Wstęp do statystycznej analizy danych
3. Prawdopodobieństwo — zadania do pracy samodzielnej
Zad. 3.1 Wiadomo, że P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 8, P (A ∩ B) = 0, 3. Obliczyć P (A ∪ B), P (A \ B), P (A ∪ B0), P (A|B), P (A0|B).
Zad. 3.2 Wiemy, że P (A ∩ B) = 14, P (A0) = 13 oraz P (B) = 12. Oblicz P (A ∪ B) i P (A0∩ B0).
Zad. 3.3 Niech P (A) = P (B) = 34. Jaką minimalną wartość może przyjmować P (A ∩ B)?
Zad. 3.4 Analiza sposobów wypełniania kuponów totolotka (7 × 7 pól) wykazuje, że wielu ludzi podświadomie uważa, że liczby „środkowe” wypadają częściej. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że wszystkie 6 wylosowanych liczb mieście się w trzech środkowych rzędach lub trzech środkowych kolumnach?
Zad. 3.5 Rozmowa z nowo poznaną dziewczyną schodzi na temat filmów prezentowanych podczas ostatnich konfrontacji filmowych. „Cztery były wprost fantastyczne”– mówi dziewczyna. Nie mając żadnego pojęcia o tych konfrontacjach, rzeczowo kontynuujesz rozmowę: „Tak, trzy pierwsze i ostatni”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odgadłeś co najmniej dwa filmy przy założeniu, że w ramach konfrontacji grano 10? A jakie jest prawdopodobieństwo, że miałeś pecha i odgadłeś co najwyżej jeden?
Zad. 3.6 W szafie jest 10 par butów. Wyciągamy losowo 6 butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich nie ma żadnej pary?
Zad. 3.7 W sali zebrało się przypadkowo n osób. Jakie powinno być n, aby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia było większe od 0,5?
Zad. 3.8 Wielu ludzi uważa, że ocena zależy głównie od szszęścia. Kiedy X został dyrektorem szkoły potraktował ten pogląd na serio i wprowadził następujący system. Pod koniec seme- stru osobiście przeglądał wszystkie oceny cząstkowe i przy każdej ocenie rzucał monetą – jeśli wypadł orzeł ocenę zostawiał, jeżeli reszka – skreślał. Oceną końcową była średnia, przy liczeniu której ocen skreślonych nie uwzględniał. System ten zmuszał nauczycieli do stawia- nia dużej liczby ocen, a uczniów do systematycznej pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że uczeń z ocenami
1. 5, 5, 5, 5 nie będzie klasyfikowany z powodu braku ocen?
2. 5, 5, 5, 2 otrzyma ocenę niedostateczną lub nie będzie klasyfikowany?
3. 5, 5, 5, 2 otrzyma ocenę co najmniej dobrą?
Zad. 3.9 Z sześciu kartek, na każdej z których jest zapisana jedna litera tworzymy słowo „karate”.
Kartki mieszamy, a potem układamy losowo jedna bok drugiej. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że po odczytaniu liter zapisanych na kolejnych kartkach otrzymamy słowo „kareta”?
Zad. 3.10 W grupie składającej się z 2n osób liczba kobiet i mężczyzn jest jednakowa. Osoby z tej grupy siadają losowo wokół okrągłego stołu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne dwie osoby tej samej płci nie będą siedziały obok siebie.
Zad. 3.11 W fizyce statystycznej rozważa się rozkład (rozmieszczenie) k cząstek w n elementar- nych obszarach zwanych „komórkami”. W zależności od postaci tych cząstek przyjmuje się jedno z trzech następujących założeń:
1. cząstki różnią się między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje nowy rozkład) i liczba cząstek w danej komórce jest dowolna (statystyka Maxwella – Boltzmanna),
2. cząstki są nierozróżnialne między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje ten sam rozkład – istotne jest tylko ile cząstek trafiło do poszczególnych komórek, a nie to jakie to są cząstki) i liczba cząstek w jednej komórce jest dowolna (statystyka Bosego – Einsteina),
3. cząstki nie różnią się między sobą i w każdej komórce może się znaleźć co najwyżej jedna cząstka (statystyka Fermiego – Diraca).
Zakładamy ponadto, ze wszystkie dopuszczalne rozmieszczenia są jednakowo prawdopodob- ne. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że
1. k cząstek rozmieści się po jednej w k ustalonych komórkach dla każdej z rozważanych statystyk,
2. w przypadku statystyki Bosego – Einsteina znajdzie się dokładnie m cząstek i) w ustalonej komórce,
ii) w jednej z n komórek,
3. w przypadku statystyki Bosego – Einsteina wszystkie komórki będą zajęte,
4. w przypadku statystyki Maxwella – Boltzmanna w pierwszej komórce znajdzie się do- kładnie k1 cząstek, w drugiej k2 cząstek, . . ., w n tej kn cząstek.
Zad. 3.12 Dziecko wkłada losowo 10 cukierków do 10 torebek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do pewnej torebki włoży 3 cukierki i dokładnie 2 torebki pozostaną puste.
Zad. 3.13 Zbiór 1, 2, . . . , 4N podzielono w sposób losowy na dwie równoliczne grupy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
1. w każdej grupie znajdzie się ta sama liczba liczb parzystych i nieparzystych;
2. wszystkie liczby podzielne przez N znajdą się w jednej grupie;
3. liczby podzielne przez N zostały przydzielone w równych ilościach do obu grup.
