5 ♠ Wykaza´c, ˙ze orbita BπB ⊂ GLn(k)/B jest izomorficzna z przestrzenia,afiniczna,Al(π)

ZADANIA O DZIA LANIU TORUSA I NIE TYLKO

♠ = zrobione

1 ♠ Obliczy ¨A wymiary grup homologii zespolonego grassmannianu Grk(Cⁿ). Obliczy´c z ilu punkt´ow sk lada sie_,Grk(Fⁿq). Obliczy´c granice_,przy q → 1.

2 ♠ Wykaza´c, ˙ze stosuja_,c naste_,puja_,ce elementarne operacje: mnozenie kolumny przez skalar 6= 0 i dodawianie jednej kolumny do innej, po lo˙zonej na prawo (przestawianie kolumn zabronione) mo˙zna dowolna_,macierz doprowadzi´c do postaci ,,eszelonu”:









∗ 1 0 0

∗ 0 ∗ 1 1 0 0 0 0 0 1 0







 w kt´orym

– ka˙zda kolumna ko´nczy sie_,na 1 (a poni˙zej zera),

– wyrazy na prawo od ka˙zdej ko´ncowej jedynki sa_,r´owne 0.

Taka posta´c jest jednoznaczna

3 ♠ Wykaza´c, ˙ze GLn(k) =F BπB, gdzie B jest grupa_,macierzy g´ornotr´ojka_,tnych, a suma przebiega macirze permutacji π.

4 ♠ Opisa´c orbity dzia lania B na ilorazie GLn(k)/B.

5 ♠ Wykaza´c, ˙ze orbita BπB ⊂ GL_n(k)/B jest izomorficzna z przestrzenia_,afiniczna_,A^l(π). Obliczy´c l(π).

6 ♠ Uto˙zsami´c GL_n(k)/B z przestrzenia_, flag F l(n), kt´orej elemantami sa_, cia_,gi podprzestrzeni liniowych kⁿ

V₁⊂ V₂ ⊂ · · · ⊂ V_n= kⁿ (dim Vi = i).

7 ♠ Na przestrzeni flag nad cia lem liczb zespolonych dzia la grupa unitarna U (n). Przedstawi´c te_, przestrze´n jako przestrze´n ilorazowa_,grupy U (n).

8 ♠ Obliczy´c z ilu punkt´ow sk lada sie_, przestrze´n pe lnych flag F l(n) nad cia lem q–elementowym.

Znale´z´c zwia_,zek ze wzorem na sume_,d lugo´sci permutacji nale˙za_,cych do grupy Σ_n.

9 ♠ Rozwa˙zamy dzia lanie grupy macierzy diagonalnych T ⊂ GLn(C) na GLn(C)/B. Znale´z´c punkty sta le tego dzia lania. Obliczy´c wagi dzia lania na przestrzeniach stycznych.

10 ♠ Rozwa˙zamy dzia lanie grupy macierzy diagonalnych postaci ρ(t) = diag(t, t², t³, . . . , tⁿ) na GLn(C)/B. Dla x ∈ BπB znali˙z´c limt→∞ρ(t)x.

11 ♠ Wykaza´c, ˙ze przestrzenie jednorodne postaci GL_n(k)/P dla P ⊃ B to cze_,´sciowe przestrzenie flag F l(d1, d2, . . . , dm; n), kt´orej elemantami sa_,cia_,gi podprzestrzeni liniowych kⁿ

V₁ ⊂ V₂ ⊂ · · · ⊂ V_m⊂ kⁿ (dim Vi = di).

12 ♠ Opisa´c wyszytkie podgrupy P ⊂ GL_n(C) zawieraja_,ce B.

