6. Własności estymatorów
Zadanie 1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znaleźć estyma- tor nieobciążony parametru θ = ap2+ bp + c.
Zadanie 2. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu U (0, θ).
a) Dla jakiego α estymator
T1(X1, . . . , Xn) = αXn:n
parametru θ jest estymatorem nieobciążonym?
b) Porównaj (w sensie ryzyka średniokwadratowego) estymator T1(X1, . . . , Xn) z innym estymatorem nieobciążonym parametru θ postaci
T2(X1, . . . , Xn) = 2 n
n
X
i=1
Xi.
Zadanie 3. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu E 1λ, λ > 0. Niech T1(X1, . . . , Xn) = X¯n,
T2(X1, . . . , Xn) = cX1:n,
gdzie c jest stałą dodatnią, będą estymatorami parametru λ. Porównaj ryzyka średnio- kwadratowe tych estymatorów.
Zadanie 4. Sprawdź, czy średnia arytmetyczna jest zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej.
Zadanie 5. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ), gdzie α jest znane, a λ nie jest znane. Udowodnić, że jeżeli nα > 2, to statystyka
T (X1, . . . , Xn) = nα − 1 n ¯Xn jest zgodnym estymatorem parametru λ.
1
!["Barokowa księga natury : o europejskiej symbolografii wieku siedemnastego", Jacek Sokolski, Wrocław 1992 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)