(Kraków)
O MATEMATYCE
Zacznę od tego, że tak naprawdę nie bardzo wiem, o czym będę mówił, bo ju ż samo określenie, czym jest matematyka nastręcza sporo trudności.
Dobrą ilustracją kłopotu z definicją matematyki są określenia podane np. w M ałej Encyklopedii Powszechnej P W N (1969): „(...) według starej definicji przez matematykę rozumie się naukę o liczbach i figurach, według nowej jest to nauka o ogólnych for
mach przestrzennych i stosunkach ilościowych”. Bynajmniej nie jest jasne, dlaczego nowa definicja miałaby lepiej tłumaczyć, czym jest matematyka. Może więc lepiej ograniczyć się do parafrazy zdania Benedetto Crocego, czym jest sztuka: „M atematyka jest tym, o czym wszyscy wiedzą, czym jest”1.
Tylko o jakich „wszystkich” chodzi? Czy są to ludzie będący „użytkownikami m a
tematyki” (przyrodnicy, inżynierowie, księgowi), czy też osoby stanowiące przytłacza
jącą większość społeczeństwa, dla których kontakt z m atem atyką zakończył się wraz z odejściem ze szkoły średniej, a teraz pojawia się ona co najwyżej w nocnych koszm a
rach. Przez tych ostatnich m atem atyka postrzegana jest jako „królowa nauk”, jako nauka dostarczająca prawd pewnych („pewne jak 2 + 2 = 4”), otrzymanych na drodze bezdyskusyjnych (bo logicznych) reguł wnioskowania z innych prawd (twierdzeń, aksjomatów), których prawdziwość jest powszechnie akceptowana, posługująca się językiem, „który nie pozwala na wyrażanie myśli nieprecyzyjnych czy mglistych” (H.
Poincare)2.
Twórczość matematyczna jest wyobrażana jako rodzaj gry: biorąc jako punkt w yj
ścia jakąś teorię za pomocą ustalonych reguł tej gry (tj. reguł wnioskowania logiczne
go) matematyk produkuje kolejne twierdzenie. M atematyka jest więc jakim ś „lekko tajemniczym”, dosyć hermetycznym, samoreprodukującym się tworem.
Dla użytkowników matematyka jest narzędziem. M atematyka dostarcza użytkow
nikowi języka ułatwiającego opisanie rzeczy będących przedmiotem jego zaintereso
wań (niekiedy m ożna spotykać się ze stwierdzeniem bardziej radykalnym - np.
A. Łomnicki - że m atem atyka jest po prostu językiem). Ta własność (zaleta?) użytecz
ności matematyki wynika paradoksalnie z dwu jej cech: z „ubóstwa” jej języka oraz z „bogactwa” teorii, które obejmuje.
1 B. Croce, Zarys estetyki, przekład zbior., przejrzał i wstępem poprzedził Z. Czerny, W arszawa 1961, s. 21.
2 S.M. U lam, P rzygody matematyka, przekład A.G órnicka, W arszaw a 1996, s. 302.
Język matematyki jest „ubogi” w tym sensie, że występujące w nim nazwy, przez dokładne zdefiniowanie ich znaczeń w danej teorii matematycznej, zostały odarte z wielkiej liczby znaczeń ubocznych, jakie jeszcze m ają w języku potocznym. Z dru
giej strony różne teorie matematyczne (jak algebra, geometria, równania różniczkowe itd.) są bogate, gdyż opisują niezwykle różnorodne „sytuacje” mogące stanowić dobry odpowiednik sytuacji rozważanych przez potencjalnych użytkowników matematyki.
Decydując się na stosowanie matematyki do opisywania zjawisk, nazwijmy je umownie przyrodniczymi, przydajemy pojęciom użytym w opisie zjawiska ściśle okre
ślony sens, dokonując eliminacji „nieistotnych znaczeń” tych pojęć, a pozostawiając te, które dadzą się wyrazić językiem matematycznym. W ten sposób przyjęcie określone
go języka matematycznego oznacza ju ż utworzenie pewnego modelu zjawiska.