Zad. 3.14 W tabeli podano dane dotyczące reakcji pewnej grupy dzieci na przeprowadzony na niej test:
wiek liczebność dziewczynki dziewczynki reakcja + chłopcy reakcja +
[6, 8) 40 15 8 20
[8, 10) 30 20 16 6
[10, 12) 60 25 15 8
[12, 14) 40 20 10 10
[14, 16) 50 25 15 20
Losujemy jedną osobę z grupy. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba:
1. jest chłopcem co najmniej 10-letnim, 2. ma wynik ujemny,
3. ma wynik dodatni, jeśli wiadomo, że ma poniżej 12 lat, 4. jest chłopcem, jeśli wiadomo, że wynik jest ujemny.
5. Czy cechy „bycie chłopcem” i „wynik testu jest ujemny” są niezależne?
Zad. 3.15 W tabeli podano dane dotyczące wyników testu z matematyki przeprowadzonego w klasach pierwszych szkoły A i szkoły B. Informacje dotyczą czasu potrzebnego do roz- wiązania całego (w minutach) testu oraz liczebności testów rozwiązanych bezbłędnie.
czas liczba testów w A bezbłędne w A liczba testów w B bezbłędne w B
[10, 15) 10 6 10 7
[15, 20) 16 10 20 16
[20, 25) 20 12 30 22
[25, 30) 24 15 8 4
[30, 35) 15 9 7 5
Z wszystkich testów losujemy jeden. Znaleźć prawdopodobieństwo, że:
1. został rozwiązany w czasie krótszym niż 25 minut, 2. zawiera błędy,
3. zawiera błędy i został napisany przez dziecko ze szkoły A,
4. zawiera błąd, jeżeli wiadomo, że został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, 5. został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, jeżeli wiadomo, że zawiera błąd.
6. Czy cechy „test zawiera błąd” i „czas krótszy niż 20 minut” są niezależne?
Zad. 3.16 Prawdopodobieństwo, że dany strzelec trafi w pierwszą tarczę jest równe 23. Jeśli trafi on w tarczę przy pierwszym strzale, to uzyskuje prawo oddania drugiego strzału – tym razem do drugiej tarczy. Prawdopodobieństwo, że trafi on w obie tarcze przy dwóch strzałach, jest równe 12. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w drugą tarczę, jeśli strzelec otrzymał prawo do oddania drugiego strzału.
Zad. 3.17 Z talii zawierającej 36 kart losujemy jedną kartę. Rozpatrujemy zdarzenia:
A1 ={wylosowana karta jest pikiem} i A2 ={wylosowana karta jest damą}. Czy zdarzenia te są niezależne? Jaka będzie odpowiedź, gdy talia zawiera 52 karty?
Zad. 3.18 Na n kartonikach jest zapisanych n różnych liczb rzeczywistych. Kartoniki włożono do pudełka, dobrze wymieszano, po czym losowano kolejno bez zwracania. Niech Ak ={k-ta wylosowana liczba jest większa od poprzednich}.
1. Pokazać, że P (Ak) = 1k, k = 1, 2, . . . , n.
2. * Wykazać, że zdarzenia A1, . . . , An są niezależne.
Zad. 3.19 Partia zawiera N wyrobów, z których n podlega sprawdzeniu. Zostaje ona przyjęta, jeśli wśród tych n wyrobów kontrola wykryje mniej niż m wybrakowanych. Obliczyć praw- dopodobieństwo przyjęcia partii, jeśli zawiera ona M wyrobów wybrakowanych.
Zad. 3.20 Gracz A otrzymuje informację wyrażającą się poprzez „tak” lub „nie”, i oznajmia ją graczowi B. W podobny sposób B przekazuje informację C, a następnie C przekazuje ją D, który ujawnia otrzymaną informację. Każdy z czterech graczy mówi prawdę w jednym przypadku na trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A powiedział prawdę, jeśli wiadomo, że D ujawnił prawdziwy wynik?
Zad. 3.21 W pierwszej z trzech urn znajdują się 2 białe i 4 czarne kule, w drugiej 3 białe i 5 czarnych, a w trzeciej 4 białe i 6 czarnych. Dwie wylosowane kule z pierwszej urny przełożono do drugiej urny, następnie dwie kule z drugiej urny przełożono do trzeciej urny i w końcu dwie kule z trzeciej urny przełożono do pierwszej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
1. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn nie ulegnie zmianie;
2. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn ulegnie zmianie.
Zad. 3.22 Rozporządzamy trzynastoma urnami: Y1, . . . Y13, przy czym Yi zawiera i białych oraz 13 − i czarnych kul, i = 1, . . . , 13. Wybieramy jedną z tych urn, przy czym prawdopodo- bieństwo wybrania każdej z nich jest proporcjonalne do liczby znajdujących się w niej kul białych. Z wybranej urny losujemy dwie kule, które okazują się różnych kolorów. Do której z urn należą z największym prawdopodobieństwem te dwie kule?
Zad. 3.23 Podczas gry w brydża talią 52 kart jeden z czterech graczy nie dostał ani jednego asa w kolejnych trzech rozdaniach. Czy ma on podstawę do uskarżania się, że mu nie idzie karta?
Zad. 3.24 Co jest bardziej prawdopodobne przy grze z przeciwnikiem równej klasy z wyklucze- niem remisów:
1. wygranie trzech z czterech partii, czy wygranie pięciu partii z ośmiu,
2. wygranie nie mniej niż trzech z czterech partii, czy wygranie nie mniej niż pięciu z ośmiu partii?
Zad. 3.25 Najbardziej prawdopodobną liczbą detali dobrej jakości w partii złożonej z 90 detali jest 82. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany detal z tej partii będzie dobrej jakości?
Zad. 3.26 Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie wykonywania 500 niezależny prób Ber- noulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie 0,004 zaobserwuje się nie więcej niż trzy sukcesy?
