Wykaza´c, ˙ze orbita BπB ⊂ GLn(k)/B jest izomorficzna z przestrzenia,afiniczna,Al(π)

ZADANIA O NA EGZAMIN PISEMNY

1 Obliczy´c wymiary grup homologii zespolonego grassmannianu Gr_k(Cⁿ). Obliczy´c z ilu punkt´ow sk lada sie_,Gr_k(Fⁿq). Obliczy´c granice_,przy q → 1. (I wyja´sni´c ska_,d sie_,bierze r´owno´s´c).

2 Opisa´c orbity dzia lania B na ilorazie GLn(k)/B. Wykaza´c, ˙ze orbita BπB ⊂ GLn(k)/B jest izomorficzna z przestrzenia_,afiniczna_,A^l(π). Obliczy´c l(π).

3 Uto˙zsami´c GL_n(k)/B z przestrzenia_,flag F l(n), kt´orej elemantami sa_,cia_,gi podprzestrzeni liniowych kⁿ

V₁⊂ V₂ ⊂ · · · ⊂ V_n= kⁿ

(dim Vi = i). Na przestrzeni flag nad cia lem liczb zespolonych dzia la grupa unitarna U (n). Przedstawi´c te_,przestrze´n jako przestrze´n ilorazowa_,grupy U (n).

4 Rozwa˙zamy dzia lanie grupy macierzy diagonalnych T ⊂ GLn(C) na GLn(C)/B. Znale´z´c punkty sta le tego dzia lania. Obliczy´c wagi dzia lania na przestrzeniach stycznych.

5 Opisa´c wyszytkie podgrupy P ⊂ GL_n(C) zawieraja_,ce B.

6 Wprowad´zmy na przestrzeni C²ⁿ antysymetryczna_, niezdegenerowana_, forme_, dwuliniowa_, zadana_,

przez antysymetryczna_, 2n × 2n macierz















0 0 . . . 0 −1 0 0 . . . −1 0

...

0 1 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0















. Rozwa˙zmy podzbi´or grassmanni-

anu Gr_n(k²ⁿ) sk ladaja_,cy sie_, z n–wymiarowych przestrzeni izotropowych. Pokaza´c, ˙ze ten zbi´or jest przestrzenia_,jednorodna_,dla pewnej grupy. Znale´z´c punkty sta le dzia lania torusa

T = {diag(t1, t2, . . . , tn, t⁻¹_n , . . . , t⁻¹₂ , t⁻¹₁ ) | ti ∈ C^∗}.

7 Wprowad´zmy na przestrzeni C²ⁿ antysymetryczna_, niezdegenerowana_, forme_, dwuliniowa_, zadana_,

przez symetryczna_,2n × 2n macierz















0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 1 0

...

0 1 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0















. Rozwa˙zmy podzbi´or grassmannianu Grn(k²ⁿ)

sk ladaja_,cy sie_, z n–wymiarowych przestrzeni izotropowych. Pokaza´c, ˙ze ten zbi´or jest przestrzenia_, jednorodna_,dla pewnej grupy. Znale´z´c punkty sta le dzia lania torusa

T = {diag(t1, t2, . . . , tn, t⁻¹_n , . . . , t⁻¹₂ , t⁻¹₁ ) | ti ∈ C^∗}.

8 Niech A be_,dzie k-algebra_,. Udowodni´c, ˙ze dzia lanie torusa k^∗ na rozmaito´ci afinicznej X = Spec(A) jest r´ownowa˙zne zadaniu Z-gradacji w A.

9 Obliczy´c pier´scie´n kohomologii H^∗(G(k, n)) korzystaja_,c z rozw l´oknienia G(k, n) → B(U (k) × U (n − k)) → BU (n).

1

10 Je´sli grupa ma torsje_,, to BG nie ma sko´nczeniewymiarowego modelu.

11 Dla grupy sko´nczonej H^∗(BG; R) = 0 je´sli |G| jest odwracalny w R.

Wsk: U˙zy´c transfer.

12 Znale´z´c przekszta lcenia klasyfikuja_,ce dla pote_,gi wia_,zki tautologicznej (γn)^⊗k → Pⁿ (dla k ∈ Z) przyjmuja_,c model BC^∗ = P^∞.

13 Niech 0 < d₁ < d₂ < · · · < d_m< n. Na przestrzeni cze_,´sciowych flag mamy wia_,zki ilorazowe: nad punktem x = (V₁⊂ V₂ ⊂ . . . V_m) ∈ F l(d₁, d₂, . . . , d_m; n)

(Qi)x := Vi/Vi−1.

(Przyjmujemy V0 = {0}.) Wykaza´c, ˙ze klasy Cherna wia_,zek Qi dla i = 1, 2, . . . m generuja_, pier´scie´n kohomologii H^∗(F l(d1, d2, . . . , dm; n)).

14 Torus S¹ dzia la na P¹

t · [z0 : z1] = [z0 : t^kz1] .

Obliczy´c pier´scie´n ekwiwariantnych kohomologii H_S^∗1(P¹). Zbada´c odwzorowanie obcie_,cia

H_S^∗1(P¹) → H_S^∗1({ [1 : 0] , [0 : 1] }) ' Z[t] ⊕ Z[t].

15 Zbada´c odwzorowanie obcie_,cia do punkt´ow sta lych H^∗

T(X) → H^∗

T(X^T) dla X = Pⁿ ze standar- dowym dzia laniem torusa. Wykaza´c, ˙ze jest monomorfizmem.

16 Obliczy´c pier´scie´n ekwiwariantnych kohomologii grassmannianu H^∗

T(G(k, n)).

