzgledem osi rzędnych, że x0.5 = 0.
Kwartyl rzędu q = 0.25 to punkt x0.25 na osi Ox taki, że pole pod wykresem gęstości f (x) na przedziale (−∞; x0.25) wynosi 14.
Kwartyl rzędu q = 0.75 to punkt x0.75na osi Ox taki, że pole pod wykresem funkcji gęstości f (x) na przedziale (−∞; x0.75) wynosi 34. Zatem pole pod pozostałą częścią wykresu ma wartość 14. Z symetrii wykresu f (x) wzgledem osi rzędnych wynika, że x0.25 = −x0.75.
Wyznaczamy x0.25:
3 π
x0.25
Z
−12
√ 1
1 − x2dx = 1 4 3
π · arcsin x
x0.25
−12
= 1 4 arcsin x0.25+ π
6 = −π 12 x0.25 = − sin
π 12
≈ −0.2588
Zatem otrzymujemy, że x0.5 = 0, x0.25= − sin12π≈ −0.2588 i x0.75= sin12π≈ 0.2588.
2
II sposób (za pomocą dystrybuanty F (x)):
Według definicji kwantyla rzędu q, 0 < q < 1 - gdy dystrybuanta F (x) jest funkcją ciągłą, to xq jest rozwiązaniem równania F (xq) = q.
W naszym przypadku:
F (xq) = q ⇐⇒
( 0 = q
xq¬ −1/2, ∨
( 1
2 + 3πarcsin xq = q
−1/2 < xq ¬ 1/2, ∨
( 1 = q 1/2 < xq
Ponieważ q ∈ (0; 1), równanie pierwsze i trzecie nie mają rozwiązań. Zatem dalej rozważamy tylko równanie drugie:
1 2+ 3
πarcsin xq = q i xq ∈
−1 2;1
2
arcsin xq = π 3
q − 1 2
xq = sin
π 3
q − 1 2
Stąd otrzymujemy x0.5 = sinπ3 12 −12= 0, x0.25 = sinπ3 14 − 12≈ −0.2588, x0.25= sinπ3 34 − 12≈ 0.2588.
3
