Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

5.1 Niezależność zmiennych losowych i sploty

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Niezależność zmiennych losowych Sploty

Przypomnienie

Niezależność

Zdarzenia A₁ i A₂ są niezależnie wtedy i tylko wtedy P (A1∩ A₂) = P (A1) P (A2) Zmienne i zdarzenia

Dla wektora losowego (X1, X2) orazustalonych zbiorów borelowskich B1, B2 ⊆ R zbiory:

{X₁ ∈ B₁} = X₁⁻¹(B1), {X₂ ∈ B₂} = X₂⁻¹(B2) są zdarzeniami w (Ω, F , P).

P (X1∈ B₁, X₂ ∈ B₂) = P ({X1 ∈ B₁} ∩ {X₂ ∈ B₂})

= P (X1 ∈ B₁) · P (X2∈ B₂)

Przypomnienie

Niezależność

Zdarzenia A₁ i A₂ są niezależnie wtedy i tylko wtedy P (A1∩ A₂) = P (A1) P (A2) Zmienne i zdarzenia

Dla wektora losowego (X1, X2) orazustalonych zbiorów borelowskich B1, B2 ⊆ R zbiory:

{X₁ ∈ B₁} = X₁⁻¹(B1), {X₂ ∈ B₂} = X₂⁻¹(B2) są zdarzeniami w (Ω, F , P).Te zdarzenia są niezależne, gdy

P (X1∈ B₁, X₂ ∈ B₂) = P ({X1 ∈ B₁} ∩ {X₂ ∈ B₂})

= P (X1 ∈ B₁) · P (X2∈ B₂)

Niezależność zmiennych losowych

Definicja

Mówimy, że zmienne losowe X₁, . . . , X_n (określone na (Ω, F , P)) sąniezależne, jeśli

dla dowolnychborelowskich zbiorów B₁, . . . , B_n⊆ R zdarzenia losowe:

X1 ∈ B₁, X2 ∈ B₂, . . . , Xn∈ B_n są niezależne,

innymi słowy, dla dowolnych borelowskich zbiorów B₁, . . . , B_n ⊆ R P(X1 ∈ B₁, . . . , Xn ∈ B_n) = P(X1∈ B₁) · · · P(Xn∈ B_n)

Wszystko w przestrzeni (Ω, F , P)

Przypomnienie: σ–ciało generowane przez X

to najmniejsze σ–ciało podzbiorów Ω, względem których X jest mierzalna. σ(X ) = {X⁻¹(B) : B ∈ B(R)}

Szczypta teorii miary itp.

(Def.) σ–ciała F₁, F₂, . . . , F_n (F_i ⊆ F ) są niezależne gdy dla dowolnych zdarzeń Ai ∈ F_i, i = 1, 2, . . . , n

P (A1∩ A₂∩ . . . ∩ A_n) = P (A1) · P (A2) · . . . · P (An) .

Szczypta teorii miary itp.

Zmienne losowe X₁, . . . , X_n są niezależne, wtw σ(X1), . . . , σ(Xn) są niezależne.

Nie jest konieczne rozpatrywanie wszystkich zbiorów borelowskich, lecz tylko zbiory typu (−∞, s], (−∞, t](Dlaczego?)

(Przypomnienie:

F_X(s) = P (X ∈ (−∞, s]) , FY(t) = P (Y ∈ (−∞, t]) F_{(X ,Y )}(s, t) = P (X ∈ (−∞, s], Y ∈ (−∞, t]))

Twierdzenie

Zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy F_{(X ,Y )}(s, t) = F_X(s)F_Y(t)

zachodzi dla dowolnych s, t;

w powyższej równości FX(s) = P(X ¬ s) oraz FY(t) = P(Y ¬ t) to dystrybuanty rozkładów brzegowych

Niezależność dyskretnych zmiennych losowych

Twierdzenie

Załóżmy, że zmienne losowe X1, . . . , Xn są dyskretne skupione, odpowiednio, na zbiorach atomów S_X1, . . . , S_Xn.

Wówczas są to zmienne losowe niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P(X1= s₁, . . . , X_n= s_n) = P(X1= s₁) · · · P(Xn= s_n) zachodzi dla dowolnego wyboru s1 ∈ S_X1, . . . , sn∈ S_Xn.

W szczególności zmienne losowe dyskretne X₁ i X₂ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_s,tP(X1 = s, X₂ = t) = P(X1= s)P(X2= t),

Przykład 1

Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna.

(A) Bolek postawił na „czerwone”, (C) Tola postawiła na pierwsze 12;

Jeśli Bolek wygra, to dostanie 1 żeton.

Tola za wygraną dostaje 2 żetony.

W przypadku przegranej tracą żeton.

X_A – wygrana Bolka oraz X_C – wygrana Toli.

Czy zmienne losowe X_A i X_C są niezależne?.