13 Wprowad´zmy na przestrzeni C²ⁿ antysymetryczna_, niezdegenerowana_, forme_, dwuliniowa_, zadana_, przez macierz  0 I

−I 0



. Dla i ≤ n rozwa˙zmy podzbi´or grassmannianu Gri(k²ⁿ) sk ladaja_,cy sie_, z i–

wymiarowych przestrzeni izotropowych. Pokaza´c, ˙ze ten zbi´or jest przestrzenia_,jednorodna_, dla grupy Sp(n) := Spn(C) ∩ U (2n). Wskaza´c maksymalny torus w tej grupie. Znale´z´c punkty sta le dzia lania tego torusa.

14 Wprowad´zmy na przestrzeni C²ⁿ symetryczna_,niezdegenerowana_,forme_,dwuliniowa_,zadana_,przez macierz0 I

I 0



. Dla i ≤ n rozwa˙zmy podzbi´or grassmannianu Gri(k²ⁿ) sk ladaja_,cy sie_,z i–wymiarowych przestrzeni izotropowych. Pokaza´c, ˙ze ten zbi´or jest przestrzenia_, jednorodna_, dla grupy SO2n(C) ∩ U (2n) ' SO(2n). Wskaza´c maksymalny torus w tej grupie. Znale´z´c punkty sta le dzia lania tego torusa.

15 ♠ Niech A be_,dzie k-algebra_,. Udowodni´c, ˙ze dzia lanie torusa k^∗ na rozmaito´ci afinicznej X = Spec(A) jest r´ownowa˙zne zadaniu Z-gradacji w A.

16 ♠ Niech X = Pⁿ, G = U (k + 1) × U (n − k) zanurzone blokowo w U (n + 1). Roz lo˙zy´c X z naturalnym gdzia laniem G na ekwiwariantny CW-kompleks. (Najpierw rozpatrze´c przupadek k = 0.)

17 ♠ Obliczy´c pier´scie´n kohomologii H^∗(G(k, n)) korzystaja_,c z rozw l´oknienia G(k, n) → B(U (k) × U (n − k)) → BU (n).

18 ♠ Przyporza_,dkowanie G 7→ BG jest funktorem Grupy → hT op.

19 ♠ Niech¹ X_i = Gⁱ⁺¹, d^k : X_i → X_i−1 rzutowanie polegaja_,ce na opuszczaniu k-tej sk ladowej (k = 0, 1, . . . i). Realizacje_,geometryczna_,definiujemy jako

|X_•| =



 G

i≥0

X_i× ∆ⁱ



 .

∼

(d^k(a), b) ∼ (a, ∂_k(b)) dla a ∈ X_i, b ∈ ∆ⁱ⁻¹

gdzie ∂_k : ∆ⁱ⁻¹ ,→ ∆ⁱ jest w lo˙zeniem k-tej ´sciany w sympleksie. Wykaza´c, ˙ze przestrze´n E = |X•| jest ´scia_,galna, ˙ze G dzia la na niej wolno (dzia lanie diagonalne). Przedstawi´c E/G jako realizacje_, geometryczna_,cia_,gu przestrzeni Y•.

20 ♠ Sprze_,˙zenie na grupie indukuje identyczno´s´c na H^∗(BG) (dla grupy niekoniecznie sp´ojnej).

1Definiujemy tu pewien zbi´or presymplicjalny

21 ♠ Je´sli grupa ma torsje_,, to BG nie ma sko´nczeniewymiarowego modelu.

22 ♠ Dla grupy sko´nczonej H^∗(BG; R) = 0 je´sli |G| jest odwracalny w R.

Wsk: U˙zy´c transfer.

23 ♠ Znale´z´c przekszta lcenia klasyfikuja_,ce dla pote_,gi wia_,zki tautologicznej (γn)^⊗k → Pⁿ(dla k ∈ Z) przyjmuja_,c model BC^∗ = P^∞.

24 Dla grupy sko´nczonej H_G^∗(X; Q) ' H^∗(X/G; Q)

25 ♠ Niech 0 < d₁ < d₂ < · · · < d_m < n. Na przestrzeni cze_,´sciowych flag mamy wia_,zki ilorazowe:

nad punktem x = (V₁⊂ V₂ ⊂ . . . V_m) ∈ F l(d₁, d₂, . . . , d_m; n) (Q_i)_x := V_i/V_i−1.

