JJ,IMiFUTP SZEREGILICZBOWE

Wykłady z matematyki inżynierskiej, wersja rozszerzona: z rozwiązanymi zadaniami

SZEREGI LICZBOWE

JJ, IMiF UTP

25

DEFINICJA.

Szereg (liczbowy) to wyrażenie

a₁+ a₂+ · · · =

∞

X

n=1

a_n, gdzie a₁, a₂, . . . to liczby rzeczywiste.

Jeżeli istnieje skończona granica

S = lim

n→∞S_n,

gdzie S_n= a₁+ a₂+ · · · + a_n, to granicę tę nazywamy sumą szeregu, a szereg nazywamy zbieżnym.

W przeciwnym razie szereg jest rozbieżny; gdy S = ∞ (lub S = −∞), to

PRZYKŁAD.

∞

X

n=1

0 = 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0,

∞

X

n=1

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ∞,

∞

X

n=1

1 2

n

= 1

(jeśli |q| < 1, to szereg geometryczny jest zbieżny oraz ^P∞_n=0aqⁿ= _1−q^a ).

WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU.

Jeżeli ^P∞_n=1a_n jest zbieżny, to lim_n→∞a_n= 0.

(Oznacza to, że jeśli limn→∞an nie jest 0, to szereg jest rozbieżny.) PRZYKŁAD.

Szereg ^P∞_n=1(−1)ⁿ⁺¹= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . jest rozbieżny, bo jego wyrazy nie dążą do zera.

PRZYKŁAD.

Szereg ^P∞_n=1√ⁿ

n jest rozbieżny, bo jego wyrazy nie dążą do zera;

limn→∞ ⁿ

√n = 1.

UWAGA.

Zmiana skończonej liczby wyrazów w szeregu nie wpływa na jego zbieżność (oczywiście wpływa na jego sumę, o ile jest zbieżny).

PRZYKŁAD.

∞

X

n=1

1 2

n

= 1 2 +1

4 +1 8 + 1

16 + · · · = 1,

∞

X

n=0

1 2

n

= 1 + 1 2+1

4 +1

8 + · · · = 2,

1 + 2 + 3 + 4 +

∞

X

n=2

1 2

n

= 1 + 2 + 3 + 4 + 1 4 +1

8 + · · · = 10, 5.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE.

Załóżmy, że 0 ¬ a_n¬ b_n dla n = 1, 2, . . . .

Jeżeli ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to ^P∞_n=1a_n też jest zbieżny.

Jeżeli ^P∞_n=1an jest rozbieżny (do +∞), to ^P∞_n=1bn też jest rozbieżny (do +∞).

PRZYKŁAD. P∞

n=12ⁿ−1

3ⁿ+1 jest zbieżny, gdyż 2ⁿ− 1 3ⁿ+ 1 < 2ⁿ

3ⁿ =^2 3

n

,

a szereg geometryczny ^P∞_n=1^2₃^n (majoranta) jest zbieżny.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE.

Załóżmy, że 0 ¬a_n¬b_n dla n = 1, 2, . . . .

Jeżeli ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to ^P∞_n=1a_n też jest zbieżny.

Jeżeli ^P∞_n=1an jest rozbieżny (do +∞), to ^P∞_n=1bn też jest rozbieżny (do +∞).

PRZYKŁAD.

P∞ n=12ⁿ−1

3ⁿ+1 jest zbieżny, gdyż 2ⁿ− 1 3ⁿ+ 1 < 2ⁿ

3ⁿ =^2 3

n

,

a szereg geometryczny ^P∞_n=1^2₃^n (majoranta) jest zbieżny.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE.

Załóżmy, że 0 ¬ a_n¬ b_n dla n = 1, 2, . . . .

Jeżeli ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to ^P∞_n=1a_n też jest zbieżny. Jeżeli P∞

n=1an jest rozbieżny (do +∞), to ^P∞_n=1bn też jest rozbieżny (do +∞).

PRZYKŁAD. P∞

n=13ⁿ+1

2ⁿ−1 jest rozbieżny, gdyż 3ⁿ+ 1 2ⁿ− 1 > 3ⁿ

2ⁿ =^3 2

n

,

a szereg geometryczny ^P∞_n=1^3₂^n (minoranta) jest rozbieżny.

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE.

Załóżmy, że 0 ¬a_n¬b_n dla n = 1, 2, . . . .

Jeżeli ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to ^P∞_n=1a_n też jest zbieżny. Jeżeli P∞

n=1an jest rozbieżny (do +∞), to ^P∞_n=1bn też jest rozbieżny (do +∞).

PRZYKŁAD.

P∞ n=13ⁿ+1

2ⁿ−1 jest rozbieżny, gdyż 3ⁿ+ 1 2ⁿ− 1 > 3ⁿ

2ⁿ =^3 2

n

,

a szereg geometryczny ^P∞_n=1^3₂^n (minoranta) jest rozbieżny.

KRYTERIUM ILORAZOWE.

Załóżmy, że a_n> 0 oraz b_n> 0 dla n = 1, 2, . . . . Jeżeli istnieje limn→∞ an

bn i jest liczbą dodatnią (to znaczy nie jest zerem i nie jest +∞), to ^P∞_n=1a_n oraz ^P∞_n=1b_n są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

PRZYKŁAD. ^P∞_n=1sin 2⁻ⁿ jest zbieżny, gdyż

n→∞lim

sin 2⁻ⁿ 2⁻ⁿ = 1

a szereg geometryczny ^P∞_n=12⁻ⁿ=^P∞_{n=1 2}¹n jest zbieżny.

KRYTERIUM d’ALEMBERTA.

Załóżmy, że an> 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje limn→∞ an+1

an = g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest rozbieżny.

PRZYKŁAD. P∞

n=1 n

2ⁿ jest zbieżny, gdyż

n→∞lim an+1

a_n = lim

n→∞ n+1 2ⁿ⁺¹ n 2ⁿ

= lim

n→∞

(n + 1) · 2ⁿ

2ⁿ⁺¹· n = lim

n→∞

n + 1 n · 2ⁿ

2ⁿ⁺¹

= lim

n→∞

1 +1 n

· 2ⁿ

2ⁿ· 2 = lim

n→∞(1 + 0) ·1 2 = 1

2< 1

KRYTERIUM d’ALEMBERTA.

Załóżmy, że an> 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje limn→∞ an+1

an = g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest rozbieżny.

PRZYKŁAD.

P∞ n=1 n

2ⁿ jest zbieżny, gdyż

n→∞lim an+1

a_n = lim

n→∞

n+1 2ⁿ⁺¹ n 2ⁿ

= lim

n→∞

(n + 1) · 2ⁿ

2ⁿ⁺¹· n = lim

n→∞

n + 1 n · 2ⁿ

2ⁿ⁺¹

= lim^1 +1^

· 2ⁿ

= lim (1 + 0) ·1

= 1

< 1

KRYTERIUM d’ALEMBERTA.

Załóżmy, że an> 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje limn→∞ an+1

an = g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest rozbieżny.

PRZYKŁAD.

P∞ n=13ⁿ

n! jest zbieżny, gdyż

n→∞lim an+1

a_n = lim

n→∞

3ⁿ⁺¹ (n+1)!

3ⁿ n!

= lim

n→∞

3ⁿ⁺¹ (n + 1)!· n!

3ⁿ

= lim

n→∞

3ⁿ· 3 · n!

n!(n + 1) · 3ⁿ = lim

n→∞

3

n + 1 = 0< 1.

KRYTERIUM d’ALEMBERTA.

Załóżmy, że a_n> 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje lim_n→∞ ^an+1_a

n = g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny.

PRZYKŁAD.

P∞ n=1

(2n)!

(n!)² jest rozbieżny, gdyż

n→∞lim a_n+1

an

= lim

n→∞

[2(n+1)]!

[(n+1)!]² (2n)!

(n!)²

= lim

n→∞

(2n + 2)!

[n!(n + 1)]² · (n!)² (2n)!

(2n)!(2n + 1)(2n + 2) 1 (2n + 1)(2n + 2)

KRYTERIUM CAUCHY’EGO.

Załóżmy, że a_n­ 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje lim_n→∞√ⁿ

a_n= g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny.

PRZYKŁAD.

P∞ n=1

3ⁿ+3+sin n 3ⁿ⁺¹+2ⁿ

n

jest zbieżny, gdyż

n→∞lim

√n

an= lim

n→∞

n

s3ⁿ+ 3 + sin n 3ⁿ⁺¹+ 2ⁿ

n

= lim

n→∞

3ⁿ+ 3 + sin n 3 · 3ⁿ+ 2ⁿ

= lim

n→∞

3ⁿ

3ⁿ +₃³n +^{sin n}₃n

3·3ⁿ 3ⁿ + ²₃ⁿn

= lim

n→∞

1 +₃³n +^{sin n}₃n

3 + ²₃
ⁿ = 1 + 0 + 0 3 + 0 = 1

3< 1.

KRYTERIUM CAUCHY’EGO.

Załóżmy, że an­ 0 dla n = 1, 2, . . . oraz że istnieje lim_n→∞√ⁿ

an= g . Jeżeli g < 1, to szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny.

Jeżeli g > 1, to szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny.

PRZYKŁAD.

P∞ n=1

n+1 n

n²

jest rozbieżny, gdyż

n→∞lim

√n

a_n= lim

n→∞

n

s

n + 1 n

n²

= lim

n + 1^n

= lim



1 + 1^n

= e> 1.

KRYTERIUM CAŁKOWE.

Załóżmy, że funkcja f (x ) jest monotoniczna i dodatnia w przedziale [m, ∞), gdzie m to pewna liczba naturalna.

