Matematyka kolokwium
1. Rozwa»my ªa«cuch Markowa z czasem dyskretnym, o trzech stanach, o macierzy przej-
±cia
P =
p11 p12 p13 p21 p22 p23
p31 p32 p33
(a) Niech nj oznacza ±redni¡ liczb¦ kroków potrzebnych do przej±cia ze stanu pocz¡t- kowego j do stanu 3. Uzasadnij, »e
n1 = 1 + p11n1+ p12n2+ p13n3 n2 = 1 + p21n1+ p22n2+ p23n3 n3 = 0
(b) Znajd¹ warto±¢ n1, je±li
P =
0 12 12
1 3
1 2
1 6
0 0 1
2. Rozwa»my ªa«cuch Markowa z czasem ci¡gªym, o dwóch stanach, o generatorze i ma- cierzy przej±cia
G = −a a b −b
, P (t) =
p(t) 1 − p(t) 1 − q(t) q(t)
(a) Przypomnienie: dtdP (t) = P (t) · G. Ten warunek zadaje pewne równania ró»nicz- kowe na p(t) i q(t). Zapisz je.
(b) Rozwi¡» te równania ró»niczkowe, przy zaªo»eniu, »e a, b > 0. Pami¦taj, »e P (0) to macierz jednostkowa.
(c) Znajd¹ a i b, je±li
P (1) =
2
3 1 1 3 2
1 2
Wskazówka: je±li Ci to uªatwi rachunki, a + b = ln 6.
Matematyka kolokwium
1. Rozwa»my ªa«cuch Markowa z czasem dyskretnym, o czterech stanach, o macierzy przej±cia
P =
1 0 0 0
1 − p 0 p 0 0 q 0 1 − q
0 0 0 1
(a) Niech rj oznacza prawdopodobie«stwo doj±cia do stanu 1 przed doj±ciem do stanu 4.
Uzasadnij, »e
r1 = 1
r2 = (1 − p)r1+ pr3 r3 = qr2+ (1 − q)r4 r4 = 0
(b) Znajd¹ warto±¢ r2 i r3, je±li p = 12, q = 13.
2. Rozwa»my ªa«cuch Markowa z czasem ci¡gªym, o dwóch stanach, o generatorze i ma- cierzy przej±cia
G = −a a b −b
, P (t) = 1 − p(t) p(t) q(t) 1 − q(t)
(a) Przypomnienie: dtdP (t) = P (t) · G. Ten warunek zadaje pewne równania ró»nicz- kowe na p(t) i q(t). Zapisz je.
(b) Rozwi¡» te równania ró»niczkowe, przy zaªo»eniu, »e a, b > 0. Pami¦taj, »e P (0) to macierz jednostkowa.
(c) Znajd¹ a i b, je±li
P (1) =
1 2
1 1 2 3
2 3
Wskazówka: je±li Ci to uªatwi rachunki, a + b = ln 6.
