MODELOWANIE DYNAMIKI ROBOTA PODWODNEGO

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X

MODELOWANIE DYNAMIKI ROBOTA PODWODNEGO

Józef Giergiel

^1,a

, Krzysztof Kurc

^1,b

, Dariusz Szybicki

^1,c

, Tomasz Buratowski

^2,d,

Maciej Trojnacki

^3,e

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska

2Katedra Robotyki i Mechatroniki, Akademia Górniczo-Hutnicza

3Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP

e-mail: ^abartek@prz.edu.pl, ^bkkurc@prz.edu.pl, ^cdszybicki@prz.edu.pl, ^dtburatow@agh.edu.pl,

emtrojnacki@piap.pl

Streszczenie

W artykule autorzy prezentują problemy związane z modelowaniem dynamiki mobilnych robotów z napędem gą- sienicowym. Modelowanie tego typu obiektów jest złożonym zagadnieniem i z racji tej wprowadza się szereg uproszczeń nie pomijając istotnych zagadnień. Podczas przeprowadzonej analizy i symulacji ruchu uwzględniono takie czynniki, jak: poślizgi gąsienic, siłę wyporu robota w cieczy, siłę oporu hydrodynamicznego, siłę oporu toczenia gąsienic oraz moment oporu poprzecznego. Robot ten został zaprojektowany w celu umożliwienia monitorowa- nia i analizowania stanu technicznego rur i zbiorników wodnych.

MODELING THE DYNAMICS OF UNDERWATER ROBOT

Summary

In this article the authors present problems connected with the dynamics modelling of a mobile robot with a crawler drive. Modeling such objects is a complex issue, thus it is introduced a number of simplifications not ig- noring important problems. During the analysis and motion simulation one takes into account such parameters as:

track slippage, buoyancy force of the robot located in the liquid, the hydrodynamic resistance force and moment of the track cross rolling resistance. This robot has been designed to enable monitoring and analysis of the tech- nical state of pipes and water tanks.

1. WSTĘP

Opis ruchu układu gąsienicowego, na który oddziaływa- ją różnego typu zmienne w warunkach rzeczywistych [1- 8], przy zróżnicowanym podłożu o zmiennych parame-

matematyczny uwzględniający opis ruchu poszczegól- nych punktów gąsienicy robota. Z tej racji konieczne jest stosowanie modeli uproszczonych. Gąsienice

(2)

2. OPIS DYNAMIKI ROBOTA

Oprócz szeroko stosowanych gąsienic zbudowanych z ogniw występują również gąsienice wykonane z pasa elastomerowego. Stanowią one jeden element wraz ze szponami. Układ napędowy analizowanego robota gąsienicowego zbudowany jest z dwóch modułów (rys.

1) odsuniętych od siebie równolegle i połączonych ramą (rys. 2).

Rys. 1. Model obliczeniowy pojedynczego napędu gąsienicowego

Rys. 2. Układ przeniesienia napędu

Do opisu dynamiki robota gąsienicowego użyto równań Lagrange’a II rodzaju dla układu nieholonomicznego [3]:

( ) λ +

 =





 



∂

− ∂

 



 



∂

∂ Q J q

q E q

E dt

d

^T ^T _T

&

OPIS DYNAMIKI ROBOTA

Oprócz szeroko stosowanych gąsienic zbudowanych występują również gąsienice wykonane z pasa elastomerowego. Stanowią one jeden element wraz ze szponami. Układ napędowy analizowanego robota gąsienicowego zbudowany jest z dwóch modułów (rys.

1) odsuniętych od siebie równolegle i połączonych ramą

Rys. 1. Model obliczeniowy pojedynczego napędu gąsienicowego

Do opisu dynamiki robota gąsienicowego użyto równań Lagrange’a II rodzaju dla układu nieholonomicznego [3]:

(1)

gdzie:

q

– wektor współrzędnych konfiguracyjnych robota,

(

^q^,^q

)

E

E= & – energia kinetyczna układu,

Q

– wektor sił konfiguracyjnych,

( )

q

J – jakobian więzów nieholonomicznych λ – wektor mnożników Lagrange’a.