Z kolei ustalając, które związki pomiędzy poszczególnymi pojęciami są istotne dla badanego zjawiska, dokonujemy lokalizacji modelu w jakiejś teorii matematycznej, co pozwala na zastosowanie tej teorii do opisu ilościowych zależności charakteryzujących zjawisko, np. na wypisanie stosownego równania. M ożna by używać języka innego niż matematyczny do opisu zjawisk przyrodniczych (np. z dziedziny gier, biologii itp.).
Oto parę przykładów: sytuacja patowa, rosyjska ruletka, karuzela stanowisk, zoolo
giczna nienawiść. Jednak w takim przypadku użyty termin nie jest przydatny do opisu ilościowego, m oże co najwyżej wywoływać pewne pomocne skojarzenia i do tego jego rola się ogranicza.
Istnieje pokusa używ ania w tej roli również języka matematycznego. Zwroty m ate
matyczne pojawiają się w różnych wypowiedziach (np. w historii sztuki, niestety czę
sto również w naukach przyrodniczych), gdyż nadają im walor prawd, jeśli nie tajem nych, to przynajmniej naukowych, co bardzo podnosi prestiż takich stwierdzeń. N ie
formalne używanie języka matematycznego zdarza się również wśród matematyków Np. René Thom czy Christopher Zeeman opisują zjawiska socjologiczne czy językow e w terminach teorii katastrof czy topologii3. W idać stąd, że m atem atyka traktowana jako wiedza tajemna może skutecznie konkurować z innymi ezoterycznymi naukami (np.
astrologią) przydającymi dodatkowej mocy tekstom, w których jest cytowana.
Jak matematykę postrzega matematyk?
„Czym dokładnie jest matematyka? Wielu próbowało zdefiniować matematykę, ale bez powodzenia - jest to zawsze coś innego. Ludzie wiedzą, że matematyk zajmuje się liczbami i figurami, układami, relacjami, operacjami, a jej formalne struktury, oparte na dowodach, lematach oraz twierdzeniach nie zmieniły się od czasów Archimedesa. Wiedzą też, że ma
tematyka rzekomo stanowi podstawę całego racjonalnego myślenia”4.
„(...) wierzę, że matematyka jest po prostu strukturą naszego świata” (A. Lasota). I dalej Ulam: „[Matematyka] Zdaje się być językiem odpowiednim zarówno do opisu świata ze
wnętrznego, jak i (być może jeszcze bardziej) do analizy nas samych”5.
Dla większsości matematyków pytanie: „Czym jest m atematyka?” nie budzi jednak większych emocji. Podobnie jak i następne pytanie, pojawiające się zwykle, gdy m owa o matematyce: „Czy matematyka tworzy, czy odkrywa?” nie wywołuje zainteresowa
nia. Dla matematyka, podobnie jak dla artysty, pytania te bardzo często uważane są za
3 Por. uw agi S. S m a le ’a n a ten temat, Bulletin o f the A m erican M athem atical Society 84 (6), 1978, s. 1360-1368.
4 S.M. U lam, op. cit., s. 301.
5 Ibidem , s. 302.
nieistotne. Jak większość ludzi zajmujących się działalnością twórczą, troskę o okre
ślenie, czym jest przedmiot jego pracy, pozostawia filozofom czy historykom nauki, podobnie jak plastyk (w przeciwieństwie do historyka sztuki) nie troszczy się o odpo
wiedź na pytanie, czy tworzy własny świat, czy np. „wydobywa z marmuru formę ju ż tam istniejącą” .
Powodem jest tu odmienne postrzeganie matematyki przez m atem atyka i niemate- matyka. M atematyk (podobnie jak artysta sztukę) widzi ją w kontekście odkrycia, pod
czas gdy dla filozofa czy historyka, traktującego matematykę jako pew ną zamknięta całość, istotny jest kontekst uzasadnienia.
Jak odkrywa się nowe twierdzenia matematyczne?
