Procesy stochastyczne
7. Rozkłady stacjonarne
Ćw. 7.1 (J. S., str. 287) (Model Ehrenfestów) k cząsteczek rozmieszczono losowo w dwóch na- czyniach (I i II). W chwili n losowo wybraną cząsteczkę przenosi się z naczynia, w którym była, do drugiego. Jeśli w pewnej chwili w naczyniu I jest m > 0 cząsteczek (układ jest w stanie m), to w chwili następnej układ znajdzie się w stanie m − 1 lub m + 1, zależnie od tego czy cząsteczka przeszła z naczynia I do II, czy odwrotnie. Znajdź rozkład stacjonarny.
Z jaką częstością naczynie I jest puste?
Ćw. 7.2 (J. S., Zad. 1 str. 297) W pudełku A jest 6 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 6, w pudełku B – ani jednej. Wykonano 100 000 rzutów kostką i po każdym rzucie przekładano kulę z wylosowanym numerem do drugiego pudełka. Jaka jest (mniej więcej) szansa, że pudełko B jest puste?
Ćw. 7.3 (F., Zad. 6 str. 348) Pierwszy wiersz macierzy P ma postać {p1, p2, ...}. W pozostałych wierszach pj,j−1 = 1, a pozostałe wyrazy są zerami. Przedyskutuj charakter tego łańcucha i znajdź rozkład stacjonarny, jeżeli taki istnieje.
Ćw. 7.4 (F., Zad. 9 str. 348) (Dwa ekrany odbijające) Łańcuch o stanach 1, 2, ..., a ma macierz, której pierwszym i ostatnim wierszem są odpowiednio (q, p, 0, ..., 0) oraz (0, ..., 0, q, p). We wszystkich pozostałych wierszach pk,k+1 = p, pk,k−1 = q. Znajdź rozkład stacjonarny. Czy ten łańcuch może być okresowy?
Ćw. 7.5 (B., Przykład 5. str. 169) Przypuśćmy, że dwaj szachiści A i B zachowują się w tur- nieju w następujący sposób: szachista A, niezależnie od wyników poprzednich partii, każdą partię wygrywa z prawdopodobieństwem p, przegrywa z prawdopodobieństwem q i remisuje z prawdopodobieństwem r = 1 − p − q. Szachista B jest mniej zrównoważony: wygrywa partię z prawdopodobieństwem p + ε, p i p − ε odpowiednio, jeżeli poprzednią partię wygrał, zremisował, przegrał. Analogicznie zachowuje się prawdopodobieństwo przegranej: jest ono, w tych trzech przypadkach odpowiednio równe q − ε, q, q + ε. Który z graczy A i B zbierze więcej punktów w długotrwałym turnieju? Znajdź średnią częstość przegranej gracza B.