Należy przyjąć, że energia kinetyczna robota E jest sumą energii kinetycznych poszczególnych jego eleme tów:

R M1 M2

E=E +E +E

gdzie:

E

R – energia kinetyczna ramy robota;

E

M1 – energia kinetyczna lewego modułu napędowego robota,

E

M2 – energia kinetyczna prawego modułu napędowego robota.

Rys. 3. Oddziaływanie momentów oraz sił

W celu wyeliminowania mnożników Lagrange’a z ró nań ruchu posłużono się formalizmem Maggiego [3]:

( ) C ( ) q Q

q E q E dt q d

C  =



 





∂

− ∂

 



 



∂

&

Po przekształceniach otrzymano równania:

wektor współrzędnych konfiguracyjnych robota, energia kinetyczna układu,

wektor sił konfiguracyjnych,

więzów nieholonomicznych, wektor mnożników Lagrange’a.

Należy przyjąć, że energia kinetyczna robota E jest sumą energii kinetycznych poszczególnych jego elemen-

(2)

energia kinetyczna ramy robota;

energia kinetyczna lewego modułu napędowego

energia kinetyczna prawego modułu napędowego

Rys. 3. Oddziaływanie momentów oraz sił

W celu wyeliminowania mnożników Lagrange’a z rów- ruchu posłużono się formalizmem Maggiego [3]:

Q

⁽³⁾

Po przekształceniach otrzymano równania:

(3)

Józef Giergiel i inni

[ ]

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

R 1

2 2 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 2 2

r α (1-s )+α (1-s ) sinβ+

2 m +2m 1 r 1-s sinβ+

rα (1-s )-rα (1-s )

r 2

+ α (1-s )+α (1-s ) cosβ

2 H

r α (1-s )+α (1-s ) cosβcosγ- + 2

rα (1-s )-rα (1-s )

+ r α (1-s )+α (1-s ) sinβcosγ

2 H

 

 

 

 

 

 

 

&& &&

& &

&& &&

& &

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )

R 1

1 1 2 2 R 1

2 2 1 1 2 1

R z x 1

1

n1 u D w t1 1 p

m +2m 1 r 1-s cosβcosγ+

2 r 1

+ α (1-s )+α (1-s ) sinγ m +2m r 1-s sinγ-

2 2

rα (1-s )-rα (1-s ) r(1-s )

+ I +2I +2mH +I α

H H

r(1-s )

=M + -0,5P -0,5F -0,5Gsinγ+0,5F sinγ-W r 1-s +M H

 

 

 

 

 

 

 

&& &&

&&

(4)

[ ]

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

R 2

2 2 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 2 2

r α (1-s )+α (1-s ) sinβ+

2 m +2m 1 r 1-s sinβ+

rα (1-s )-rα (1-s )

r 2

+ α (1-s )+α (1-s ) cosβ

2 H

r α (1-s )+α (1-s ) cosβcosγ- + 2

rα (1-s )-rα (1-s )

+ r α (1-s )+α (1-s ) sinβcosγ

2 H

 

 

 

 

 

 

 

&& &&

& &

&& &&

& &

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )

R 2

1 1 2 2 R 2

2 2 1 1 2 2

R z x 2

2

n2 u D w t2 2 p

m +2m 1 r 1-s cosβcosγ+

2 r 1

+ α (1-s )+α (1-s ) sinγ m +2m r 1-s sinγ+

2 2

rα (1-s )-rα (1-s ) r(1-s )

+ I +2I +2mH +I α

H H

r(1-s )

=M + -0,5P -0,5F -0,5Gsinγ+0,5F sinγ-W r 1-s -M H

 

 

 

 

 

 

 

&& &&

&&

(5)

gdzie:

r – promień kół napędowych gąsienic, H – odległość pomiędzy osiami gąsienic, Pu – siła uciągu (rys. 3),

m – masa modułu gąsienicowego, mR – masa ramy,

I , I, I – masowe momenty bezwładności względem osi

s1 – poślizg gąsienicy 1, s2 – poślizg gąsienicy 2.

