gdzieś pomiędzy III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. W rozdziale siód- mym ,,Zbyt dużo i nie wystarczająco” po raz pierwszy wprowadzono kon- cepcję wyznacznika. Dopiero 1000 lat później pojawiły się publikacje z jego definicją:
• 1683 rok – Kowa Seki, jeszcze błędna, poprawiona w 1710 roku,
• 1693 rok – Gottfried Leibnitz.
Były to prace niezależne. W 1750 roku Gabriel Cramer publikuje wzo- ry dające pełny algorytm rozwiązania układów równań liniowych.
Dzisiaj bez macierzy nie istniałaby np. współczesna grafika 3D. Ma- cierze są wymarzonym narzędziem do przeprowadzania obliczeń i rozwiązywania równań. Łatwość ich implementacji w komputerowym świecie i zoptymalizowane szybkościowo algorytmy operacji na nich po- wodują, że nie możemy się bez nich obejść.
2. Macierze
2.1. Wiadomości wstępne o macierzach Niech m,nN. Prostokątną tablicę
−
−
−
−
−
−
−
−
mn n
m m
m
n m n m m
m
n n
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
1 , 2
1
, 1 1 , 1 2
, 1 1 , 1
2 1 , 2 22
21
1 1 , 1 12
11
utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych) aij dla i=1,..., ,m 1,...,
j= n nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze m . Elementy n aij nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziome – wierszami tej macierzy.
Symbol aij jest to element stojący na przecięciu i -tego wiersza oraz j -tej
Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych) m ( m -wier-n szy, n -kolumn) będziemy oznaczali Mmn
( )
R(
Mm n( )
C)
.Rodzaje macierzy:
1. macierz kwadratowa stopnia n – macierz, w której ilość wierszy równa jest ilości kolumn, czyli m = . n
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
Elementy aii, =i 1,2,...,n, tzn.
(
a11,a22,...,ann)
tworzą główną przekąt- ną macierzy. Sumę tych wyrazów czyli a11+a22+...+ann nazywamy śladem macierzy i oznaczamy tr( )
A .2. macierz trójkątna dolna (górna) – macierz kwadratowa stopnia
2
n , w której wszystkie elementy leżące nad (pod) główną przekątną są równe 0 .
nn n
n a a
a a a a
2 1
22 21 11
0 0 0
3. macierz diagonalna – macierz kwadratowa stopnia n , w której wszystkie wyrazy znajdujące się poza główną przekątną są równe 0 .
ann
a a
0 0
0 0
0 0
22 11
O macierzy diagonalnej można również mówić dla macierzy prostokąt- nych.
4. macierz jednostkowa – macierz diagonalna stopnia n , w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1.
Oznaczamy ją I .
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1
I
5. macierz zerowa – macierz wymiaru m , w której wszystkie elemen-n ty równe są 0 . Oznaczamy ją O .
=
0 0
0
0 0
0
0 0
0
O .
2.2. Działania na macierzach Dwie macierze ij
A a m n
= i
' ' ij m n
B b
= są równe, gdy mają ten sam wymiar, tzn. m =m' i n =n' oraz elementy obu macierzy znajdujące się na tych samych miejscach są sobie równe, czyli a =ij bij dla dowol- nych i=1,2,...,m, j =1,2,...,n.
W zbiorze macierzy określamy podstawowe działania: transponowa- nie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywi- stą , mnożenie macierzy. Zapamiętajmy, nie istnieje dzielenie macierzy.
• Transponowanie macierzy
Macierzą transponowaną do macierzy A=
aij mn nazywamy macierz
bij n mB= określoną wzorem b =ij aji dla i=1,2,...,m, j=1,2,...,n. Piszemy wówczas
AT
B = .
PRZYKŁAD 2.2.1. Dla danej macierzy
−
−
=
4 2
0 2
1 3
A mamy
−
= −
4 0 1
2 2
T 3
A .
• Dodawanie i odejmowanie macierzy
Sumą (różnicą) macierzy A=
aij mn i B=
bij mn nazywamy macierz
cij m nC = , której elementy określone są jako cij =aij bij dla n
j m
i=1,2,..., , =1,2,..., . A więc
B A b
a b
a b a
b a b
a b a
b a b
a b a
c c
c
c c
c
c c
c C
mn mn m
m m m
n n
n n
mn m
m
n n
=
=
=
2 2 1 1
2 2 22
22 21 21
1 1 12
12 11 11
2 1
2 22
21
1 12
11
.
Dodawać i odejmować możemy jedynie macierze tych samych wymia- rów.
PRZYKŁAD 2.2.2. Dla danych macierzy
= −
0 3 2
1 5
A 2 oraz
−
= −
2 1 4
3 0
B 2 mamy
( ) ( )
2 2 5 0 1 3
2 5 1 2 0 3
2 4 3 1 0 2
2 3 0 4 1 2
4 5 2
6 4 2 .
A− =B − − − − = − −− − − −− −− =
−
= − −
■
• Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą
Iloczynem macierzy A=
aij mn przez liczbę R nazywamy ma- cierz B=
bij mn, której elementy określamy jako bij =aij dlan j
m
i=1,2,..., , =1,2,..., . Mamy zatem
A a
a a
a a
a
a a
a
b b
b
b b
b
b b
b B
mn m
m
n n
mn m
m
n n
=
=
=
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
.
PRZYKŁAD 2.2.3. Dla danych macierzy
= −
4 1 2
3 2
A 1 oraz
−
−
= −
4 1 4
3 2
B 1 obliczyć 2 −A 4B.
Rozwiązanie
1 2 3 1 2 3
2 4 2 4
2 1 4 4 1 4
2 4 6 4 8 12 6 4 18
4 2 8 12 4 16 16 6 8
A B − −
− = − − − =
− − −
=− − − = − −
■
• Mnożenie macierzy
Iloczynem macierzy A=
aij mn i B=
bij nk nazywamy macierz
cij m kC = , której elementy określa wzór
= + +
+
=
= n
s
nj in j
i j i sj is
ij a b a b a b a b
c
1
2 2 1
1 ...
dla i=1,2,...,m, j =1,2,...,k.
Iloczyn macierzy AB jest wykonalny, gdy ilość kolumn macierzy A jest taka sama jak ilość wierszy macierzy B .
PRZYKŁAD 2.2.4. Dla danych
−
−
=
1 2
3 1
2 1
A oraz
−
= −
1 1 2 3
0 2 1 B 1
obliczyć iloczyn AB. Rozwiązanie
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 0
1 3
3 2 1 1
2 1
1 1 2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 1 0 2 1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 2 3 1 1 0 3 1
2 1 1 3 2 1 1 2 2 2 1 1 2 0 1 1
A B
−
= − − − =
+ − + − + +
= − + − − + − − + − + =
+ − − + − − + − + −
−
−
−
−
=
−
− +
−
−
+ +
−
− +
−
+ +
−
− +
=
1 3 0 1
3 1 5 8
2 4 5 7 1 0 1 4 2 2 3 2
3 0 3 2 6 1 9 1
2 0 2 2 4 1 6 1
.
■ Zauważmy, że iloczyn B A jest niewykonalny, gdyż w macierzy B mamy 4 kolumny, zaś w macierzy A wierszy jest 3. Na tym przykładzie widzimy również brak przemienności mnożenia macierzy. Iloczyn ma- cierzy nie jest przemienny również dla macierzy kwadratowych.
PRZYKŁAD 2.2.5. Dla danych macierzy
−
= 0 3 1
A 2 oraz
=−
3 3
1
B 2 obliczyć iloczyny AB oraz B A. Rozwiązanie
( ) ( )
=− −
+
+
−
−
−
−
=
−
−
=
9 9
1 7 3
3 1 0 3 3 2 0
3 1 1 2 3 1 2 2 3 3
1 2 3
0 1 B 2
A ,
( ) ( )
=−
+
−
+
+
−
−
+
= −
−
=−
6 6
5 4 3
3 1 3 0 3 2 3
3 1 1 2 0 1 2 2 3
0 1 2 3 3
1 A 2
B .
Widać, że ABBA.
■ Podstawowe własności działań na macierzach:
Załóżmy, że macierze A,B,C są takie, aby działania na nich przeprowa- dzane były wykonalne. Wówczas zachodzi:
1. Przemienność dodawania:
A B B
A+ = + .
Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Nie wyklucza to istnienia macierzy A,B takich, że A B = . B A
2. Łączność dodawania i mnożenia:
(
A+B)
+C= A+(
B+C)
,(
AB)
C= A(
BC)
.3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania:
(
B+C)
A= BA+CA,(
B C)
A B A C A + = + .4.
(
AB) (
= A)
B= A(
B)
dla R. 5. (
A+B)
=A+B dla R.6. AI =IA=A. 7.
(
A+B)
T = AT +BT. 8. (AB)T =BT AT. 9.( )
AT T = A.PRZYKŁAD 2.2.6. Dla danych macierzy
=
1 5 3
2 0
A 1 ,
−
= 3 1 1
B 2 ,
=−
5 0 2
0 2
C 1 obliczyć ACT −2B.
Rozwiązanie
=
−
−
−
=
−
3 1
1 2 2
5 0 2
0 2 1 1 5 3
2 0 2 1
T
T B
C A
( ) ( )
1 2 1 1 0 2 2 0 1 2 0 0 2 5
1 0 2 4 2
2 0 –
3 1 5 2 1 0 3 2 5 0 1 5
3 5 1 6 2
0 5
4 2 1 12 4 2 5 14
6 2 7 11 6 2 1 9 .
− − − + + + +
= − = − + + + +
− − − −
− = − =
■ PRZYKŁAD 2.2.7. Dla danych macierzy
= −
1 0 2
2 3
A 1 ,
−
=
3 1
2 0
1 3 B
rozwiązać równanie macierzowe 2AT + 3X = B. Rozwiązanie
✓ Przekształcamy równanie 2AT + 3X =B i wyliczamy macierz nie- wiadomą X :
AT
B
X 2
3 = −
Dzieląc obustronnie przez 3 mamy:
(
B AT)
X 2
3 1 −
= .
✓ Wstawiamy odpowiednie macierze do równania:
=
−
−
−
=
−
−
−
=
1 2
0 3
2 1 2 3 1
2 0
1 3 3 1 1
0 2
2 3 2 1
3 1
2 0
1 3 3
1 T
X
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
3 1 3 5
3 2 2
3 5 3 1
1 5
2 6
5 1 3 1 2
4 0 6
4 2 3 1
2 0
1 3 3
1 .
Szukaną macierzą jest
−
−
=
3 1 3 5
3 2 2
3 5 3 1
X .
■ PRZYKŁAD 2.2.8. Znaleźć macierz X spełniającą równanie
=
− 0 1
1 2 1
3XT X .
Rozwiązanie
✓ Przewidujemy, że macierz X będzie miała postać R
d c b d a c
b
X a
= , , , , gdyż macierz po prawej stronie równa- nia jest wymiaru 2 . Jednym z warunków równości macierzy jest 2 zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że
= d b
c XT a . Wstawiając do równania otrzymujemy:
=
−
1 0
1 2 1
3 c d
b a d
b c a
=
−
1 0
1 1 2
2 2 2 3
3 3 3
d c
b a d
b c a
=
−
−
−
−
1 0
1 1 2
3 2 3
2 3 2 3
d d c b
b c a a
=
−
−
1 0
1 1 2
3
2 3
d c b
b c a
✓ Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:
=
=
−
=
−
=
1 0 2 3
1 2 3
1
d c b
b c a
.
Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy
=
=
=
=
1 6 , 0
4 , 0 1
d c b a
.
✓ Szukana macierz ma postać
=
1 6 , 0
4 , 0
X 1 .
■ ZADANIA
2.1. Dane są macierze
= −
−
−
=
= −
5 2 1
0 2 , 4
2 0
5 3
3 2 1 ,
5 0
2 2
1 B C
A .
Wyznaczyć macie-rze: 2A+C,A−3C,AB,BA,ACT,AT C. 2.2. Niech będą dane macierze
−
=
−
=
= −
1 1
0 2
4 1 ,
0 1 2
0 1 0
1 3 1 1 ,
1 4
0 3
1 B C
A .
a) Obliczyć 2A−3CT.
b) Rozwiązać równanie macierzowe 3X +AT =2 .C
c) Obliczyć iloczyny macierzy AC,CA,AB,CT C,CCT.
2.3. Znaleźć macierz AB −BA dla
=
=
0 1 2
1 2 0
2 0 1 ,
1 0 2
0 2 1
2 1 0
B
A .