(Przyjmujemy V₀ = {0}.) Wykaza´c, ˙ze klasy Cherna wia_,zek Q_i dla i = 1, 2, . . . m generuja_, pier´scie´n kohomologii H^∗(F l(d₁, d₂, . . . , d_m; n)).

26 ♠ Torus S¹ dzia la na P¹

t · [z₀ : z₁] = [z₀ : t^kz₁] .

Obliczy´c pier´scie´n ekwiwariantnych kohomologii H_S^∗1(P¹). Zbada´c odwzorowanie obcie_,cia H_S^∗1(P¹) → H_S^∗1({ [1 : 0] , [0 : 1] }) ' Z[t] ⊕ Z[t].

27 ♠ Zbada´c odwzorowanie obcie_,cia do punkt´ow sta lych H_T^∗(X) → H_T^∗(X^T) dla X = Pⁿze standar- dowym dzia laniem torusa. Wykaza´c, ˙ze jest monomorfizmem.

28 ♠ Obliczy´c pier´scie´n ekwiwariantnych kohomologii grassmannianu H_T^∗(G(k, n)).

29 ♠ Opisa´c pier´scie´n ekwiwariantnych kohomologii F l(d₁, d₂, . . . , d_m; n) ze wzgle_,du na dzia lanie torusa. (Por´ownaj zadanie 25.)

30 ♠ Torus T = (S¹)² dzia la P³ wzorem

(t0, t1) · [z0 : z1: z2 : z3] = [t0z0 : t1z1 : t⁻¹₁ z2: t⁻¹₀ z3] .

Niech X be_,dzie kwadryka_, zadana_, r´ownaniem z₀z₃ = z₁z₂. Obliczy´c pier´scie´n ekwiwariantnych koho- mologii H_T^∗(X).

31 Udowodni´c, ˙ze je´sli H_T^∗(X, ; Q) jest wolny nad H_T^∗(pt; Q), to H_T^∗(X, ; Q) → H^∗(X, ; Q) jest epi- morfizmem.

32 ♠ Spr´obowa´c powt´orzy’c dow´od twierdzenia o lokalizacji K ⊗_ΛH_G^∗(X; Q)→ K ⊗^' _ΛH_G^∗(X^G; Q) dla grupy nieprzemiennej, np G = U (n). Czy twierdzenie mo˙znaby udowodni´c przy dodatkowych za lo˙zeniach, (np za lo˙zy´c co´s o stabilizatorach).

33 ♠ Udowodni´c, ˙ze teza Twierdzenia o lokalizacji zachodzi dla kohomologii o wsp´o lczynnikach ca lkowitych, je´sli stabilizatory punkt´ow sa_,sp´ojne.

34 ♠ Je´sli X jest ekwiwariantnie formalna, sko´nczonego wymiaru, zwarta, to H^∗(X) ' H^∗(X^T) z zachowaniem gradacji modulo 2.

35 ♠ Mno˙zenie przez klase_,z H1(T ) zadaje operacje_, H∗(X) → H∗+1(X) (lub H^∗(X) → H^∗−1(X)) Je´sli X jest ekwiwariantnie formalna, to ta operacia jest zerowa. Poda´c przyk lad, gdy ta operacja jest zerowa, ale przestrze´n nie jest ekwiwariantnie formalna.

36 ♠ Niech X = Pⁿze standardowym dzia laniem (n + 1)-wymiarowego torusa T . Pokaza´c, ˙ze obraz

H_T^∗(X) ,→ H_T^∗(X^T) '

n

M

k=0

Λ = Λⁿ⁺¹

sk lada sie_,z takich cia_,g´ow (x0, x1, . . . , xn) ∈ Z[x0, x1, . . . , xn]ⁿ⁺¹, ˙ze ti− t_j dzieli xi− x_j.

