Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2018/19
KOLOKWIUM nr
73
,8.11.2018
, godz. 8:15–9:00 Zadanie75.
(10 punktów)Wskaż liczby rzeczywiste a i k, dla których podana granica istnieje i jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość granicy dla tych wartości parametrów a i k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierną, podaj ją w postaci ułamka nieskracalnego lub liczby całkowitej. Za każde zadanie, w którym podasz poprawną odpowiedź (liczby a i k oraz uproszczona granica) otrzymasz 2 punkty.
W zadaniach skorzystaj ze wzoru Stirlinga:
n→∞lim n! · en nn·√
n=√ 2π .
a)
lim
n→∞
a
n· n
k·
2n n
= 1
√ π
dla a =1
4
k =1 2
b) n→∞
lim
a
n· n
k·
3n n
=
√ 3
2 · √
π
dla a =4
27
k =1 2
c) n→∞
lim
a
n· n
k·
4n n
=
√ 2
√ 3π
dla a =27
256
k =1 2
d)
lim
n→∞
a
n· n
k·
4n 2n
= 1
√ 2π
dla a =1
16
k =1 2
e)
lim
n→∞
a
n· n
k·
2n n
·
3n n
=
√ 3
2π
dla a =1
27
k =1
Kolokwium 73 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2018/19
Zadanie
76.
(10 punktów)Liczby wymierne dodatnie a i b spełniają warunek ab= 2. Dowieść, że liczby a i 1/b są całkowite.
Rozwiązanie:
Zapiszmy liczby a i b w postaci ułamków nieskracalnych o naturalnym liczniku i mia- nowniku:
a =m
n , b =s t . Otrzymujemy wówczas kolejno:
m n
s/t
= 2 ,
m n
s
= 2t,
ms= 2t· ns. (♥)
Dowód całkowitości liczby a, czyli równości n = 1 (dowód nie wprost):
Jeżeli liczba n jest większa od 1, to ma dzielnik pierwszy, oznaczmy go przez p.
Wówczas prawa strona równości (♥) jest podzielna przez p, a zatem lewa strona też jest podzielna przez p. Skoro jednak liczba ms jest podzielna przez liczbę pierwszą p, to także m jest podzielne przez p, co przeczy założeniu, że liczby m i n są względnie pierwsze.
Dowód całkowitości liczby 1/b:
Skoro wiemy już, że n = 1, równanie (♥) przyjmuje postać
ms= 2t. (♦)
Stąd wynika, że m jest potęgą dwójki o wykładniku naturalnym, powiedzmy m = 2k, co po podstawieniu do równania (♦) daje
2ks= 2t.
Wobec tego ks = t, skąd k = t/s = 1/b jest liczbą całkowitą.
Kolokwium 73 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania
