Zadanie 1. Producent szalików powinien okre´sli´c, ile sztuk szalików damskich i ile sztuk szalików m ˛eskich powinien wyprodukowa´c, aby zysk osi ˛agni ˛ety z ich sprzeda˙zy był maksymalny.
Do produkcji wykorzystywane s ˛a dwa rodzaje dzianiny - biała i czarna. Producent posiada 120 m2 dzianiny białej i 80 m2 dzianiny czarnej. Ze zło˙zonych zamówie´n wynika, ˙ze nale˙zy wyprodukowa´c co najmniej200 szalików damskich oraz nie wi ˛ecej ni˙z 150 szalików m ˛eskich. Do produkcji jednego szalika damskiego potrzeba0, 4 m2 dzianiny białej i0, 2 m2 dzianiny czarnej, natomiast do produkcji jednego szalika m ˛eskiego - 0, 1 m2 dzianiny białej i 0, 3 m2 dzianiny czarnej. Przy sprzeda˙zy jednego szalika damskiego producent osi ˛aga zysk 15 zł, natomiast jednego szalika m ˛eskiego -10 zł.
Zapisa´c powy˙zsze zadanie jako minimalizacyjne zadanie programowania liniowego.
Zadanie 2. Rozwi ˛aza´c w sposób geometryczny zadanie
J(u) = 2u1− u2 → min .
u∈ U = {u = (u1, u2) ∈ R2; u ≥ 0,
1 1
−1 −1
−3 −1
u ≤
3
−2
−3
} .
Zadanie 3. Czy w oparciu o tablic ˛e sympleksow ˛a u1 u2 u3 u4
u2 −2 1 0 0 2
u3 −1 0 1 −1 3
−3 0 0 2 J(v)
utworzon ˛a dla punktu wierzchołkowego v = (0, 2, 3, 0) mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze punkt v nie jest rozwi ˛azaniem zadania. Odpowied´z uzasadni´c.
Zadanie 4. Wyznaczy´c punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u1, u2, u3) ∈ R3; u ≥ 0,
1 0 −2
−1 1 3
u= 2
0
}.
Zadanie 5. Utworzy´c tablic ˛e sympleksow ˛a dla zadania
J(u) =< (3, 5, 0, 1), (u1, u2, u3, u4) >→ min . u∈ U = {u = (u1, u2, u3, u4) ∈ R4; u ≥ 0,
1 1 −4 1
−1 0 −4 2
u= −2
−6
} i punktu wierzchołkowego v = (2, 0, 1, 0).
Zadanie 6. Znale´z´c, w oparciu o twierdzenie Fermata, punkty, które mog ˛a by´c punktami minimum lokalnego dla funkcji
J(u1, u2) = 1
3u31 − u1+ 1
3u32− 4u2 na zbiorze R2.
Zadanie 7. Sprawdzi´c, w oparciu o warunki dostateczne dla zadania bez ogranicze´n, ˙ze punkt(u1, u2) = (23,−14) jest punktem minimum lokalnego funkcji
J(u1, u2) = (3u1− 2)2+ (4u2+ 1)2 na zbiorze R2.
1
Zadanie 8. Znale´z´c, w oparciu o zasad ˛e mno˙zników Lagrange’a i warunki dostateczne dla zadania z ograniczeniami, punkty minimum lokalnego funkcji
J(u1, u2) = u12+ (u2− 1)2 przy ograniczeniach
f1(u1, u2) = 3u1 + u2− 1 = 0.
2