37 Udowodni´c, ˙ze obraz prosty w kohomologiach zdefiniowany za pomoca_, dualno´sci Poincar´e jest r´owny obrazowi prostemu zdefiniowanemu za pomoca_,klasy Thoma.

38 ♠ Niech X = S²ⁿ⁻¹ ⊂ Cⁿ z dzia laniem T = S¹ przez mno˙zenie zespolone. Obliczy´c H_T^∗(X) jako H^∗

T(pt) modu l.

39 ♠ Niech X = S² z dzia laniem S¹ przez obroty Uto˙zsami´c H^∗

T(X;_R) z cia_,g lymi funkcjami na _R, kt´ore sa_,wielomianami na_R+ i_R−. ‘

40 ♠ Niech X = P² z dzia laniem T = (S¹)²

(s, t)[x₀; x₁; x₂] = [x₀; sx₁; tx₂].

Uto˙zsami´c H_T^∗(X;R) z cia_,g lymi funkcjami na R², kt´ore sa_, wielomianami na sto˙zkach rozpie_,tych przez naste_,puja_,ce pary wektor´ow

{(1, 0), (0, 1)}, {(1, 0), (−1, −1)}, {(−1, −1), (0, 1)}.

41 ♠ Za l´o˙zmy, ˙ze mamy kwadrat kartezjan´nski f₁ X₁ −→ Y₁

gX ↓ ↓ gY

X₂ −→ Y₂ f₂

Je´sli gX, gY, f2 (wie_,c i f1) sa_,w lo˙zeniami, oraz X2 jest transwersalne do Y1, wtedy mamy przemienny diagram

(f₁)∗

H^k(X1) −→ H^k(Y1)

g^∗_X ↑ ↑ g_Y^∗

H^k(X₂) −→ H^k(Y₂) (f2)∗

.

42 Teza powy˙zsza jest prawdziwa, gdy odwzorowanie f2 jest rozw l´oknieniem.

43 Zdefiniowa´c obraz prosty przy za lo˙zeniu, ˙ze f jest przekszta lceniem w la´sciwym zorientowanych rozmaito´sci.

44 ♠ Niech X be_,dzie kwadryka_,w P(C²ⁿ) zadana_,r´ownaniem x0x2n+x1x2n+. . . xn−1xnwe wsp´o lrze_,dnych jednorodnych x0, x1, . . . , x2n. Wskaza´c torus (jak najwie_,kszy),kt´ory zachowuje X. Znale´z´c punkty sta le i wagi dzia lania torusa na przestrzeniach stycznych.

45 ♠ Niech X be_,dzie kwadryka_,w P(C²ⁿ⁻¹) zadana_,r´ownaniem x₁x_2n+x₂x_2n+. . . x_nx_nwe wsp´o lrze_,dnych jednorodnych x₁, x₂, . . . , x_2n. Wskaza´c torus (jak najwie_,kszy),kt´ory zachowuje X. Znale´z´c punkty sta le i wagi dzia lania torusa na przestrzeniach stycznych.

46 ♠ Obliczy´c klase_,kohomologii (stopie´n) grassmanianu G(k, n) zanurzonego w P(Λ^kCⁿ) (zanurzenie Pl¨uckera). Na pocza_,tek upewni´c sie_,, ˙ze dla G(2, 4) wychodzi 2.