Rozkład: P (XA= −1, X_C = −1) = ¹³₃₇,P (XA= −1, X_C = 2) = ₃₇⁶ , P (XA= 1, X_C = −1) = ¹²₃₇, P (XA = 1, X_C = 2) = ₃₇⁶ Rozkłady brzegowe: P (XA = −1) = ¹⁹₃₇, P (XA = 1) = ¹⁸₃₇

P (XC = −1) = ²⁵₃₇, P (XC = 2) = ¹²₃₇

niezależność zmiennych losowych o rozkładach ciągłych

Twierdzenie

Załóżmy, że każda ze zmiennych losowych X₁, . . . , X_n ma rozkład ciągły o gęstości odpowiednio f1, . . . , fn

oraz (X1, . . . , Xn) ma rozkład ciągły z gęstością f ,

wówczas X₁, . . . , X_n są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy f (x1, . . . , xn) = f1(x1) · · · fn(xn)

dla„prawie wszystkich”(x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ (tzn. poza zbiorem miary zero)

Przykład: rozkład jednostajny na [0, 1]

/ prawdopodobieństwo geometryczne

Przykład 2

Wektor (X , Y ) ma rozkład jednostajny na kwadracie [0, 1]² tzn. o gęstości (X , Y )

f (x , y ) =

(1 dla 0 ¬ x , y ¬ 1, 0 dla pozostałych (x , y ).

i rozkładach brzegowych f_X(x ) =

(1 dla 0 < x < 1,

0 dla pozostałych x . f_Y(y ) =

(1 dla 0 < y < 1, 0 dla pozostałych y . Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Przykład: rozkład jednostajny na trójkącie / prawdopodobieństwo geometryczne

Przykład 3

Wektor (X , Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie o gęstości (X , Y )

f (x , y ) =

(2 dla 0 ¬ 1 − x ¬ y ¬ 1, 0 dla pozostałych (x , y ).

i rozkładach brzegowych

f_X(x ) =

(2x dla 0 < x < 1,

0 dla pozostałych x . f_Y(y ) =

(2y dla 0 < y < 1, 0 dla pozostałych y . Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Przykład 4

Wektor (X , Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie o dystrybuancie

F (x , y ) =



















0 dla x < 0 lub y < 0 lub y < 1 − x , (x + y − 1)² dla 0 ¬ 1 − x ¬ y ¬ 1,

x² dla 0 ¬ x ¬ 1 i y > 1, y² dla x > 1 i 0 ¬ y ¬ 1, 1 dla x > 1 i y > 1.

i dystrybuantach brzegowych brzegowych

FX(x ) =











0 dla x < 0, x² dla 0 ¬ x ¬ 1, 1 dla x > 1.

FY(y ) =











0 dla y < 0, y² dla 0 ¬ y ¬ 1, 1 dla y > 1.

Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Twierdzenie

Jeśli zmienne losowe X₁, X₂, X₃, . . . , Y₁, Y₂, Y₃, . . . są niezależne, to poniższe dwie zmienne losowe również są niezależne:

h₁(X₁, X₂, X₃, . . . ), h₂(Y₁, Y₂, Y₃, . . . ),

(gdzie h1 i h2 są pewnymi funkcjami mierzalnymi) Przykład 5

Rzucamy 100 razy kostką. Niech X będzie sumą oczek w

pierwszych 50 rzutach a Y iloczynem liczb oczek w 50 kolejnych rzutach. Korzystając z faktu, że liczby oczek w różnych rzutach są zmiennymi losowymi niezależnymi uzasadnij, że X i Y są

niezależne.

Bardziej ogólnie Twierdzenie

Załóżmy, że zmienne losowe X_1,1, X_1,2, . . . , X_1,k1,

X2,1, X2,2, . . . , X2,k2,

· · · ,

X_n,1, X_n,2, . . . , X_n,kn są niezależne

Niech funkcje (mierzalne) φ₁: R^k1 → R, . . . , φn : R^kn → R będą takie, że

Y1 = φ1(X1,1, X1,2, . . . , X_1,k1), ...

Yn= φn(Xn,1, Xn,2, . . . , X_n,kn),

wówczas zmienne losowe Y₁, . . . , Y_n są niezależne

Splot

Definicja

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne,

to rozkład PX +Y ich sumy nazywamy splotemich rozkładów PX ∗ PY = PX +Y

Przykład 6

Rzucamy dwa razy kostką.

Niech X i Y oznacza liczbę wyrzuconych oczek w pierwszym i drugim rzucie, odpowiednio.

Jaki rozkład ma zmienna losowa X + Y ?

Morał

Twierdzenie

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach całkowitych

wówczas ich suma ma rozkład skupiony na liczbach całkowitych i P(X + Y = s) =

X

t

P(X = t) P(Y = s − t)

Splot rozkładów Poissona

Przykład 7

Oblicz splot Po(λ) ∗ Po(µ)

Wskazówka: rozkład Poissona z parametrem λ to rozkład P skupiony na nieujemnych liczbach całkowitych,

P({i }) = e^−λλⁱ i !

Przykład 8

Oblicz splot rozkładów dwumianowych Bin(n, p) ∗ Bin(m, p).

SPOSÓB 1: ze wzoru. Hmmm?

SPOSÓB 2: sprytnie.

Splot rozkładów ciągłych

Twierdzenie

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach ciągłych,

wówczas ich suma ma rozkład ciągły z gęstością będącąsplotem ich gęstości

f_{X +Y}(t) = Z ∞

−∞

f_X(s) f_Y(t − s) ds

Przykład 9

Oblicz splot dwóch rozkładów jednostajnych na [0,1].

Wskazówka: gęstość rozkładu jednostajnego na [0,1]

f (x ) =

(1 dla 0 ¬ x ¬ 1,

0 w przeciwnym przypadku