Wtedy ^P∞_n=mf (n) oraz ^R_m^∞f (x )dx są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

PRZYKŁAD.

Zbadaj zbieżność szeregu harmonicznego

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2+1

3 + . . . .

Zastosujemy kryterium d’Alemberta:

n→∞lim a_n+1

an

= lim

n→∞

1 n+1

1 n

= lim

n→∞

n n + 1 = 1.

Kryterium tonie rozstrzygao zbieżności szeregu (granica nie jest ani większa od 1, ani mniejsza od 1).

Zastosujemy kryterium Cauchy’ego:

lim √ⁿ

a_n= lim 1

√n

n = 1.

SZEREG HARMONICZNY.

Szereg harmoniczny ^P∞_n=1 ¹_n = 1 +¹₂ +¹₃ + . . . jest rozbieżny.

Skorzystamy z kryterium całkowego. Funkcja f (x ) = ¹_x jest dodatnia i malejąca w przedziale [1, ∞). Oczywiście f (n) = ¹_n.

Ponadto Z ∞

1

1

xdx = lim

T →∞

Z T 1

1

xdx = lim

T →∞

ln |x |^T₁ = lim

T →∞(ln |T | − ln 1) = +∞.

Całka jest rozbieżna,

więc szereg ^P∞_n=1¹_n też jest rozbieżny.

SZEREG HARMONICZNY RZĘDU α.

Szereg harmoniczny rzędu α

∞

X

n=1

1 n^α

jest rozbieżny gdy α ¬ 1, natomiast jest zbieżny gdy α > 1.

Dla α = 1 szereg jest rozbieżny, załóżmy więc, że α 6= 1. Skorzystamy z kryterium całkowego. Funkcja f (x ) = _x¹α jest dodatnia w przedziale [1, ∞). Ponadto w tym przedziale jest malejąca, gdy α > 0, jest stała dla α = 0 oraz jest rosnąca, gdy α < 0. Oczywiście f (n) = _n¹α.

P∞ n=1

1 n^α

Ponadto

Z ∞ 1

1

x^αdx = lim

T →∞

Z T 1

x^−αdx

= lim

T →∞

 1

1 − αx^1−αT₁ = lim

T →∞

1

1 − αT^1−α− 1

1 − α1^1−α
. Gdy α > 1, to lim_{T →∞}T^1−α = lim_{T →∞T}α−1¹ = 0;

całka, a więc i szereg, są zbieżne.

Gdy α < 1, to lim_{T →∞}T^1−α = ∞;

całka, a więc i szereg, są rozbieżne.

KOLEJNY PRZYKŁAD

Zbadaj zbieżność szeregu P∞ n=1

arctgn 1+n² .

Zastosujemy kryterium całkowe. Naszą funkcją f może być f (x ) = ^arctgx_1+x2 . Aby sprawdzić, czy ta funkcja jest monotoniczna ustalimy znak pochodnej.

f⁰(x ) =

1

1+x² · (1 + x²) − 2x · arctgx

(1 + x²)² = 1 − 2x · arctgx (1 + x²)²

Zauważmy, że f⁰(x ) < 0 dla x ­ 2, zatem f maleje w przedziale [2, +∞].

Zbadamy teraz zbieżność całki:

Z ∞ 1

arctgx

1 + x²dx = lim

T →+∞

Z T 1

arctgx

1 + x²dx = lim

T →+∞

 1

2arctg²xT 1

= lim 1

2arctg²T − 1

2arctg²1
= 1 2 · π

2

2

−1 2· π

4

2

= 3 32π²

KRYTERIUM LEIBNIZA.

Załóżmy, że d₁ > d₂> d₃ > · · · > 0 oraz że lim_n→∞d_n= 0.

Wtedy szereg naprzemienny

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹d_n jest zbieżny.

Oczywiście zbieżny jest także szereg naprzemienny

∞

X

n=1

(−1)ⁿdn.

SZEREG ANHARMONICZNY.

Szereg anharmoniczny

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹1

n = 1 −1 2 +1

3 −1 4+ . . . jest zbieżny.

Stosujemy kryterium Leibniza:

ciąg (¹_n) jest malejący, a jego wyrazy dążą do zera.

ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA

WŁASNOŚĆ.

Jeżeli zbieżny jest szereg ^P∞_n=1|a_n|, to szereg ^P∞_n=1a_n też jest zbieżny (mówimy wtedy, że jest zbieżny bezwzględnie).

PRZYKŁAD. Szereg 1 + 1

2² − 1 3² − 1

4² + 1 5² + 1

6² − 1 7² − 1

8² + . . .

jest zbieżny (nawet bezwzględnie), gdyż szereg z wartości bezwzględnych tych wyrazów:

1 + 1 2² + 1

3² + 1

4² + · · · =

∞

X

n+1

1 n² jest zbieżny ( α = 2> 1).