JJ,IMiFUTP EKSTREMAFUNKCJI

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej

EKSTREMA FUNKCJI

JJ, IMiF UTP

05

(2)

MINIMUM LOKALNE

x y

y = f (x )

x0

f (x0)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀.

Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x0, że

^

x ∈S

f (x ) > f (x₀).

(3)

MINIMUM LOKALNE

x y

y = f (x )

x0

f (x0)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x0, że

^

x ∈S

f (x ) > f (x₀).

(4)

MINIMUM LOKALNE

x y

x0

f (x0)

y = f (x )

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x₀, że

^

x ∈S

f (x ) > f (x₀).

(5)

MAKSIMUM LOKALNE

x y

y = f (x )

x0

f (x0)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀.

Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x0, że

^

x ∈S

f (x ) < f (x₀).

(6)

MAKSIMUM LOKALNE

x y

y = f (x )

x0

f (x0)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x0, że

^

x ∈S

f (x ) < f (x₀).

(7)

MAKSIMUM LOKALNE

x y

y = f (x )

x0

f (x0)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa¸siedztwoS punktu x0, że

^

x ∈S

f (x ) < f (x0).

(8)

GDY JEST EKSTREMUM, TO...

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym i ma ekstremum w punkcie x0 z tego przedziału, to f⁰(x0) = 0.

Dowód. Załóżmy, że f ma w x₀ minimum. Wtedy

f (x ) − f (x₀) > 0 dla x z pewnego sa¸siedztwa S punktu x₀. Zatem dla x ∈ S iloraz różnicowy f (x )−f (x0)

x −x0 jest ujemny dla x < x₀ oraz dodatni dla x > x₀. Oznacza to, że

lim_{x →x}⁻

0

f (x )−f (x0)

x −x0 ¬ 0 oraz lim_{x →x}⁺

0

f (x )−f (x0)

x −x0  0. Ponieważ obie granice sa¸ sobie równe (pochodna istnieje), wie¸c

f⁰(x₀) = lim_{x →x}₀ f (x )−f (x0) x −x0 = 0.

Podobnie, gdy f ma w x0 maksimum, to granica lewostronna ilorazu różnicowego jest nieujemna, a prawostronna jest

niedodatnia. Ponieważ obie granice sa¸ sobie równe, wie¸c granica ta to zero.

(9)

KIEDY WYSTĘPUJE EKSTREMUM?

WARUNEK WYSTARCZAJA¸ CY ISTNIENIA EKSTREMUM (I).

Załóżmy że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym sa¸siedztwie punktu x0 i że jest cia¸gła w x0. Jeżeli pochodna f⁰ przy przejściu przez x₀ zmienia znak z „+” na „-”, to funkcja f ma maksimum lokalne w tym punkcie. Jeżeli pochodna f⁰ przy przejściu przez x₀ zmienia znak z „-” na „+”, to funkcja f ma minimum lokalne w tym punkcie.

Dowód. Załóżmy, że istnieje sa¸siedztwo S punktu x₀, że

f⁰(x ) > 0 dla x < x0, x ∈ S oraz f⁰(x ) < 0 dla x > x0, x ∈ S . Oznacza to, że funkcja f przechodzi z rosna¸cej w maleja¸ca¸, a wie¸c f (x₀) > f (x ) dla x < x₀, x ∈ S oraz f (x₀) > f (x ) dla

x > x0, x ∈ S . Zatem f ma maksimum lokalne w x0. Podobnie, jeżeli pochodna f⁰ przy przejściu przez x0 zmienia znak z „-” na

„+”, to funkcja f przechodzi z maleja¸cej w rosna¸ca¸ i ma minimum lokalne w x₀.

(10)

KIEDY WYSTĘPUJE EKSTREMUM?

WARUNEK WYSTARCZAJA¸ CY ISTNIENIA EKSTREMUM (II).

Załóżmy że funkcja f ma cia¸gła¸ pochodna¸ drugiego rze¸du w pewnym otoczeniu punktu x₀ oraz że f⁰(x₀) = 0.

1. Jeżeli f⁰⁰(x0) < 0, to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.

2. Jeżeli f⁰⁰(x₀) > 0, to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne.

3. Załóżmy, że f⁰⁰(x₀) = 0 i że f (x ) ma pochodne wyższych rze¸dów wła¸cznie z pochodna¸ f⁽ⁿ⁾(x ) oraz załóżmy że f⁽ⁿ⁾(x ) jest cia¸gła w x0. Ponadto niech

f⁰⁰(x0) = · · · = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0, f⁽ⁿ⁾(x0) 6= 0.