Poślizg gąsienicy wyrażono według wzoru:

( )

^'i i

n-1 Δl

s = L

⁽⁶⁾

gdzie:

(4)

Pozostałe parametry w równaniach (4) i (5) to:

W

t – siła oporu toczenia (rys. 1) gąsienicy równoległa do podłoża. Powstaje ona w wyniku zgniatania i spychania podłoża. W przypadku kolein o niewielkich głębokościach wpływ oporu spychania podłoża na opór toczenia gąsienicy jest nieznaczny i jest pomijany. Siła oporu toczenia robota gąsienicowego wyraża się wzorem [2]:

( )

t u g

W = Gcosγ+P tgθ f

(7)

gdzie:

θ – kąt działania siły uciągu,

f

g – współczynnik oporu toczenia robota gąsienicowego można wyznaczyć ze wzoru:

( )

n+1

c 0

g p

k bz

f =2 +k +f

b n+1 G

 

 

 

⁽⁸⁾

gdzie:

b – szerokość koleiny (gąsienicy), z0 – głębokość koleiny,

n – współczynnik potęgowy zależny od własności me- chanicznych, rodzaju, struktury podłoża,

f – współczynnik oporu toczenia krążków: napędowego i napinającego gąsienicę,

kc, kp – współczynniki liczbowe, będące składnikami wzoru Bekkera (zależność nacisku jednostkowego od odkształcenia podłoża), wraz z wykładnikiem n wyzna- czane są za pomocą specjalnego przyrządu [2], wtłacza- jącego w podłoże dwie płyty prostokątne o różnych szerokościach.

Ze względów praktycznych współczynniki oporu toczenia wyznacza się doświadczalnie ciągnąc badany pojazd gąsienicowy i mierząc siłę oporu dynamometrem lub dynamografem. Przykładowe wartości współczynnika oporu toczenia podano w tabeli 1 i przyjęto w dalszej symulacji wartość 0,1 dla podłoża podwodnego.

Tabela 1. Średnie wartości współczynnika oporu toczenia pojazdu gąsienicowego [2]

Rodzaj podłoża Współczynnik oporu toczenia fg

Suchy piasek 0,15

Wilgotny piasek 0,10

Sucha, ubita droga polna 0,06÷0,07 Miękka, piaszczysta droga 0,10 Zaorane, zleżałe pole 0,08

Świeżo zaorane pole 0,10÷0,12

Ubity śnieg 0,06÷0,08

Gęste błoto 0,10÷0,15

Wilgotne ściernisko 0,08

Wilgotna łąka 0,07

Asfalt 0,05*

* Dla gąsienic bez szponów

F

D – Siła oporu hydrodynamicznego (skupiona) jest wyznaczana z zależności:

C

2

D D

F =C ρV A

2

⁽⁹⁾

gdzie:

C =1,5

D – współczynnik oporu hydrodynamicznego, ρ – gęstość wody,

V

C – prędkość punktu C robota,

m g

A=A +2A

– pole powierzchni przekroju czołowego robota.

F

w – Siła wyporu

F =ρgU

w (10)

gdzie:

g – przyśpieszenie ziemskie,

g m

U=2U +U

– objętość robota,

U

g – objętość pojedynczej gąsienicy robota (rys. 3),

U

m – objętość modułu (ramy) robota (rys. 3).

Mp – Moment oporu poprzecznego występujący w przypadku ruchu krzywoliniowego. W najprostszym przypadku, skręcając na płaszczyźnie poziomej powoli i jednostajnie, przy założonym braku siły uciągu i równomiernym rozkładzie nacisków pomiędzy podło- żem a gąsienicą, moment oporu poprzecznego ma postać wyrażoną równaniem:

(5)

0,5L

p

p p

0

G μ GL M =2 μ xdx=

L 4

∫

⁽¹¹⁾

Na rys. 5 przedstawiono siły poprzeczne oddziałujące na gąsienice podczas wykonywania skrętu. Są one wprost proporcjonalne do nacisków między podłożem a gąsieni- cą.

Rys. 5. Siły poprzeczne działające na gąsienicę robota podczas skrętu

Na wielkość współczynnika oporu poprzecznego

µ

_p

(zależność (11)) mają wpływ konstrukcja szponów gąsienicy, promień skrętu robota i właściwości mecha- niczne podłoża. Współczynnik

µ

_pjest zależny również od prędkości kątowej, z jaką wykonywany jest obrót gąsienicy. Wzrost tej prędkości powoduje wzrost współ- czynnika oporu poprzecznego. Największą wartość współczynnika oporu poprzecznego

µ

_pwyznacza się z przybliżonej zależności:

( )

μ

pmax

= 0,7÷0.75 μ

(12) gdzie:

µ

– współczynnik przyczepności gąsienicy do podłoża.

