Xn będzie próbą prostą z rozkładu beta B(α, β) o gęstości f (x

Egzamin: Statystyka I, 21 lutego 2018

1. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu Pareto o gęstości

fα,θ(x) = θα^θ

x^θ+11(x ≥ α), α, θ > 0.

(a) Oblicz estymatory największej wiarygodności parametrów α i θ,

(b) wyznacz dokładny przedział ufności dla α na poziomie 1 − δ przy znanej θ.

Wskazówka: P(X¹> x) = (α/x)^θ.

2. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu beta B(α, β) o gęstości

f (x) = Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)x^α−1(1 − x)^β−11(0 < x < 1), α, β > 0.

Załóżmy, że znamy ˆα i ˆβ, czyli estymatory największej wiarygodności parametrów modelu α i β, Wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla α na poziomie 1 − δ.

3. Entropią rozkładu o gęstości f nazywamy H(f ) = −E^flog f (X). Policz w postaci funkcji spe- cjalnej zależnej od parametrów modelu:

(a) entropię rozkładu beta B(α, β),

(b) kowariancję cov(log(X), log(1 − X)) dla X ∼ B(α, β).

4. Załóżmy, że mamy próbę prostą X₁, ..., X_n ∼ B(α, α). Testujemy H0: α ≤ 1 przeciw H₁: α > 1.

(a) Policz test jednostajnie najmocniejszy na poziomie 1 − δ dla H₀ oraz (b) narysuj moc tego testu.

5. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + , w którym X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, przy czym pierwsza kolumna X jest równa 1 oraz  ∼ N (0, σ²In). Niech dany będzie współczynnik dopasowania modelu do danych R²= 1 − SSE/SST , gdzie SSE =Pn

i=1(Yi− ˆYi)² oraz SST = Pn

i=1(Yi− ¯Y )². Pokaż, że:

(a) test R²> c jest równoważny testowi ilorazu wiarygodności dla modelu liniowego zerowego tj. modelu z macierzą X ograniczona tylko do pierwszej kolumny,

(b) R²∼ B(^p−1₂ ,^n−p₂ ).

6. W modelu liniowym z poprzedniego zadania testujemy H0: a^Tβ = c przeciw H₁: a^Tβ 6= c. Przy założeniu H₀:

(a) wyznacz test o rozkładzie t–Studenta, (b) wyznacz równoważny test o rozkładzie beta.

1