17 Spr´obowa´c powt´orzy´c dow´od twierdzenia o lokalizacji K ⊗_ΛH_G^∗(X; Q)→ K ⊗^' _ΛH_G^∗(X^G; Q) dla grupy nieprzemiennej, np G = U (n).

18 Udowodni´c, ˙ze teza Twierdzenia o lokalizacji zachodzi dla kohomologii o wsp´o lczynnikach ca lkowitych, je´sli stabilizatory punkt´ow sa_,sp´ojne.

19 Je´sli zwarta przestrze´n X jest ekwiwariantnie formalna, to H^∗(X) ' H^∗(X^T) z zachowaniem gradacji modulo 2.

20 Niech X = Pⁿ ze standardowym dzia laniem (n + 1)-wymiarowego torusa T . Pokaza´c, ˙ze obraz

H_T^∗(X) ,→ H_T^∗(X^T) '

n

M

k=0

Λ = Λⁿ⁺¹

sk lada sie_,z takich cia_,g´ow (f0, f1, . . . , fn) ∈ Z[x0, x1, . . . , xn]ⁿ⁺¹, ˙ze ti− t_j dzieli fi− f_j.

21 Niech X = S²ⁿ⁻¹ ⊂ Cⁿ z dzia laniem T = S¹ przez mno˙zenie zespolone. Obliczy´c H^∗

T(X) jako H^∗

T(pt) modu l.

2

22 Niech X = P² z dzia laniem T = (S¹)²

(s, t)[x₀; x₁; x₂] = [x₀; sx₁; tx₂].

Uto˙zsami´c H_T^∗(X;R) z cia_,g lymi funkcjami na R², kt´ore sa_, wielomianami na sto˙zkach rozpie_,tych przez naste_,puja_,ce pary wektor´ow

{(1, 0), (0, 1)}, {(1, 0), (−1, −1)}, {(−1, −1), (0, 1)}.

23 Niech X be_,dzie kwadryka_,w P(C²ⁿ) zadana_,r´ownaniem x1x2n+x1x2n−1+. . . xnxn+1we wsp´o lrze_,dnych jednorodnych x1, x2, . . . , x2n. Wskaza´c torus (jak najwie_,kszy), kt´ory zachowuje X. Znale´z´c punkty sta le i wagi dzia lania torusa na przestrzeniach stycznych.

24 Obliczy´c klase_, kohomologii (stopie´n) grassmanianu G(2, 4) zanurzonego w P(Λ^kCⁿ) (zanurzenie Pl¨uckera). Napisa´c formu le_,kt´ora wynika z twierdzenia o lokalizacji. Sprawdzi´c, ˙ze otrzymany wynik sie_,zgadza podstawiaja_,c za zmienne forrmalne jakie´s liczby ca lkowite.

25 Niech X = Cⁿ z dzia laniem T = C^∗ o wagach (charakterach) w₁, w₂, . . . , w_n. Obliczy´c klase_, Poincar´e dualna_,do [0] w H²

T(Cⁿ) = H²

T(pt) u˙zywaja_,c aproksymacji BT =S

NP^N.

26 Niech V = Cⁿ⁺¹ z baza_, ε0, ε1, . . . , εn Niech Vⁱ = lin{εi, εi+1, . . . , εn} ⊂ V , codim(Vⁱ) = i.

Oznaczmy przez xi be_,dzie klasa_, Poincar´e dualna_, do [P (Vⁱ)] ∈ H_T^∗(Pⁿ) (ze wzgle_,du na standardowe dzia lanie torusa). Uto˙zsamiaja_,c H_T^∗(Pⁿ) z Z[t0, t1, . . .n, ζ]/(Q(ζ + t_i) ) znale˙z´c wzory na xi.

27 Niech T = C^∗ dzia la na X ⊂ P(V ) poprzez automorfizmy liniowe. Dla p, q ∈ X^T piszemy p → q je´sli istnieje y ∈ X taki, ˙ze lim_z→0z · y = p i lim_z→∞z · y = q. Wykaza´c, ˙ze nie ma zamknie_,tego cia_,gu orbit p₀ → p₁ → · · · → p_n= p₀.

28 Dane 4 proste w P³ w po lo˙zeniu og´olnym. Ile jest prostych przecinaja_,cych wszystkie te 4 proste?

29 Ka˙zda lokalnie wolna T^∗-algebra ma strukture_,W (t)-algebry.

30 Niech (M, ω) be_,dzie rozmaito´scia_, symplektyczna_,. Potok pola v zachowuje forme_, symplektyczna_, ω wtedy i tylko wtedy gdy dιvω = 0.

31 Zwia_,zek odwzorowania momentu z ekwiwariantnymi kohomologiami. Niech T dzia la hamiltonowsko na rozmaito´sci symplektycznej z funkcja_,momentu µ. Pokaza´c, ˙ze ω^#:= ω + µ jest zamknie_,ta_,forma_,w ekwiwariantnym kompleksie de Rhama (model Cartana).

32 Zobaczy´c jak wygla_,da GKM-graf w wielo´scianie momentu dla M = Sp₂(C)/B, tzn dla przestrzeni flag grupy symplektycznej Sp₂(C) ⊂ GL4(C),

33 To samo zadanie dla GL3(C)/B, IO(5) i SO5(C)/B.

(Przestrze´n IO(5) ⊂ G(2, 5) sk lada sie_, z przeztrzeni izotropowych ze wzgle_,du na niezdegenerowana_, forme_,symetryczna_,. Dopuszcza dzia lanie 2-wymiarowego torusa.)

3