Matematyka dla informatyków - Kombinatoryka
wiczenia 2
Zadanie 1. Oblicz: 73oraz 74. Korzystaj¡c ze wzoru rekurencyjnego oblicz (a) 48, (b) 145, (c) 105. Zadanie 2. Podaj wzory jawne dla szczególnych przypadków (a) n0, (b) n1, (c) n2, (d) n−1n . Zadanie 3. Rozwi« dwumian (1 + x)7 w szereg pot¦gowy.
Zadanie 4. Udowodnij algebraicznie, »e dla dowolnych 1 ¬ k ¬ n zachodzi n
k
!
= n k
n − 1 k − 1
!
dla 1 ¬ k ¬ n. (1)
Zadanie 5. Udowodnij, »e dla dowolnych 0 ¬ c ¬ b ¬ a zachodzi a
b
! b c
!
= a
c
! a − c a − b
!
. (2)
Zadanie 6. Korzystaj¡c ze wzoru jawnego na wspóªczynnik dwumianowy, udowodnij, »e dla 1 ¬ k ¬ n n
k
!
= n − 1 k − 1
!
+ n − 1 k
! .
Zadanie 7. Udowodnij, »e dla n > 0 zachodzi n
0
!
− n 1
!
+ n
2
!
− n 3
!
+ · · · + (−1)n n n
!
= 0. (3)
Zadanie 8. Udowodnij kombinatorycznie, »e dla n 0 zachodzi
n
X
k=0
n k
!
= 2n. (4)
Zadanie 9. Udowodnij, »e dla n 0 zachodzi
n
X
k=0
k n k
!
= n · 2n−1. (5)
Zadanie 10. Udowodnij, »e dla n, r 0 zachodzi
n
X
k=0
r + k k
!
= r + n + 1 n
!
. (6)
Zadanie 11. Udowodnij, »e dla n 0 zachodzi
n
X
k=0
2k n k
!
= 3n dla n 0. (7)
Zadanie 12. Udowodnij, »e dla n 0 zachodzi
n
X
k=0
n k
!2
= 2n n
!
dla n 0. (8)
Uwaga: kwadrat dotyczy samego wspóªczynnika, nie caªej sumy.
1
Zadanie 13. We¹my n kobiet oraz n m¦»czyzn, spo±ród których chcemy wybra¢ tak¡ podgrup¦ (by¢
mo»e pust¡), która ma tyle samo kobiet co m¦»czyzn. Udowodnij, »e wszystkich takich mo»liwo±ci jest
2n n
, dla n 0.
Zadanie 14. Udowodnij, »e dla n 1 zachodzi
n
X
k=0
k2 n k
!2
= n2 2n − 2 n − 1
!
. (9)
Zadanie 15. Udowodnij, »e dla n 1 zachodzi
n
X
i=1
i3 = n + 1 2
!2
. (10)
2