Wskaz´owka: Hook formula dla prostoktnego diagramu Younga, np [Fulton: Young Tableaux]

Za pomoca_,twierdzenia o lokalizacji mo˙zna policzy´c stopie´n =R

G(k,n)c1(O(1))^k(n−k). Oto polecenie w Wolfram Mathematice:

Sum[

(-Sum[t[a], {a, J}])^∧(k (n - k))/

Product[t[b] - t[a], {a, J}, {b, Complement[Range[n], J]}], {J, Subsets[Range[n], {k}]}]

Factor[%]

47 Niech n-wymiarowa_, E be_,dzie wia_,zka_, zespolona_, wektorowa_, nad zorientowana_, rozmaito´scia_, X.

Za l´o˙zmy, ˙ze grupa G dzia la na X i na E niech s : X → E be_,dzie niezmenniczym przekrojem, Z = {x ∈ X | s(x) = 0}. Za l´o˙zmy, ˙ze s jest transwersany do przekroju zerowego. Wykaza´c, ˙ze klasa Poincar´e dualna do [Z] jest r´owna cn(E) ∈ H_G²ⁿ(X).

48 ♠ Niech X = Cⁿ z dzia laniem T o wagach w1, w₂, . . . , w_n ∈ Hom(T, S¹) = H²

T(pt). Obliczy´c klase_,Poincar´e dualna_,do [0] w H²

T(Cⁿ) = H²

T(pt).

49 ♠ Obliczy´c H_SL^∗

n(C)(pt).

50 ♠ Niech V = Cⁿ⁺¹ z baza_, ε₀, ε₁, . . . , ε_n Niech Vⁱ = linε_i, ε_i+1, . . . , ε_n ⊂ V , codim(Vⁱ) = i.

Oznaczmy przez xi be_,dzie klasa_, Poincar´e dualna_, do [P (Vⁱ)] ∈ H^∗

T(Pⁿ) (ze wzgle_,du na standardowe dzia lanie torusa). Uto˙zsamiaja_,c H^∗

T(Pⁿ) z Z[t0, t1, . . .n, ζ]/(Q(ζ + t_i) ) znale˙z´c wzory na xi. 51 ♥ (Cia_,g dalszy poprzedniego zadania) Zdefiniujmy forme_,przecie_,´c w H_T^∗(Pⁿ)

(x, y) = Z

Pⁿ

x ∪ y ∈ Λ.

Poda´c wz´or na (x_i, x_j).

Przyk lady:

n = 2, obcie_,cia klas P^k do punkt´ow sta lych p_i:

p0 p1 p2

P² 1 1 1

P¹ 0 t₀− t₁ t₀− t₂ P⁰ 0 0 (t₀− t₂) (t₁− t₂) Forma przecie_,´c:

P² P¹ P⁰

P² 0 0 1

P¹ 0 1 t₀− t₂

P⁰ 1 t₀− t₂ (t₂− t₀) (t₂− t₁) n = 3, obcie_,cia klas P^k do punkt´ow sta lych p_i:

p0 p1 p2 p3

P³ 1 1 1 1

P² 0 t₀− t₁ t₀− t₂ t₀− t₃ P¹ 0 0 (t₀− t₂) (t₁− t₂) (t₀− t₃) (t₁− t₃) P⁰ 0 0 0 (t0− t₃) (t1− t₃) (t2− t₃) Forma przecie_,´c:

P³ P² P¹ P⁰

P³ 0 0 0 1

P² 0 0 1 t₀− t₃

P¹ 0 1 t0+ t1− t₂− t₃ (t0− t₃) (t1− t₃) P⁰ 1 t₀− t₃ (t₀− t₃) (t₁− t₃) (t₀− t₃) (t₁− t₃) (t₂− t₃) Forma przecie_,´c dla n = 4:

P⁴ P³ P² P¹ P⁰

P⁴ 0 0 0 0 1

P³ 0 0 0 1 t₀− t₄

P² 0 0 1 t₀+ t₁− t₃− t₄ (t₀− t₄) (t₁− t₄)

P¹ 0 1 t₀+ t₁− t₃− t₄ t²₃− t₀t₃− t₁t₃− t₂t₃+ t₄t₃+ t²₄+ t₀t₁+ t₀t₂+ t₁t₂− t₀t₄− t₁t₄− t₂t₄ (t₀− t₄) (t₁− t₄) (t₂− t₄) P⁰ 1 t0− t₄ (t0− t₄) (t1− t₄) (t0− t₄) (t1− t₄) (t2− t₄) (t0− t₄) (t1− t₄) (t2− t₄) (t3− t₄)

Jaki jest wz´or og´olny?

