Arytmetyka teoretyczna
LISTA 5. Równania diofantytyczne. Równania ax + by = c oraz x2+ y2 = z2.
Zad. 1. Udowodnić:
Twierdzenie 1. Równanie
(∗) ax + by = c
o współczynnikach całkowitych ma rozwi¸azanie w zbiorze liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy N W D(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb (k, l) jest rozwi¸azniem równania (∗), to zbiór rozwi¸azań całkowitych równania (∗) składa si¸e ze wszystkich par (k + tb1, l − ta1), t ∈ Z, gdzie a1 = a/N W D(a, b) i b1 = b/N W D(a, b).
Wersja ogólna:
Twierdzenie 2.
Równanie
a1x1+ a2x2+ ... + anxn= c , n ≥ 2,
o współczynnikach całkowitych ma rozwi¸azanie w zbiorze liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy N W D(a1, ..., an) dzieli c.
Zad. 2. Udowodnić:
Lemat. Gdy n > 1, to najwi¸ekszy wspólny dzielnik liczb całkowitych a1, a2..., an, z których co najmniej jedna jest różna od 0, daje si¸e przedstawić w postaci
a1c1+ a2c2+ ... + ancn , gdzie c1, ..., cn s¸a całkowite.
Dzielnik ten jest najmniejsz¸a liczb¸a naturaln¸a takiej postaci.
Zad. 3. Znaleźć całkowite rozwi¸azania równań:
(a) 2x + 5y = 6 (b) 12x + 7y + 9z = 5.
Rozwi¸azanie k, l, m ∈ N \ {0} równania (∗∗)x2+ y2 = z2 nazywa si¸e właściwym, jeśli (k, l) = 1.
1
Twierdzenie 3. Wszystkie rozwi¸azania właściwe równania x2+ y2 = z2, w których y jest parzysta, otrzymujemy ze wzorów
x = m2− n2 , y = 2mn , z = m2 + n2,
bior¸ac za m, n wszystkie pary liczb naturalnych wzgl¸ednie pierwszych, w których tylko jedna z liczb jest parzysta i n < m.
Twierdzenie 4. Istnieje nieskończenie wiele rozwi¸azań równania x2+ y2 = z2 takich, że x, y s¸a kolejnymi liczbami naturalnymi.
Zad. 4. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele rozwi¸azań równania (∗∗) takich, że z = y + 1.
Zad. 5. Znaleźć wszystkie trójk¸aty prostok¸atne, których boki maj¸a dlugości wyrażaj¸ace si¸e liczbami naturalnymi, a pole jest równe obwodowi.
Zad. 6. Pokazać, że jedynym rozwi¸azaniem naturalnym równania 3n+ 4n= 5n jest n = 2.
Zad. 7. Pokazać, że dla żadnej liczby n > 1 równanie xn+ yn = zn nie ma rozwi¸azania w liczbach pierwszych x, y, z.
2
