8. Testowanie hipotez
Zadanie 1. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką losową z rozkładu o gęstości Γ(q)θq xq−1e−θx, x > 0, θ > 0. Zakładamy, że q jest znane. Skonstruować test jednostajnie najmocniej- szy na poziomie α do weryfikacji hipotezy {θ0} wobec hipotezy alternatywnej {θ1}, gdzie θ1 > θ0. Pokazać, że gdy q = 1/n, to moc tego testu wynosi 1 − (1 − α)θ/θ0.
Zadanie 2. Próba X1, . . . , Xn pochodzi z pewnego rozkładu wykładniczego o gęsto- ści fθ(x) = exp{−(x − θ)}1(θ,∞)(x). Hipotezę H0 : θ ≤ 1 przy hipotezie alterna- tywnej H1 : θ > 1 weryfikuje się za pomocą testu z obszarem krytycznym postaci K={(x1, . . . , xn) : x1:n > c}, c ∈ R. Wyznacz stałą c tak, aby test miał rozmiar α.
Naszkicuj wykres funkcji mocy tego testu.
Zadanie 3. Przeprowadzono obserwacje dotyczace liczby zgłoszeń w centrali telefonicz- nej. Dla 300 odcinków czasowych jednakowej długości otrzymano dane
Liczba zgłoszeń 0 1 2 3 4 5
Liczba odcinków czasowych 50 100 80 40 20 10
Za pomoc¸a testu chi-kwadrat zgodności na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipo- tezę, ze rozkład liczby zgłoszeń jest rozkładem Poissona.
Zadanie 4. Generator liczb losowych wygenerował 60 liczb z rozkładu wykładniczego E(1).
Przedział Liczebność (0,0; 0,2] 15 (0,2; 0,5] 8 (0,5; 0,9] 12 (0,9; 1,6] 15 (1,6; ∞) 10
Za pomocą testu chi-kwadrat na poziomie istotności 0, 05 przetestuj zgodność tych danych z rozkładem E(1).
Zadanie 5. Pobrano próbkę pewnej cechy X. Wartościami uporządkowanymi według kolejności są 15, 790, 16, 286, 17, 006, 17, 355, 17, 980, 18, 284. Używając testu Kołmogo- rowa zweryfikuj na poziomie istotności 0, 1 hipotezę, że cecha X ma rozkład normalny N (17, 1806; (0, 75)2).
Zadanie 6. W pewnym przedsiębiorstwie zbadano rozkład wieku pracowników i otrzy- mano wyniki
Wiek (lata) [0, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55,∞)
Liczba 6 40 24 25 18 28 25 20 14
Na poziomie istotności 0, 01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że próba po- chodzi z rozkładu jednostajnego na przedziale (18, 65).
1
Zadanie 7. Wybrano losowo 780 mieszkańców Torunia, których zapytano o najchętniej oglądany rodzaj seriali. Poniższa tabela przedstawia wyniki sondażu. Za pomocą testu chi-kwadrat niezależności zbadaj, czy płeć telewidza i rodzaj seriali przez niego oglądanych są niezależne.
Rodzaj seriali
Płeć telenowele seriale kryminalne seriale komediowe Razem
Kobieta 210 90 160 460
Mężczyzna 50 150 120 320
Razem 260 240 280 780
Zadanie 8. Spytano 1000 respondentów o średni dzienny czas spędzany przed telewizo- rem. Na podstawie wyników przedstawionych w poniższej tabeli kontyngencji, przetestuj niezależność ilości godzin spędzanych dziennie przed telewizorem z wykształceniem tele- widzów.
Wykształcenie
Ilość h podstawowe zasadnicze zawodowe średnie wyższe Razem
0-2 65 57 63 55 240
2-4 68 70 62 60 260
4-6 78 82 68 72 300
powyżej 6 53 60 43 44 200
Razem 264 269 197 231 1000
2