52 Niech X be_,dzie grassmanianem Gr₂(C⁴) = G(2, 4) z dzia laniem standardowego torusa. Znale´z´c wzory na ekwiwariantne klasy rozmaito´sci Schuberta w H^∗

T(X) i znale˙z´c ich forme_,przecie_,´c.

53 ² Niech G be_,dzie sp´ojna_,, zwarta_,grupa_,Lie, g = T₁G. Wykaza´c, ˙ze H^∗(G;R) ' (Λg^∗)^G

(G dzia la na g prze ad, czyli przez pochodna_,sprze_,gania).

Wskaz´owka: pokaza´c, ˙ze r´o˙zniczka de Rhama na podkompleksie form dwustronnie niezmienniczych w Ω^∗(G) jest zerowa.

54 Niech N T be,dzie normalizatorem torusa maksymalnego w sp´onej grupie Lie G. Wykazaa_,, ˙ze H^∗(BG;_R) ' Sym(g^∗)^G' Sym(t^∗)^W,

gdzie t = T₁T, W = N T/T.

2Dwa naste_,pne zadanie nie sa_,´sci´sle zwia_,zane z wyk ladem, ale nale˙za_,do tzw wiedzy obowia_,zkowej.

55 Niech λ₁≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_n≥ 0. Udowodni´c, ˙ze

S_λ = det









hλ1 hλ1+1 . . . hλ1+n−1

h_λ2−1 h_λ2 . . . h_λ2+n−2 . . .

hλn−n−1 hλn−n−2 . . . hλn









Ponadto, je´sli λ_k+1= 0 to do obliczenia S_λ mo˙zna u˙zy´c wyznacnika k × k. Np S_i00...0 = h_i. 56 Niech µ be_,dzie podzia lem powsta lym z λ poprzez zamianie_,kolumn i wierszy. Udowodni´c, ˙ze

Sµ= det









e_λ1 e_λ1+1 . . . e_λ1+n−1 eλ2−1 eλ2 . . . eλ2+n−2

. . .

e_λn−n−1 e_λn−n−2 . . . e_λn









Ponadto, je´sli λ_k+1 = 0 to do obliczenia S_µ mo˙zna u˙zy´c wyznacnika k × k. Np µ = 11 . . . 1

| {z }

i

00 . . . 0 mamy Sµ= ei.

57 Pokaza´c, ˙ze je´sli X mo˙zna zanurzy´c ekwiwariantnie w P(V ) z dzia laniem liniowym T na V , to graf GKM nie ma pe_,tli.

Uwaga 1. Je´sli X jest normalna rzutowa rozmaito´s´c algebraiczna, to mo˙zna zanurzy´c [Tw Sumihiro].

Uwaga 2. Ka˙zde dzia lanie T na P(V ) pochodzi od dzia lania liniowego.

58 ♠ Niech T = C^∗ dzia la na X ⊂ P(V ) poprzez automorfizmy liniowe. Dla p, q ∈ X^T piszemy p → q je´sli istnieje y ∈ X taki, ˙ze limz→0z · y = p i limz→∞z · y = q. Wykaza´c, ˙ze nie ma zamknie_,tego cia_,gu orbit p0 → p₁ → · · · → p_n= p0.

59 ♠ Niech X be_,dzie rozmaito´s´cia_, algebraiczna_, rzutowa_, z dzia laniem C^∗, C ⊂ X krzywa z samo- przecie_,ciem, kt´ora jest T -niezmiennicza. Pokaza´c, ˙ze C musi by´c zawarta w X^T.

60 ♠ Dane 4 proste w P³ w po lo˙zeniu og´olnym. Ile jest prostych przecinaja_,cych wszystkie te 4 proste?

