8. Ruch punktu we współrzędnych biegunowych
prędkość i przyspieszenie punktu w układzie biegunowym
y
x 0
położenie punktu A określone jest przez:
– promień r=r(t)
A
– kąt ϕϕϕϕ=ϕϕϕϕ(t)
r(t) ϕ(t)
tor ruchu punktu
składowe prędkości:
– składowa promieniowa
v
r= r &
vr – składowa kątowa v =ϕ rϕ
&vϕ
prędkość wypadkowa v= vr2+vϕ2
v
składowe przyspieszenia:
– składowa promieniowa
a
r= & r & − r ϕ &
2ar
– składowa kątowa
a
ϕ= r ϕ & & + 2 r & ϕ &
aϕ
przyspieszenie wypadkowe a= ar2+aϕ2
a
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
cos sin
sin cos
v v
y
v v
x
r r
+
=
−
=
&
&
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
cos sin
sin cos
a a
y
a a
x
r r
+
=
−
=
&
&
&
&
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) ogólne wyrażenia na prędkość i przyspieszenie punktu jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a)
b)
c)
d) 0
, cos 2
>
=
=
ω ω
ϕ
ω a t
t a r
0 , 2
1 2
1
>
=
=
k k t k
t k r ϕ
0
0,
0
>
=
=
ω ω
ϕ
ω
r t e r
r t
0 , >
=
=
c t b
b ct r ϕ
Zadanie 2/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku dane są: ϕ=kt (k>0), AD=BD=c, BC=b.
Znaleźćtor, prędkośći przyspieszenie punktu C.
A
B
c
c
C
ϕ D
b
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie A b
c r=2 cosϕ+
kt c k a b k kt c k a
kb kt kc v kt
kc v
r r
sin 4 2
cos 4
cos 2 sin
2
2 2
2 − =−
−
=
+
=
−
=
ϕ
(kardioida) ϕ
c+b b
Dwa pręty połączone ze sobą pod kątem prostym przesuwają się w tulejach A i B mogących obracać się wokół sworzni.
Znaleźćtor, prędkośći przyspieszenie punktu D jeśli AB=CD=b, ϕ=kt (k>0).
A
b ϕ B
b C
D
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie A b
b
r= cosϕ+ ( )
( kt) a bk kt
bk a
kt bk
v kt
bk v
r r
sin 2 cos
2 1
cos 1 sin
2
2 + =−
−
=
+
=
−
=
ϕ
(kardioida) ϕ
b b
Zadanie 4/8
Dwa pręty OA i O1Bpołączone krzyżakiem D mogą obracać się wokół punktów O i O1zachowując cały czas kąt prosty między sobą.
Znaleźćtor, prędkośći przyspieszenie punktu D jeśli OO1=a, ϕ=kt (k>0)
O
a
O1 ϕ
D A B
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O ϕ
cos a r =
kt ak a kt ak a
kt ak v kt ak v
r r
sin 2 cos
2
cos sin
2
2 =−
−
=
=
−
=
ϕ
(okrąg) ϕ
a/2
Pręt OM o długości l wprawiony jest w ruch za pomocą korby O1A, której kąt obrotu wynosi ϕ=kt (k>0).
Znaleźćprędkośći przyspieszenie punktu M, gdy O1O=O1A.
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O 4 0
0 2
2
− =
=
=
=
α α
l a a k
v kl v
r r
O O1
M
A l α
ϕ
Zadanie 6/8
Wewnątrz rurki AB o długości l mogącej obracać się wokół punktu A, znajduje się suwak D połączony z punktem C nitką o długości l.
Znaleźćtor, prędkośći przyspieszenie suwaka, jeśli rurka tworzy z odcinkiem AC kąt ϕ=kt (k>0) a odcinek AC=l.
A ϕ
l
l D
C B
kt l k a kt l k a
kt kl v kt
kl v
r r
cos2 2 2
2 sin 5
sin2 2 2
cos
2
2 =
−
=
=
=
ϕ
Odp.: ϕ
promień r zaczepiony w punkcie A sin2
2 ϕ
l r =
W mechanizmie przedstawionym na rysunku trzpień AB porusza się w górę ze stałą prędkością u.
Podaćrównania ruchu punktu C pręta OC oraz wartośćprędkości tego punktu w momencie, gdy kąt ϕ=π/4, jeśli w chwili początkowej ϕ=0. Dane sąwymiary a oraz l.
l v au
= 2 Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O l
arctgut a
r= ϕ=
O ϕ
l
C a
A B u
Zadanie 8/8
Korba OA, obracając się ze stałą prędkością kątową ω0wokół punktu O, przemiesz- cza pręt AC połączony z nią przegubowo w punkcie A i przesuwający się wewnątrz rurki B obracającej się wokół nieruchomej osi. Znaleźć tor punktu C, podać równania ruchu oraz obliczyć jego prędkość i przyspieszenie, jeśli w chwili początkowej ϕ=0. Dane są wymiary a, b, l (a<b, l>a+b).
O
b ϕ B
C A
a
l
α l-a-b 2a
Odp.:
t a b
t arctg a
t ab b a l r
0 0
0 2
2
cos sin
cos 2
ω α ω
ω
= −
− +
−
=
promień r zaczepiony w punkcie B