Bardzo często inspiracją są intuicyjne, dalekie od ścisłości pomysły wywodzące się z wrażeń geometrycznych, obserwacji fizycznych, czy naw et jakichś skojarzeń pla
stycznych. Tadeusz W ażewski wspominał o swoim wyniku z topologii inspirowanym wrażeniami z właśnie obejrzanej wystawy malarskiej. Podkreślał wielkie znaczenie intuicji geometrycznych, „amebowatych, zmieniających się kształtów”, pomocnych przy odkrywaniu nowych własności przestrzeni.
Bywa, że twierdzenia pojawiają się w wyniku olśnienia. J.S. Hadamard cytuje rela
cję Poincarego o odkryciu przez niego pewnego twierdzenia z teorii grup - rozwiąza
nie problemu, nad którym długi czas myślał bezskutecznie, pojawiło się nagle w całej rozciągłości jako efekt olśnienia6. Zdarza się, i nie jest to fakt odosobniony, że uzasad
nienie twierdzeń (prawdziwych) było oparte na rozumowaniach czy założeniach, które okazywały się fałszywe. Takie „wpadki” zdarzały się największym matematykom.
Ulam7 pisze:
„Niektóre stare problemy, nie rozwiązane od lat, doczekały się rozstrzygnięcia. Część jest rozwiązywana z hukiem, inne z jękiem. Dotyczy to problemów, które wydają się jedna
kowo ważne i interesujące. Jednak niektóre z nich - nawet słynne, klasyczne zadania - zo
stały rozwiązane w tak szczególny sposób, że nic nie można powiedzieć ani o nic zapytać.
Inne, choć mniej sławne, natychmiast po rozwiązaniu stają się źródłem dociekań i nowej działalności, otwierają nowe przestrzenie”.
Kwestie te rzadko bywają poruszane w publikacjach matematycznych. Długie, nie
kiedy dramatyczne etapy przechodzenia od idei do końcowego wyniku są zastępowane suchym dowodem poprawności, wykorzystującym techniki często odległe od pomysłu wyjściowego. Ulam:
„Evariste Galois (...) w swym ostatnim liście podkreślał, że prawdziwy proces prowa
dzący do odkrycia bardzo różni się od dowodu, który ostatecznie ukazuje się w druku”8.
Często jest to zabieg świadomy. Newton miał się wyrazić do pastora, doktora Der- hama:
„Aby uniknąć ukąszeń drobnych dyletantów matematycznych, celowo napisałem Princi
pia w sposób nieprzejrzysty, ale zrozumiały dla zdolnych matematyków, którzy jak sobie wyobrażam, pojmą moje dowody i zgodzą się z teorią”9.
6 J.S. H adam ard, P sychologia odkryć m atematycznych, przekład R. M olski, W arszaw a 1964, s. 24 i nast.
7 S.M. U lam, op. c it, s. 304.
8 Ibidem .
Istnieje spór między matematykami a użytkownikami matematyki na tem at sposobu rozwiązywania przez tych ostatnich problemów matematycznych. Zwykle zarzuca się użytkownikom zbytnią beztroskę, objawiającą się częstym brakiem zainteresowania poprawnością formalną stosowanych metod, czy też brakiem zainteresowania kw e
stiami podstawowymi dla danej teorii, np. sprawą istnienia czy jednoznaczności roz
wiązań otrzymanych równań. Stanowisko użytkownika często sprowadza się do stwierdzeń typu: „Rozważany problem matematyczny, opisujący dane zjawisko, musi mieć rozwiązanie, bo przecież rozważane zjawisko zachodzi”, albo: „Z chwilą gdy model matematyczny teorii fizycznej zaczyna być analizowany pod względem po
prawności formalnej, przestaje ju ż być interesujący dla fizyków”.
Użytkownicy na swoją obronę wysuwają argument, że to właśnie zastosowania i często a d hoc stosowane metody rozwiązywania pojawiających się problemów m a
tematycznych stanowią ogromne (niektórzy twierdzą, że jedyne) źródło inspiracji w matematyce. Myślę, że przypomina to trochę kontrowersję między literatem a spe
cjalistą od języka: mimo częstego łam ania reguł językow ych to właśnie użytkownicy języka wzbogacają go i ożywiają.
