Obli zy¢ fn′

LISTA ZADA‹ 8

(1) Nie h f (x) =√³

x^2. Korzystaj¡ z deni jiobli zy¢ f^′(8)^.

(2) Nie h f (x) = x^5. Korzystaj¡ z deni ji wyprowadzi¢ wzór na

f^′(x)^.

(3) Nie h n ∈ N^{. Dobra¢ staªe} a, b, c ^{tak,aby funk ja}

fn(x) =







|x| ^dla|x| ≥ 1/n, ax²+ bx + c ^dla|x| < 1/n

byªa ró»ni zkowalna. Obli zy¢ f_n^′. Naszki owa¢ wykres funk ji

fn ^{oraz wykres po hodnej.}

(4) Obli zy¢po hodn¡nastpuj¡ y hfunk ji. Poda¢wjakimzbio-

rze istnieje po hodna:

3x²− 5x + 1^; (√ x + 1)

 1

√x − 1



;

1 − x³ 1 + x^3; (1 +√

x)(1 + x^1/3)(1 + x^1/4)^; (x²+ 1)^4; x + 1 x − 1^; x

x²+ 1^; (1 + 2x)^30;

 1

1 + x²

1/3

;

√ 1

1 − x⁴ − x⁸

; 2^x+3; x10^x; x

e^x; x²(x + 1)e^x; e^xlog x^; log x

e^{x ;} e^x2; x¹⁰log x^. e^ex; log log x^; log₁₀(x − 1)^; 10^2x−3; 2^3x; log₂| log3(log₅x)|^; e^√logx; x^x2; x^xx;

x^√x; (log x)^x; e^−x2log x^;

√

x − 1

√x

10

; x⁵(x⁶− 8)^1/3; e^2x+3



x²− x +1 2



;

log 1 1 + x^;

e^x2

e^x+ e^−x; |x|^3; sgn x^; 0^dla x < 0^, x^{2 dla}x ≥ 0^; e^−|x|; p√

1 + x²− 1^; {x}^;

x ^dlax < 0^,x^{2 dla}x ≥ 0^; sgn (x⁵− x³)^; π¹⁰

π − e^; e^{x dla}x < 0^,1 + x ^dlax ≥ 0^; x⁷+ e^2; (x + e)^20; e^e.

(5) Potrzebna jest kad¹ w ksztaª ie wal a, otwarta od góry, której

dno i bok wykonane s¡ z tego samego materiaªu. Kad¹ ma

mie¢ pojemno±¢ 257 hektolitrów. Jaki powinien by¢ stosunek

±redni y dna do wysoko± i kadzi, aby do jej wykonania zu»y¢

jak najmniejmateriaªu?

(6) Znale¹¢najmniejsz¡inajwiksz¡ warto±¢funk ji okre±lonejpo-

danym wzorem w podanym przedziale:

x²+ 2x + 21, [−2, 7]^; |x²− 1| + 3x, [−2, 2]^;

|x + 1| + x², [−10, 10]^; |10x − 1| + x³, [0, 1]^; log x − x

10, [1, e³]^; | sin x| + x

2, [0, 2π]^; x^1/x, [2, 4]^; 3 sin x + sin 3x, [0, 2π]^.

(7) Obli zy¢ grani e:

x→0lim 1 x − 1

sin x^, lim

x→∞x^1/x; lim

x→0

e^x− e^−x sin x ^;

x→0lim

2 cos x − x²− 2

x sin x − x^{2 ;} lim

x→∞xe^−x; lim

x→∞

log x x ^;

x→0lim

e^x− 1

x ^; lim

x→0

e^ex − e

x ^; lim

x→0

e^x− 1 − x x^{2 ;}

x→1lim log x

x − 1^; lim

x→1

log x − x + 1

(x − 1)^{2 ;} lim

x→e

log log x x − e ^;

x→∞lim x⁴

e^x; lim

x→2

x^x− 4 x − 2^.