Legalna ±ci¡ga kolokwium 3

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 10 stycznia 2018

Legalna ±ci¡ga kolokwium 3

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji. Materiaª ten, je»eli kto± chce z niego skorzysta¢, nale»y wydrukowa¢ samodzielnie.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n^α = 0, α > 0 c) lim

n→∞n^α= +∞, α > 0 d) lim

n→∞aⁿ= 0, |a| < 1 e) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ = 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 l) lim

n→∞aⁿ= 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 +_n¹)ⁿ= e n) lim

n→∞(1 −_n¹)ⁿ= e⁻¹ o) lim

n→∞(1 +_n^a)ⁿ= e^a p) lim

n→∞(1 +_a¹

n)^an= e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞= 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu: Je±li szereg P^∞

n=1

an jest zbie»ny to lim

n→∞an= 0.

Krterium porównawcze: Niech 0 ≤ an ≤ b_n dla ka»dego n > n0, n0 ∈ N. Je±li zbie»ny jest szereg

∞

P

n=1

bnto zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

an. Je±li P^∞

n=1

an= ∞to P^∞

n=1

bn= ∞

Krterium d'Alamberta: Niech an ≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

an+1

an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szeregP^∞

n=1

a_n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P^∞

n=1

a_njest rozbie»ny.

Krterium Cauchy'ego: Niech an ≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

√n

a_n ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szeregP^∞

n=1

a_n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P^∞

n=1

a_njest rozbie»ny.

Kryterium Leibniza:Je»eli w szeregu przemiennym P^∞

n=1

an pocz¡wszy od pewnego miejsca (wyrazu n0) bezwzgl¦dne warto±ci wyrazów szeregu d¡»¡ monotonicznie do zera, to szereg P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny.

Uwaga: Niech szereg naprzemienny ma posta¢: P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹an, gdzie an > 0 Wówczas, aby wyka- za¢ zbie»no±¢ tego szeregu z kryterium Leibniza nale»y stwierdzi¢, »e:

• lim

n→∞a_n= 0

• ci¡g (an) pocz¡wszy od pewnego wyrazu n0 jest malej¡cy.

1

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 10 stycznia 2018

Szereg harmoniczny: Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci P^∞

n=1 1 n^α. Szereg ten jest zbie»ny dla α > 1.

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→±∞ 1 +^a_x
x

= e^a, a ∈ R d) lim

x→0(1 + x)^x1 = e e) lim

x→0 arcsin x

x = 1 f ) lim

x→0 arctg x

x = 1 Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)⁰ = 0 c ∈ R

2. (x^α)⁰ = αx^α−1 (^α)⁰ = α^α−1· ⁰ α ∈ R \ {0}

3. (√ⁿ

x)⁰ = ¹

nⁿ

√ xⁿ⁻¹

√n



0

= ¹

nⁿ

√

ⁿ⁻¹ · ⁰ n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)⁰ = cos x (sin )⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x)⁰= − sin x (cos )⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x)⁰ = _cos¹2x (tg )⁰ = _cos¹2· ⁰ x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)⁰= −_sin¹2x (ctg )⁰ = −_sin¹2 · ⁰ x 6= kπ, k ∈ N 8. (a^x)⁰ = a^x· ln a (a^)⁰ = a^· ln a · ⁰ a > 0 9. (e^x)⁰ = e^x (e^)⁰ = e^· ⁰

10. (ln x)⁰ = ¹_x (ln )⁰= _¹ · ⁰ x > 0 11. (log_ax)⁰= _{x ln a}¹ (log_a)⁰ = _{ ln a}¹ · ⁰ a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)⁰= ^{√ 1}

1−x² (arcsin )⁰ = ^{√ 1}

1−² · ⁰ |x| < 1 13. (arccos x)⁰ = ^√−1

1−x² (arccos )⁰ = ^√−1

1−² · ⁰ |x| < 1 14. (arctg x)⁰ = _1+x¹2 (arctg )⁰ = _1+¹ 2 · ⁰

15. (arcctg x)⁰ = _1+x⁻¹2 (arcctg )⁰ = _1+⁻¹2 · ⁰

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = ^f1

g

lub f · g = ^g1 f

0 0 lub ^∞_∞

∞ − ∞ f − g =

1 g−_f¹

1 f g

0 0

1^∞, ∞⁰, 0⁰ f^g= e^{g ln f} 0 · ∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x0)) : y − y₀= f⁰(x₀)(x − x₀).

Równanie prostej normalnej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x0)) o ile f⁰(x0) 6= 0 : y = −_f0(x¹0)· (x − x₀) + f (x₀).

Wzór na przybli»on¡ warto±¢: f(x) ≈ f(x0) + f⁰(x₀)(x − x₀).

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos²α − sin²α, c) sin²α = ^1−cos₂ ^2α, d) cos²α = ^1+cos₂ ^2α,

e) sin α + sin β = 2 sin^α+β₂ cos^α−β₂ , f) sin α − sin β = 2 sin^α−β₂ cos^α+β₂ , g) cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ , h) cos α = sin ^π₂ − α

i) a²− b² = (a − b)(a + b), j) a³± b³= (a ± b)(a²∓ ab + b²).

2