Poza tym sami matematycy też nie są między sobą zgodni co do kryteriów ścisłości, jakie powinny spełniać rozumowania matematyczne, np. jak ą rolę w twórczości m ate
matycznej powinny odgrywać conjectures (niesprawdzone hipotezy). Innym przykła
dem może tu być zjawisko fo lk theorems, tj. twierdzeń, o których wszyscy wiedzą, że są prawdziwe, powołują się na nie, tylko nikt nie opublikował ich poprawnego dow o
du. Roger D. Nussbaum pisze: „Uogólnienie, które opisujemy, było znane od wielu lat.
Jack Hale podaje je w swoje książce o równaniach różniczkowo-funkcyjnych, gdzie uogólnienie jest dane jako ćwiczenie dla czytelnika. Robi to wrażenie nieuzasadnione
go obciążenia czytającego”10. Pojawia się pytanie, czy dążenie do ścisłości nie zabija m atematyki11.
Historia matematyki, mimo jej dedukcyjnego charakteru, jest podobna do historii nauk doświadczalnych (przyrodniczych). Nie jest w olna od „błędów i wypaczeń” ana
logicznych do tych, jakie pojawiały się w naukach przyrodniczych. Przyrodnicy szuka
li kamienia filozoficznego, perpetuum mobile, wierzyli, że ziemia jest płaska, że natura nie znosi próżni, że istnieje flogiston i eter, że myszy rodzą się z brudu itd.
M atematycy z kolei wierzyli w wymierność liczby V2, w trysekcję kąta przy pom o
cy cyrkla i linijki, w kwadraturę koła, w możliwość w yrażenia pierwiastków wielom ia
nu dowolnego stopnia przez jego współczynniki, w możliwość udowodnienia aksjoma
tu o równoległych za pom ocą pozostałych aksjomatów Euklidesa, w możliwość zak- sjomatyzowania matematyki na wzór mechaniki teoretycznej.
Rozstrzygnięcie (pozytywne, negatywne) tych kwestii stanowiło przełom, często zgoła rewolucję w matematyce. Klasycznym przykładem jest tu negatywne rozstrzy
gnięcie hipotezy o możliwości wyprowadzenia aksjomatu o równoległych, które sta
nowiło przewrót w myśleniu o matematyce, dostarczając przykładów teorii dedukcyj
nych, innych od tradycyjnych, mających ponad 2000-letnią historię (geometrie nieeu
9 S. C handrasekhar, P raw da i piękno, przekład P. Am sterdam ski, W arszaw a 1999, s. 77.
10 R.D. N ussbaum , A f o lk theorem in the spectral theory Co-semigroups, Pacific Journal o f M athem atics 113 (2), 1984, s. 433-449.
11 Por. uwagi R. Thoma, P arabole i katastrofy, przekł. R. Duda, W arszaw a 1980, s. 33 i nast. - Intere
sująca dyskusja na ten tem at w: Bulletin o f the A m erican M athem atical Society 29 (1), 1993, s. 1-13; 30 (2), 1994, s. 161-211.
klidesowe). Inny spektakularny przykład dostarcza twierdzenie Godla o istnieniu zdań nierozstrzygalnych, kładące kres nadziei na zaksjomatyzowanie matematyki. Z kolei zastosowanie komputerów zmusza dzisiaj do rewizji pojęcia dowodu: czy procedura dowodowa, którą da się zrealizować tylko przy wspomaganiu komputerowym, bo nie może jej ze względu na jej pracochłonność prześledzić jeden człowiek, m oże być trak
towana jako dowód?
Omawiane zjawiska ilustrują zmienność matematyki. O ile np. m atem atyka wieku XIX charakteryzowała się symbiozą z zastosowaniami, składając się z różnych, słabo ze sobą związanych działów, to na przełomie wieku XIX i XX pojawiła się tendencja całościowego ujmowania matematyki. Stało się to za sprawą bardzo abstrakcyjnego traktowania matematyki - udanych prób wydobycia z różnych teorii czynnika „istotne
go”, który okazywał się taki sam dla różnych, do tej pory traktowanych jako odległe, działów matematyki i pozwalał na ujęcie ich w jeden system. W wyniku tego procesu podstawę matematyki tworzą dziś trzy działy: analiza, algebra i topologia.