Przyjęto w dalszej symulacji wartość 0,5 ze szponami dla podłoża podwodnego (tab. 2).

Maksymalna wartość współczynnika oporu poprzecznego występuje przy najmniejszym promieniu skrętu. Zależ- ność współczynnika oporu poprzecznego od promienia skrętu wyraża się następującym równaniem:

pmax p

μ = 4μ 3,5+ R

b

(13)

gdzie:

R – promień skrętu;

b – szerokość gąsienicy.

Uwzględniając siłę wyporu Fw, zależność (11) zapisano w postaci:

( ) ( )

p w

C

μ L(G-F ) 0,7 0.75 μ

M = = L G-F

4 V

3,5+ βb

÷

&

(14)

Tabela 2. Współczynniki przyczepności gąsienicy [2]

Rodzaj podłoża

Współczynnik przy- czepności gąsienicy

µ ze szpo-

nami

bez szpo- nów

Ubity śnieg 0,6 0,2

Sucha, ubita droga na

gruncie gliniastym 1,0 0,7

Sucha, ubita droga na

gruncie piaszczystym 1,1 0,7 Sucha, ubita droga na

gruncie czarnoziemu 0,9 0,7

Wilgotna łąka 0,6 0,5

Wilgotne ściernisko 0,9 0,5 Zaorane, zleżałe pole 0,7 0,6 Świeżo zaorane pole 0,6 0,4

Wilgotny piasek 0,5 0,4

Suchy piasek 0,4 0,4

(6)

3. SYMULACJE

Zależności (4) i (5) posłużyły do przeprowadzenia badań symulacyjnych dynamiki robota w celu określenia momentów napędowych. W wielu przypadkach podczas pracy inspekcyjnej, strefa działań robota nie jest ogran czona do płaszczyzn poziomych. Niejednokrotnie robot musi pokonać różnicę wysokości i z tego względu, aby uzyskać bardziej kompleksową analizę kinematyki i dynamiki, założono przypadek ruchu w przestrzeni trójwymiarowej (rys. 6a).

Dane:

L = 0,127 m – długość odcinka nośnego gąsienicy, n = 8 – liczba szponów w kontakcie z podłożem, r

m – promień kół napędowych gąsienic, H = 0,145 m odległość pomiędzy osiami gąsienic, µ = 0,5 czynnik przyczepności gąsienicy ze szponami dla wilgo nego piasku, fg = 0,1 – współczynnik oporu toczenia dla wilgotnego piasku, i = 500/7 – przełożenie;

sprawność, b = 0,025 m, Pu = 20 N, m = 2,8 kg, m 3 kg, IR = 0,008854 kg m², Iz = 0,000651 kg m 0,000059 kg m².

Rys. 6. Tor zadany robota w przestrzeni trójwymiarowej a), prędkość zadana punktu C robota b)

Zależności (4) i (5) posłużyły do przeprowadzenia badań robota w celu określenia momentów napędowych. W wielu przypadkach podczas pracy inspekcyjnej, strefa działań robota nie jest ograni- czona do płaszczyzn poziomych. Niejednokrotnie robot musi pokonać różnicę wysokości i z tego względu, aby ompleksową analizę kinematyki i dynamiki, założono przypadek ruchu w przestrzeni

długość odcinka nośnego gąsienicy, n = liczba szponów w kontakcie z podłożem, r = 0,02794 promień kół napędowych gąsienic, H = 0,145 m – µ = 0,5 – współ- czynnik przyczepności gąsienicy ze szponami dla wilgot- współczynnik oporu toczenia dla

przełożenie; η = 0,45 –

= 20 N, m = 2,8 kg, mR =

= 0,000651 kg m², Ix =

zeni trójwymiarowej a),

Wyniki symulacji nr 1 (bez poślizgu, przedstawiono na rys. 7.