61 ♥ Niech Ω1 = {V ∈ Gr2(C⁴) | V ∩ C² 6= 0}. W zanurzeniu Pl¨uckera Ω1 jest zadane r´ownaniem m34= 0. Graf GKM dla Gr2(C⁴) wraz z wyr´o˙znionym pdgrafem odpowiadaja_,cym Ω1 wygla_,da tak:

Niech c = [Ω1] ∈ H²

T(Gr2(C⁴). Wiemy, ˙ze dla punkt´ow sta lych pij ∈ {p₁₃, p14, p23, p24} obcie_,cie klasy c jest r´owne c_|pij = (t3+ t4) − (ti+ tj), bo te punkty sa_,ga_,dkie i znana jest wia_,zka normalna. Wiemy te˙z, ˙ze c|p₃₄ = 0, bo p346∈ Ω₁. Obliczy´c c|p₁₂ z tw o lokalizacji.

Wsk. R

Gr2(C⁴)c =?.

62 ♥ Przy oznaczeniach z powy˙zszego zadania obliczy´c R

Gr2(C⁴)c⁴.

63 ♥ Torus T dzia la na Cⁿ. Niech f be_,dzie wielomianem od n zmiennych takim, ˙ze dla t ∈ T mamy f (t · z) = w(t)f (z) dla pewnego w ∈ Hom(T, C^∗). Niech Z be_,dzie zbiorem zer wielomianu f . Wykazaa_,,

˙ze [Z] = w ∈ H²

T(Cⁿ) ' H²

T(pt) ' Hom(T, C^∗).

64 ♥ Pokaza´c, ˙ze dla wia_,zek liniowych definicja formy i klasy Cherna z wyk ladu jest zgodna z definicja_,Milnora-Stasheffa (Characteristic classes, definicja r´o˙zniczkowa w Appendixie C).

65 ♥ Udowodni´c, ˙ze definicja warunku (C) tzn lokalnej wolno´sci G^∗ modu lu nie zale˙zy od wyboru bazy g.

66 ♠ ´Cw. Ka˙zda lokalnie wolna T^∗-algebra ma strukture_,W (t)-algebry.

67 Niech (M, ω) be_,dzie rozmaito´scia_, symplektyczna_,. Potok pola v zachowuje forme_, symplektyczna_, ω wtedy i tylko wtedy gdy dι_vω = 0.

68 Zwia_,zek odwzorowania momentu z ekwiwariantnymi kohomologiami. Niech T dzia la hamiltonowsko na rozmaito´sci symplektycznej z funkcja_,momentu µ. Wtedy ω^#:= ω + µ jest zamknie_,ta_, forma_,w ek- wiwariantnym kompleksie de Rhama (model Cartana).

69 Twierdzenie Duistermaata-Heckmana Za l´o˙zmy, ˙ze S¹ dzia la hamiltonowsko z funkcja_,Hamiltona f . Za l´o˙zmy, ˙ze f ma izolowane punkty krytyczne (r´ownowa˙znie M^S1 jest sko´nczony). Wtedy dla ka˙zdego ~ ∈ C

Z

M

e^~fωⁿ

n! = X

p∈M^S1

e^{~f (p)}

~ⁿe(p) gdzie e(p) ∈ Z jest iloczynem wag reprezentacji stycznej TpM .

70 Zobaczy´c jak wygla_,da GKM-graf w wielo´scianie momentu dla M = Sp_n(C)/B, tzn dla przestrzeni flag grupy symplektycznej Sp_n(C) ⊂ GL2n(C) dla n = 2, 3.

(Inna definicja przestrzeni flag:

M = {(V₁, V₂, . . . , V_n) ∈

n

Y

k=1

G(k, 2n) | V_i ⊂ V_i+1, V_n= V_n^⊥} tzn takie flagi, ˙ze V_n jest lagran˙zowska.)

23 stycze´n 2018