Niezwykłą i ważną rolę w matematyce odgrywa piękno. W szyscy matematycy są zgodni, że jego rola w matematyce jest wyjątkowa.
Według Diraca, „[Matematycznego piękna] nie można zdefiniować, podobnie jak nie można zdefiniować piękna w sztuce, ale ludzie, którzy zajmują się matematyką, zazwyczaj bez trudu je rozpoznają”12. Ulam: „Estetyczna strona matematyki odgrywała olbrzymią rolę przez cały okres jej rozwoju. Użyteczność twierdzenia nie jest tak istotna, jak jego elegancja.
Niewielu ludzi, nawet jeśli sami są uczonymi, umie w pełni docenić estetyczną wartość ma
tematyki, ale dla matematyków jest ona niezaprzeczalna13. Poincare: „Prostota i wielkość są piękne, dlatego szukamy faktów prostych i faktów wielkich”14.
Piękno nie jest jednak stanem chronicznym matematyki. Jak zauważa Ulam, „Ist
nieją jednak twierdzenia ważne, ale ciężkie i nieeleganckie. N a przykład część prac związanych z cząstkowymi równaniami różniczkowymi jest m oże mniej «piękna»
w formie i stylu, ale chyba posiada «głębię» i może mieć wielkie znaczenie dla zasto
sowań w fizyce”15.
Uważam, że m atem atyka i sztuka m ają wiele punktów pokrewnych. Opinia Ulama 0 matematyce z równą słusznością odnosi się do sztuki:
„Matematyka tworzy nowe, wyimaginowane obiekty i rodzi nowe idee, które zaczynają żyć własnym życiem i rozwijają się niezależnie - można by to nazwać metarzeczywistością.
Gdy już powstaną, nie podlegają kontroli jednej osoby, są własnością całego skupiska umy
słów, którym jest wciąż odnawiający się zbiór matematyków” 16.
Sądzę, że podobieństwo matematyki i sztuki wyraża się nie tylko przez udział kry
teriów estetycznych w procesie tworzenia i ocenie zarówno teorii matematycznej, jak 1 dzieła sztuki. Podobieństwo polega głównie na tym, że zarówno matematyk, jak i artysta nie są niczym skrępowani przy wyborze kierunku twórczości (ten brak skrę
powania uzasadnia też ważność roli, jak ą kryteria estetyczne odgrywają w procesie twórczym w obu dziedzinach).
12 S. C handrasekhar, op. cit., s. 110.
13 S.M. Ulam, op. cit., s. 302.
14 Chandrasekhar, op. cit., s. 98.
15 S.M. Ulam, op. cit., s. 303.
16 Ibidem , s. 317.
W przypadku nauk przyrodniczych świat, który badamy, narzuca ograniczenia kie
runku badania czy założeń badawczych. W przypadku matematyki tego typu ograni
czenia nie istnieją. Przykładem może tu być „dowód” pew nika o równoległych, kon
strukcja systemów matematycznych w oparciu o dość dowolnie przyjęty układ aksjo
matów, procedura „uogólniania twierdzeń” polegająca na badaniu, czy zastane tw ier
dzenie pozostanie prawdziwe przy zmienionych warunkach (słabszych założeniach).
M ożna by się spierać, czy system dedukcyjny, na którym m atem atyka jest oparta, względnie „język matematyki nie pozwalający wyrażać myśli nieprecyzyjnej” jest ogromnym ograniczeniem, jakiego nie znają artyści. Jakże więc tu mówić o swobo
dzie? Sądzę, że ograniczenia te m ają charakter techniczny - przyjęcie ich oznacza za
akceptowanie pewnej dyscypliny (naukowej), są one analogiczne do reguł językow ych w literaturze, systemu tonacji w muzyce czy reguł warsztatowych w malarstwie. D oty
czą one zasad przekazywania (kodowania) informacji, a nie samej informacji. Zrezy
gnowanie z nich pozbawiłoby dzieło zdolności komunikowania, z drugiej zaś strony z samych tych reguł „nic nie wynika”.
