zać równania kwadratowe w ciele C:

Zadania z Algebry I

Seria 1. 27.10.18

1. Rozwia

zać równania kwadratowe w ciele C:

(3+i)z ² +(3−2i)z +(3−i) = 0; z ² +(2+i)z +2−2i = 0; z ² −5z +7+i = 0; (1+i)z ² +(2+3i)z +4−i = 0;

2. Sprawdzić, że z = 1 jest rozwia

zaniem równania z ³ − 9z + 8 = 0 i wykorzystać to do znalezienia pozosta lych rozwia

zań tego równania.

3. Sprowadzić do postaci trygonometrycznej wyrażenia:

1 + cos a + i sin a; 1 − a ² + 2ia, gdzie a = tg a.

4. Niech w = e ^i3π/5 . Sprawdzić, że z = w + _w ¹ spe lnia równanie z ² + z = 1. Jakie równanie spe lnia w?

5. Niech j, j ² oznaczaja

różne od 1 pierwiastki równania z ³ = 1 i niech w ma znaczenie z poprzedniego zadania.

Wykazać, że:

(1 + j ² ) ⁴ = j; (1 − j + j ² )(1 + w − w ² ) = 4; (1 − j)(1 − j ² )(1 − j ⁴ )(1 − j ⁵ ) = 9.

6. Niech w = e ^i2π/n i niech k be

dzie liczba

naturalna

niepodzielna

przez n. Wykazać, że:

1 + w ^k + w ^2k + . . . + w ^(n−1)k = 0;

1 − w ^k + w ^2k − . . . + (−1) ⁿ⁻¹ w ^(n−1)k =

 0 n = 2p

2

1+w

n = 2p + 1 7. Dowieść, że:

(a) 1 + it

1 − it = e 2i arc tg t

dla t ∈ R; (b) z − 1

z + 1 = i tg ϕ

2 dla z = e ^iϕ , ϕ ∈] − π, π[;

(c) z − i

z + i = i tg  ϕ 2 − π

4



dla z = e ^iϕ , ϕ ∈] − π 2 , 3π

2 [;

(d) Jeżeli tg ϕ = i 1 − z

1 + z , to tg nϕ = i 1 − z ⁿ

1 + z ⁿ , dla z ∈ C, z 6= −1 6= z ⁿ , ϕ ∈ R (e)  1 + i tg x

1 − i tg x

 ⁿ

= 1 + i tg nx 1 − i tg nx

8. Znaleźć liczby zespolone z spe lniaja

ce równanie z ⁶ + z ³ z + z ² = 0

9. Podać interpretacje

geometryczna

i naszkicować zbiór: {z ∈ C : Re( _z−5 ^z−i ) = 0}.

10. Wyznaczyć i naszkicować:

(a) obraz pó lp laszczyzny {z ∈ C : Im(z) > 1} w odwzorowaniu f (z) := ^2z−1 _2z+3 ; (b) przeciwobraz {z ∈ C : 0 < arg(z) < π/4} w odwzorowaniu f (z) := ^z+i _z−i ; (c) obraz pó lp laszczyzny {z ∈ C : Re(z) > 0} w odwzorowaniu f (z) := ^z−3 _z+4 11. Sprawdzić, że Q n

k=−n (u ^k −zu ^−k ) = Q n

k=−n (u ^2k −z) = 1−z ²ⁿ⁺¹ dla n ∈ N, u := e

oraz z ∈ C. Zastosować tożsamość do wyprowadzenia wzoru: Q n

k=1 cos _2n+1 ^kπ = ₂ ¹

dla n ∈ N.

12. Dowieść, że jeśli u = e

, to Q n−1

k=1 (1 − u ^k ) = n. Korzystając z tego wyprowadzić (dla m, n ∈ N) następujące wzory: Q n−1

k=1 sin ^kπ _n = ₂

ⁿ ; Q m

k=1 sin _2m ^kπ =

√ m 2

; Q m

k=1 sin _2m+1 ^kπ =

√ 2m+1 2

. 13. Dowieść, że:

n

Y

p=1

(z − λ ^p ) = z ⁿ − λ ⁿ ,

gdzie  jest n-tym pierwiastkiem z jedności,  = e

. 14. Rozwia

zać równania:

(1 + i)z ² + (2 + 3i)z + 4 − i = 0 , z ⁴ + 6z ² + 25 = 0 , z ² − 12z + 61 = 0 ,

z ² − 15|z| + 54 = 0 , z ⁴ + 2iz ² = 0 , z ³ + 6z + 2 = 0 , z ³ + 3z ² − 3z − 1 = 0 , z ³ − 9z − 9 = 0.

1

15. Wykazać, że:

sin ₂₂ ^π − sin ^3π ₂₂ + sin ^5π ₂₂ − sin ^7π ₂₂ + sin ^9π ₂₂ = ¹ ₂ (wsk: suma pierwiastków 11-tego stopnia z 1 jest równa 0);

P n

k=−n cos kϕ = ^sin(n+

1 2

)ϕ

sin(ϕ/2) (dla sin ^ϕ ₂ 6= 0);

P n k=0

 n k



cos(2k + 1)ϕ = 2 ⁿ cos ⁿ ϕ cos(n + 1)ϕ.

16. Dla liczby naturalnej n i ϕ ∈ R obliczyć P n

k=1 2 ^k cos(kϕ).

17. Dla ustalonej liczby naturalnej n, znaleźć wszystkie zespolone rozwia

zania równania: 1 + x + x ² + · · · + x ⁿ = 0.

18. Wykazać, że jeśli z + ¹ _z = 2 cos ϕ, to z ⁿ + _z ¹

= 2 cos nϕ.

19. Obliczyć cos ^π ₅ .

2