XV WARMISKO MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE
Olsztyn, 18.05.2017 WMiI UWM w Olsztynie
Zadanie 1.
Aby ugotowa¢ jajko na mi¦kko, Kasia wkªada je do wrz¡cej wody i gotuje nieprzerwanie przez 3 minuty. Dzi± zepsuª si¦ jej zegarek, ale ma do dyspozycji dwie klepsydry, którymi mo»na odmierzy¢ 6 minut i 7 minut. Jak Kasia odmierzy czas potrzebny do ugotowania jajka na mi¦kko?
Rozwi¡zanie:
Klepsydr¦ sz¦±ciominutow¡ oznaczmy przez "1", a klepsydr¦ siedmiominutow¡ przez "2".
Jednocze±nie uruchamiamy "1" i "2". Gdy "1" odmierzy 6 minut, odwracamy j¡ naty- chmiast, gdy "2" odmierzy 7 minut równie» j¡ odwracamy. Nast¦pnie odwracamy "1", gdy odmierzy 12 minut oraz "2", gdy odmierzy 14 minut. Kiedy "1" odmierzy 18 minut, wkªadamy jajka do wrz¡cej wody i gotujemy do chwili, w której "2" odmierzy 21 minut.
Zadanie 2.
Zapisz uªamki w jak najprostszej postaci, a nast¦pnie poka», który jest wi¦kszy:
2
1 + 2
1 + 2 1 + 2
5
czy 3
1 + 3
1 + 3 1 + 3
5
Rozwi¡zanie:
Rozwa»my 1 uªamek:
2
1 + 2
1 + 2 1 + 2
5
= 2
1 + 2 1 + 2
7 5
= 2
1 + 2 1 + 10
7
= 2
1 + 2 17
7
= 2
1 + 14 17
= 34 31
Rozwa»my 2 uªamek:
3
1 + 3
1 + 3 1 + 3
5
= 3
1 + 3 1 + 3
8 5
= 3
1 + 3 1 + 15
8
= 3
1 + 3 23
8
= 3
1 + 24 23
= 69 47
Porównajmy uªamki
2
1 + 2
1 + 2 1 + 2
5
= 34 31 = 1 3
31 < 1 3
30 = 1 1 10
1
3
1 + 3
1 + 3 1 + 3
5
= 69
47 = 122
47 > 120
47 > 120 50 = 1 4
10
Odp: Wi¦kszy jest uªamek 3
1 + 3
1 + 3 1 + 3
5 .
Zadanie 3.
W trapezie ABCD poª¡czono ±rodek ramienia BC z ko«cami drugiego ramienia AD.
Uzasadnij, »e pole powstaªego trójk¡ta ADM jest równe poªowie pola trapezu ABCD.
Rozwi¡zanie:
Obliczmy pole trójk¡tów CDM i BAM . Wysoko±¢ w ka»dym z tych trójk¡tów jest równa poªowie wysoko±ci trapezu. Zatem:
PABM + PM CD = 1 2ah
2 +1 2bh
2 = 1 2
(a + b)h
2 = 1
2PABCD PADM = PABCD− (PABM + PM CD) = 1
2PABCD
Zadanie 4.
W dwóch graniastosªupach o podstawie kwadratu sumy dªugo±ci kraw¦dzi wynosz¡ po 192cm.W pierwszym graniastosªupie wysoko±¢ jest o 20% wi¦ksza od kraw¦dzi podstawy, a w drugim graniastosªupie wysoko±¢ stanowi 40% dªugo±ci kraw¦dzi podstawy. Który graniastosªup ma wi¦ksz¡ obj¦to±¢ i o ile cm3?
Rozwi¡zanie:
Pocz¡tkowo rozwa»my pierwszy graniastosªup.
Wprowa¹dzmy nast¦puj¡ce oznaczenia. Niech:
x-dªugo±¢ podstawy [podana w cm]
h1 = 1, 2x - wysoko±¢ [podana w cm]
W graniastosªupie o podstawie kwadratu mamy 12 kraw¦dzi( 8 tworz¡ podstawy, za± 4 wysoko±ci).
Zatem
8x + 4h1 = 192.
Mamy wi¦c
8x + 4, 8x = 192.
St¡d x = 15.
Zatem graniastosªup ma wymiary :15cm × 15cm × 18cm.
St¡d obj¦to±¢ wynosi: 15 · 15 · 18 = 4050cm3. Nast¦pnie rozwa»my drugi graniastosªup.
2
Wprowa¹dzmy nast¦puj¡ce oznaczenia. Niech:
y - dªugo±¢ podstawy [podana w cm]
h2 = 0, 4y - wysoko±¢ [podana w cm]
Na podstawie warunków zadania otrzymujemy równanie:
8y + 4h2 = 192. St¡d y = 20.
Zatem graniastosªup ma wymiary :20cm × 20cm × 8cm.
St¡d obj¦to±¢ wynosi: 3200cm3.
Ró»nica obj¦to±ci pomi¦dzy pierwszym graniastosªupem, a drugim wynosi 850cm3 = 4050 − 3200.
Odp: Wi¦ksz¡ obj¦to±¢ ma pierwszy graniastosªup. Jego obj¦to±¢ jest wi¦ksza o 850cm3. Zadanie 5.
Je»eli wio±larz b¦dzie wiosªowaª z pr¦dko±ci¡ 10km
h , to przyb¦dzie do Gi»ycka o godzinie 16. Je»eli b¦dzie wiosªowaª z pr¦dko±ci¡ 41
6 m
s ,to przyb¦dzie do celu o godzinie 14. Z jak¡
pr¦dko±ci¡ powinien wio±larz wiosªowa¢, aby przypªyn¡¢ do Gi»ycka o godzinie 15?
Rozwi¡zanie:
Najpierw przeliczmy pr¦dko±¢ podan¡ w m
s na km
h . Mamy
41 6
m s = 41
6 1 1000km
1 3600h
= 25
6 · 3600 1000
km
h = 15km h Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia. Niech:
t - czas, w ci¡gu którego wio±larz pªyn¡ª z pr¦dko±ci¡ 10km
h ( podany w h) (t − 2) - czas, w ci¡gu którego wio±larz pªyn¡ª z pr¦dko±ci¡15km
h ( podany w h) Przypomnijmy, »e:
droga = czas · pr¦dko±¢
Na podstawie warunków zadania otrzymujemy równanie:
10 · t = 15 · (t − 2).
Zatem t = 6h.
Odlegªo±¢ do Gi»ycka z miejsca startu wynosiªa 6 · 10 = 60km.
eby by¢ w Gi»ycku na godzin¦ 15, wio±larz musiaªby pªyn¡¢ 5h z pr¦dko±ci¡ 60 : 5 = 12km
h . Odp: 12km
h
3
