Legalna ±ci¡ga na kolokwium II

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 31 maja 2015

Legalna ±ci¡ga na kolokwium II

wzór ze Liouville'a:

y 2 (x) = y 1 (x)

Z  C y ₁ ² (x) exp



−

Z a 1 (x) a ₀ (x) dx



dx. (1)

Ukªady równa« ró»niczkowych: rozwi¡zanie ukªadu niejednorodnego postaci:

~ ˙

x = Ax + ~ P m (t)e ^µt , µ ∈ C. (2)

Tutaj ~P m (t) oznacza wektor zªo»ony z wielomianów, o stopniach nie wi¦kszych od m.

Oznaczmy zbiór warto±ci wªasnych macierzy A przez Λ tzn. Λ = {λ 1 , λ 2 , . . . , λ n }

Rozwi¡za« szczególnych ukªadu niejednorodnego (2) b¦dziemy poszukiwa¢ stosuj¡c nast¦puj¡ce dwa twierdzenia (w zale»no±ci od przypadku):

Twierdzenie 1. (przypadek nierezonansowy)

Niech µ nie jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A tj. µ 6∈ Λ. Wówczas rozwi¡zanie szczególne ukªadu niejednorodnego ma posta¢:

e ~

x(t) = ~ Q _m (t) · e ^µt , (3)

gdzie ~ Q m (t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m o wspóªczynnikach nieoznaczonych.

Twierdzenie 2. (przypadek rezonansowy)

Niech µ ∈ Λ tzn. równa si¦ pewnej warto±ci wªasnej macierzy A. Wówczas e ~

x(t) = ~ Q _m+1 (t) · e ^µt , (4)

gdzie ~ Q m+1 (t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m + 1 o wspóªczynnikach nieoznaczonych.

Transformacja Laplace'a:

L{x(t)} = x(p) = e

∞

Z

0

x(t)e ^−pt dt, (5)

gdzie p to liczba zespolona.

L{x ⁰ (t)} = p x(p) − x(0). e

L{x ⁽ⁿ⁾ (t)} = p ⁿ e x(p) − p ⁿ⁻¹ x(0) − p ⁿ⁻² x ⁰ (0) − p ⁿ⁻³ x ⁰⁰ (0) − . . . − px ⁿ⁻² (0) − x ⁿ⁻¹ (0).

Przykªady transformat Laplace'a.

1. Niech x(t) = e ^bt , b ∈ R, to x(p) = e _p−b ¹ . 2. Niech x(t) = t ⁿ , n ∈ N, to e x(p) = _p

^n! . 3. Niech x(t) = sin bt, b ∈ R, to x(p) = e _p

+b ^b

. 4. Niech x(t) = cos bt, b ∈ R, to e x(p) = _p

_+b ^p

.

Je»eli e x(p) =

n

P

k=1 A

p−p

to wówczas x(t) = P ⁿ

k=1

A _k e ^p

^t . b) Metoda residuów.

Niech nadal e x(p) b¦dzie wyra»eniem wymiernym. Pierwiastki licznika x(p) e nazywamy zerami a pierwiastki mianownika biegunami. Fundamentalnym wzorem tej metody jest (z twierdzenia Cauchy'ego o residuach):

x(t) =

n

X

k=1

res 

e x(p)e ^pt , p k  , (6)

gdzie p k to bieguny funkcji x(p). e Je»eli x(p) e jest funkcj¡ wymiern¡ to dla biegunów p k m− krotnych stosujemy wzór:

res 

e x(p)e ^pt , p _k  = 1

(m − 1)! lim

p→p

d ^m−1

dp ^m−1 (p − p k ) ^m x(p)e e ^pt  . (7) W przypadku biegunów pojedynczych ze wzoru (7) dostajemy:

res 

e x(p)e ^pt , p k  = lim

p→p

(p − p k ) x(p)e e ^pt  . (8)

1