Zjawisko kanonu dzieła sztuki przy dopuszczeniu odchyleń od niego (F. Bacon p i
sał: „Nie m a piękności tak doskonałej, iżby nie było w niej jakiejś nieprawidłowości w proporcjach”) 17 robionych z intencją estetyczną („elastyczność” kanonów) m a swój odpowiednik w matematyce, w istnieniu tzw. zdań nierozstrzygalnych, tj. zdań w yra
żonych w języku naturalnym, których prawdziwości nie da się rozstrzygnąć w oparciu o zastaną aksjomatykę. Rozszerzenie aksjomatyki o te zdania (lub ich zaprzeczenia) wzbogaca teorię. Innymi słowy, nowa teoria m atematyczna jest bogatsza od tej, jak ą by otrzymano, biorąc jako punkt wyjścia zastane w niej aksjom aty18. Odpowiednikiem tej sytuacji jest zjawisko kanonu tworzonego przez dzieło sztuki.
Powyższe uwagi wskazują, jak sądzę, na duże analogie między matematykami a artystami w postrzeganiu swej pracy. Istnieje jednak jedna zasadnicza cecha odróż
niająca matematykę od sztuki i powodująca, że w powszechnym przekonaniu m atem a
tyka bardziej jest nauką niż sztuką. Jest nią kwestia postępu. W matematyce (podobnie jak w naukach przyrodniczych) istnieje postęp, o którym chyba trudno mówić w odnie
sieniu do sztuki. Postęp jest możliwy w tych naukach, w których problem będący obiektem badań jest „prosty”, tj. dający się łatwo sformułować. M a to miejsce w przypadku matematyki, w której pytania są tak sformułowane, że zrozumienie ich nie nastręcza zwykle jakichś trudności pojęciowych, względnie wykracza poza daną teorię, np. czy V2 jest liczbą wymierną?, czy istnieje pełny układ aksjomatów w m ate
matyce? N a tak postawione pytania znaleziono odpowiedź, która powoduje, że do nich się ju ż nie wraca.
Problemy, którymi zajmuje się sztuka, są tak złożone, że samo rozstrzygnięcie, co mam na myśli, formułując problem, bywa zadaniem równie trudnym jak jego rozw ią
zanie. Dlatego trudno tu mówić o postępie.
N a koniec warto zauważyć, że przemiany zachodzące w sztuce w ostatnim stuleciu m ają swoje odpowiedniki w przemianach zachodzących w matematyce. Np. „uabstrak- cyjnienie” sztuki, zanik kryteriów estetycznych, porzucenie starych technik plastycz
nych na korzyść nowych, rosnąca specjalizacja (oddzielenie grafiki od malarstwa, gra
fika użytkowa, grafika komputerowa etc.) znajdują odpowiedniki w matematyce, która
17 W. Tatarkiewicz, H istoria estetyki, III, W arszaw a 1991, s. 288, 283.
18 S.M. Ulam, op. cit., s. 311.
staje się coraz bardziej abstrakcyjna, odchodząca od zastosowań będących, jak natura dla malarza, źródłem jej inspiracji. W obec mnogości różnych, często bardzo ezote
rycznych, nowych teorii coraz trudniej stwierdzić, co na prawdę jest matematyką.
Wreszcie pojawienie się „dowodów komputerowych” stawia pod znakiem zapytania nasze dotychczasowe rozumienie dowodu. Samoograniczanie się sztuki przez redukcję środków warsztatowych przypomina tworzenie schematów abstrakcyjnych, redukowa
nia teorii, do poszukiwania „analogii między analogiami” w matematyce.
N a zakończenie m ożna by zapytać, co o m atematykach sądzą niematematycy. M y
ślę, że nikt nie zrobił tego lepiej niż Jonathan Swift w traktacie Podróże Gulliwera (zawierającym również znakomity opis Akademii Nauk), dlatego pozwolę sobie ode
słać zainteresowanych do tego dzieła.