Rys. 7. Prędkości kątowe kół napędzających gąsienice a), momenty napędowe gąsienic z uwzględnieniem oporu poprzecznego b), momenty napędowe gąsienic bez uwzględnienia momentów oporu poprzecznego

Wyniki symulacji nr 2 (z poślizgiem

' '

1 2

Δl = 0,001 m, Δl = 0,001 m

8.

Rys. 8. Prędkości kątowe kół napędzających gąsienice a), momenty napędowe gąsienic z uwzględnieniem

oporu poprzecznego b)

' '

1 2

Δl = 0,001 m, Δl = 0,003 m

9.

Rys. 9. Prędkości kątowe kół napędz

momenty napędowe gąsienic z uwzględnieniem oporu poprzecznego b)

Wyniki symulacji nr 1 (bez poślizgu,

Δl = 0 , Δl = 0

₁^' ^'₂ )

Rys. 7. Prędkości kątowe kół napędzających gąsienice a), momenty napędowe gąsienic z uwzględnieniem momentów

momenty napędowe gąsienic bez momentów oporu poprzecznego c)

l = 0,001 m

) przedstawiono na rys.

l = 0,003 m

) przedstawiono na rys.

(7)

Podczas przeprowadzonych symulacji założono ruch bez poślizgu (symulacja nr 1, rys. 7), z poślizgiem takim samym na obu gąsienicach (symulacja nr 2, rys. 8) i różnym poślizgiem obu gąsienic (symulacja nr 3, rys.

9). Zmianę poślizgu wprowadzano przez jednorazowe poziome odkształcenie podłoża lub szponu. W każdej z symulacji ruch odbywa się z zadaną prędkością (rys.

6b) punktu C robota i w trakcie ruchu prędkość ta ma zostać utrzymana, niezależnie od trajektorii i założonych poślizgów. Podczas założonego poślizgu (rys. 8a) i (rys.

9a) prędkości kątowe kół napędzających gąsienice przyjmują większe wartości w porównaniu z rys. 7a, w celu utrzymania prędkości zadanej (rys. 6b). Maleją natomiast momenty napędowe gąsienic (rys. 8b) i (rys.

9b) w porównaniu z rys. 7b. Na rys. 7c przedstawiono dodatkowo jakie przebiegi wartości mają momenty napędowe gąsienic bez uwzględnienia momentów oporu

poprzecznego w porównaniu do (rys. 7b). Jak widać, uwzględnienie momentu oporu poprzecznego ma istotny wpływ na zmiany momentów napędowych podczas ruchu krzywoliniowego.

4. PODSUMOWANIE

Podczas analizy dynamiki oraz symulacji ruchu robota uwzględniono takie czynniki, jak: poślizgi gąsienic zależne od podłoża i odkształceń szponów, siłę wyporu robota znajdującego się w cieczy, siłę oporu hydrodynamicznego zależną od środowiska, w którym pracuje robot, siłę oporu toczenia gąsienic oraz moment oporu poprzecznego występujący w ruchu krzywoliniowym.

Badania będą kontynuowane w dalszych pracach zwią- zanych z identyfikacją i sterowaniem tego typu obiek- tem.

Literatura

1. Burdziński Z.: Teoria ruchu pojazdu gąsienicowego. Warszawa: WKŁ, 1972.

2. Dajniak H.: Ciągniki teoria ruchu i konstruowanie. Warszawa: WKŁ, 1985.

3. Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

4. Chodkowski A. W.: Badania modelowe pojazdów gąsienicowych i kołowych. Warszawa: WKŁ, 1982.

5. Chodkowski A. W.: Konstrukcja i obliczanie szybkobieżnych pojazdów gąsienicowych. Warszawa: WKŁ, 1990.

6. Giergiel J., Kurc K., Giergiel M.: Mechatroniczne projektowanie robotów inspekcyjnych. Monografia. Rzeszów:

Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2010.

7. Kurc K.: Mechatronika w projektowaniu robota. Monografia. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2010.

8. Mężyk A., Bachorz P.: Mechatronika w projektowaniu układów napędowych maszyn: projektowanie mechatroniczne, zagadnienia wybrane. Pod red. T. Uhla. Radom: Wyd. Inst. Technologii i Eksploatacji, 2005, s. 145-158.