Jeżeli n jest liczba¸ nieparzysta¸, to funkcja f nie ma ekstremum w x0. Jeżeli n jest liczba¸ parzysta¸, to f ma ekstremum lokalne w x₀ i to maksimum, jeśli f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, a minimum jeśli f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0.

(11)

WARUNEK WYSTARCZAJA ¸ CY ISTNIENIA EKSTREMUM (II).

Dowód tylko cze¸ści 1 i 2. Jeżeli f⁰⁰(x0) < 0 i f⁰⁰ jest cia¸gła, to istnieje takie otoczenie Q punktu x₀, że f⁰⁰(x ) < 0 dla x ∈ Q.

Ponieważ f⁰⁰= (f⁰)⁰, wie¸c f⁰ jest funkcja¸ maleja¸ca¸ w Q. Zatem z warunku f⁰(x0) = 0 wnioskujemy, że f⁰(x ) > 0 dla

x < x₀, x ∈ Q oraz f⁰(x ) < 0 dla x > x₀, x ∈ Q.

Z warunku wystarczaja¸cego (I) wiemy, że w x₀ funkcja f ma maksimum lokalne.

Podobnie, jeśli f⁰⁰(x₀) > 0, to istnieje takie otoczenie Q punktu x₀, że funkcja f⁰ jest rosna¸ca w Q. Oznacza to, że f⁰ przy przejściu przez x0 zmienia znak z „-” na „+”, a zatem funkcja f ma

minimum lokalne w x₀.

(12)

PRZYKŁAD 1.

W których punktach funkcja f (x ) = ¹₆x⁶− ²₅x⁵−¹₄x⁴+²₃x³ osiąga ekstremum?

Df = R

f⁰(x ) = x⁵− 2x⁴− x³+ 2x²= x²(x + 1)(x − 1)(x − 2) D_f⁰ = R = Df

Miejsca zerowe pochodnej to x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1, x4= 2.

Są to punkty „podejrzane” (w innych punktach funkcja f (x ) na pewno nie osiąga ekstremum, w tych być może osiąga).

Nie musimy rysować wykresu funkcji pochodnej, który wygląda tak:

(13)

Wykres funkcji pochodnej.

x y

y = f⁰(x )

(14)

f

⁰

(x ) = x

²

(x + 1)(x − 1)(x − 2)

Nie musimy rysować wykresu funkcji pochodnej.

Wystarczy, że ustalimy jej znaki.

Miejsca zerowe pochodnej to x₁ = 0, x₂ = −1, x₃ = 1, x₄= 2.

−1 0 1 2 x

− + +

− +

znaki f⁰(x )

Oznacza to, że funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie x2 = −1 oraz x4= 2, osiąga też maksimum lokalne dla x3 = 1.

(15)

Ilustracja: wykres funkcji f (x ).

Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie x2 = −1 oraz x₄ = 2, osiąga też maksimum lokalne dla x₃ = 1.

x y

y = f (x )

(16)

PRZYKŁAD 2.

Znajdź ekstrema funkcji f (x ) = ³

√

x²· (x − 5).

D_f = R f⁰(x ) = 2

3x⁻¹³(x − 5) + x²³ · 1 = 2x − 10 + 3x²³ · x¹³ 3x¹³

= 5x − 10 3√³

x D_f⁰ = R \ {0} 6= Df

Miejsce zerowe pochodnej to x₁ = 2.

Punkty „podejrzane” to x1 = 2 oraz x2= 0 (w pierwszym pochodna się zeruje, w dugim pochodna nie istnieje, choć punkt ten należy do dziedziny funkcji).

(17)

f

⁰

(x ) =

^{5x −10}₃√3

x

Ustalamy znaki pochodnej.

Punty „podejrzane”: x₁ = 2 oraz x₂= 0.

2 x 0

− + +

znaki f⁰(x )

Oznacza to, że funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie x₁= 2 oraz maksimum lokalne dla x2 = 0.

(18)

Ilustracja: wykres funkcji f (x ).

Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie x1= 2 oraz maksimum lokalne dla x2 = 0.

x y

y = f (x )

(19)

EKSTREMA GLOBALNE

DEFINICJA. Liczbe¸ M nazywamy wartościa¸ najwie¸ksza¸ (maksimum globalnym) funkcji f w zbiorze D, jeżeli

_

x1∈D

f (x1) = M ∧ ^{^}

x ∈D

f (x ) ¬ M.

x y

y = f (x ) M

x1

(20)

EKSTREMA GLOBALNE

DEFINICJA. Liczbe¸ m nazywamy wartościa¸ najmniejsza¸ (minimum globalnym) funkcji f w zbiorze D, jeżeli

_

x2∈D

f (x₂) = m ∧ ^{^}

x ∈D

f (x ) m.

x y

y = f (x ) M

x1

m

x2

(21)

Wartość największa M i najmniejsza m funkcji f (x ) w zbiorze D .

x y

y = f (x )

m

x2

x1

M

(22)

„dla nas” ekstrema globalne istnieją „zawsze”

TWIERDZENIE. Funkcja cia¸gła w przedziale domknie¸tym osia¸ga w pewnych punktach tego przedziału swoja¸ wartość najwie¸ksza¸ i najmniejsza¸.

(23)

Jak znaleźć wartości naj... ?

Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b]

wystarczy:

1. znaleźć punkty „podejrzane o ekstremum” w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje);

2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach;

3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału);

4. z uzyskanych liczb wybrać najwie¸ksza¸ i najmniejsza¸.

(24)

Jak znaleźć wartości naj... ?

wystarczy:

(25)

Jak znaleźć wartości naj... ?

wystarczy:

(26)

Jak znaleźć wartości naj... ?

wystarczy:

(27)

Jak znaleźć wartości naj... ?

wystarczy:

(28)

Jak znaleźć wartości naj... ?

wystarczy:

(29)

Jak znaleźć wartości naj... ?

PRZYKŁAD.

Znajdź wartość najwie¸ksza¸ i najmniejsza¸ funkcji f (x ) =^q³ (x²− 1)² w przedziale [−2,¹₂].

Dziedzina funkcji: D_f = R.

Szukamy punktów „podejrzanych” o ekstremum.

Pochodna: f⁰(x ) = (x²− 1)²³⁰ = ²₃(x²− 1)⁻¹³ · 2x = ^4x

3√³ x²−1. Dziedzina pochodnej: D_f⁰ = R \ {−1, 1}.

Oczywiście, f⁰(x ) = 0 ⇔ x = 0.

Punkty „podejrzane” o ekstremum lokalne funkcji f to x₀ = 0, x1 = −1, x2 = 1 (w pierwszym z nich pochodna sie¸ zeruje, w pozostałych pochodna nie istnieje, choć funkcja istnieje).

(30)

Znajdź wartość najwie¸ksza ¸ i najmniejsza ¸ funkcji f (x ) =

^q³

(x

²

− 1)

²

w przedziale [−2,

¹₂

].

Punkty „podejrzane” o ekstremum lokalne funkcji f to x0 = 0, x₁ = −1, x₂ = 1.

Punkty „podejrzane” należa¸ce do rozważanego przedziału [−2,¹₂] to

x0 = 0, x1 = −1.

Obliczamy: f (0) = 1, f (−1) = 0, f (−2) =√³

9, f (¹₂) =^q³ ₁₆⁹. Wartość najwie¸ksza to √³

9, wartość najmniejsza to 0.

(31)

Wartością najwie¸ksza ¸ funkcji f (x ) =

^q³

(x

²

− 1)

²

w przedziale [−2,

¹₂

] jest √

³

9, wartością najmniejszą jest 0.

x y

y =^q³(x²− 1)²

−1 1

−2 0 ¹₂

√3

9

(32)

Wartością najwie¸ksza ¸ funkcji f (x ) =

^q³

(x

²

− 1)

²

w przedziale [−2,

¹₂

] jest √

³

9, wartością najmniejszą jest 0.

x y

y =^q³(x²− 1)²

−1 1

−2 0 ¹₂

√3

9

(33)

Wartością najwie¸ksza ¸ funkcji f (x ) =

^q³

(x

²

− 1)

²

w przedziale [−2,

¹₂

] jest √

³

9, wartością najmniejszą jest 0.

x y

y =^q³(x²− 1)²

−1 1

−2 0 ¹₂

√3

9