Procesy stochastyczne
9. Proces Poissona
Ćw. 9.1 (P., Ex. 3.1 p. 33) Klienci pojawiają się w banku zgodnie z rozkładem Poissona z czę- stotliwością 2 na minutę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba klientów, którzy pojawią się w ciągu 2 minut jest
1. dokładnie równa 3, 2. równa 3 lub mniejsza, 3. równa 3 lub większa?
Ćw. 9.2 (P., Ex. 3.4 p. 33) Pewne części maszyny, istotne dla jej działania, psują się zgodnie z rozkładem Poissona z częstotliwością 1 na 5 tygodni. W magazynie zostały tylko 2 części zapasowe, a następna dostawa będzie za 9 tygodni. jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych 9 tygodni z powodu braku części zapasowych produkcja stanie na co najmniej tydzień?
Ćw. 9.3 (S., Ex. 8.17(4) p. 383) Twój telefon dzwoni zgodnie z rozkładem Poissona z parame- trem λ. Każdego dnia w momencie X bierzesz prysznic długości Y , gdzie X i Y są zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie określonym w godzinach (niekoniecznie niezależnymi). Po- każ, że liczba sytuacji, w których telefon dzwoni, gdy jesteś pod prysznicem, ma rozkład Poissona z parametrem λEY (zakładamy, że 0 ¬ X ¬ X + Y ¬ 24).
Ćw. 9.4 (L., Ex. 3.1 p. 69) Przypuśćmy, że liczba rozmów łączonych w ciągu godziny w pewnym centrum telefonicznej obsługi klienta jest opisywana przez proces Poissona z intensywnością λ = 4.
1. Osoba odbierająca telefony chce odebrać jeszcze 15 rozmów zanim pójdzie na lunch.
Jaka jest oczekiwana długość czasu, który spędzi w pracy zanim wyjdzie na lunch?
2. Przypuśćmy, że dokładnie 8 rozmów połączono w czasie pierwszych 2 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z nich odbyło się w czasie pierwszej godziny?
Ćw. 9.5 (P. P., Zad. 6 str. 356 i Zad. 10 str. 356) Niech (Nt, t 0) będzie procesem Poissona.
Czy zmienne losowe Nt1 i Nt2, t1 6= t2, są niezależne? Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do chwili t trajektoria procesu Poissona jest funkcją ciągłą. Znajdź granicę tego prawdopo- dobieństwa przy t → ∞.
Ćw. 9.6 (P. P., Zad. 7 str. 373) Niech N = (Nt, t 0) będzie procesem Poissona. Znajdź wartość średnią i kowariancję procesu Y = (Yt, t 0), gdzie Yt= tNt. Zbadaj, czy Y jest
1. procesem o przyrostach niezależnych, 2. procesem Markowa.
Ćw. 9.7 (S., Ex. 17a p. 368 i Ex. 8.22(2)a p. 389) Wykaż, że jeśli N = (Nt, t 0) jest procesem Poissona z parametrem λ, to Ut= Nt−λt z filtracją Ft= σ(Ns, 0 ¬ s ¬ t) jest martyngałem.
Niech T = min{t; Nt = a}, gdzie a ∈ N. Korzystając z twierdzenia Dooba, wykaż, że ET = aλ.
Ćw. 9.8 (S., Ex. 8.17 p. 382) (Paradoks inspekcji) Niech Ntbędzie procesem Poissona zliczającym wystąpienia pewnego zdarzenia w czasie. Dla każdego t > 0 definiujemy Ct — czas jaki upłynął od ostatniego zdarzenia, Bt — czas jaki pozostał do następnego zdarzenia. Pokaż, że Bt i Ct są niezależne i znajdź rozkład Ct. Ile wynosi E(Bt+ Ct)?
