JJ,IMiFUTP Ekstremalokalnefunkcjidwóchzmiennych

Wykłady z matematyki inżynierskiej, wersja rozszerzona: z rozwiązanymi zadaniami

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

JJ, IMiF UTP

18a

Ekstrema lokalne

DEFINICJA.

Załóżmy, że funkcja f (x , y ) jest określona w pewnym otoczeniu Q punktu (x

, y

). Mówimy, że funkcja f (x , y ) osiąga w punkcie (x

, y

) minimum lokalne, gdy istnieje sąsiedztwo S punktu (x

, y

) zawarte w zbiorze Q takie, że

^

(x ,y )∈S

f (x , y ) > f (x

, y

).

Inaczej:

w pewnym sąsiedztwie punktu (x

, y

) funkcja osiąga tylko wartości większe od f (x

, y

).

Na wykresie w tym miejscu pojawi się lokalny “dołek”.

PRZYKŁAD 1. Funkcja f (x , y ) = x²+ y² osiąga minimum lokalne w punkcie (0, 0).Funkcja osiąga w punkcie (0, 0) (dla x = 0 i y = 0) wartość 0, a “obok” przyjmuje wartości większe (dodatnie).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6 8

x y

z

2 4 6 8 f (x , y )

PRZYKŁAD 2. Funkcja f (x , y ) = x

− 5xy + y

osiąga minimum lokale w punkcie (1, 1).

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0

0.5 1

−2 0 2 4 6

x y

z

−2

−1 0 1 2 3 4 5 6

Ekstrema lokalne

Mówimy, że funkcja f (x , y ) osiąga w punkcie (x

, y

) maksimum lokalne, gdy istnieje sąsiedztwo S punktu (x

, y

) zawarte w zbiorze Q takie, że

^

(x ,y )∈S

f (x , y ) < f (x

, y

).

Inaczej:

w pewnym sąsiedztwie punktu (x

, y

) funkcja osiąga tylko wartości wartości mniejsze od f (x

, y

).

Na wykresie w tym miejscu pojawi się lokalna “górka”.

PRZYKŁAD 3. Funkcja f (x , y ) = 4 − x²− y² osiąga maksimum lokalne w punkcie (0, 0). Funkcja osiąga w punkcie (0, 0) (dla x = 0 i y = 0) wartość 4, a “obok” przyjmuje wartości mniejsze.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

−4

−2 0 2

x y

z

−4

−2 0 2 f (x , y )

PRZYKŁAD 4. Funkcja f (x , y ) = x

+ 5xy + y

osiąga maksimum lokalne w punkcie (−1, −1).

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5 0

−4

−2 0 2

x y

z

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3

PRZYKŁAD 5. Funkcja f (x , y ) = 4 + x²− y² nie osiąga ani maksimum lokalnego (nie ma lokalnej “górki”), ani minimum lokalnego (nie ma lokalnego “dołka”).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6

x y

z

0 2 4 6 8 f (x , y )

PRZYKŁAD 6. Funkcja f (x , y ) = x³− 3x + y³− 3y osiąga minimum lokale w punkcie (1, 1) oraz maksimum lokalne w punkcie (−1, −1).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1 0 1 2

−4

−2 0 2 4

x y

z

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM

Jeżeli funkcja f (x , y ) ma ekstremum lokalne w punkcie (x

, y

) i jeżeli istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x

, y

), to

f

(x

, y

) = 0 i f

(x

, y

) = 0.

Zatem punkty, w których obie pochodne cząstkowe się zerują są “podejrzane” o ekstremum.

Funkcja może w takim punkcie osiągnąć ekstremum, ale nie musi.

ZADANIE. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = e^y + x⁴⁴. Dziedziną funkcji jest R²(co oznacza, że x ∈ R oraz y ∈ R).

Obliczamy pochodne pierwszego rzędu: f_x⁰ = 44x⁴³, f_y⁰ = e^y i przyrównujemy je do zera: 44x⁴³= 0, e^y = 0. Rozwiązaniem pierwszego równania jest x = 0, drugie równanie NIE MA rozwiązania (funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie). Nie ma punktów “podejrzanych” o ekstremum.

ODPOWIEDŹ. Nasza funkcja nie osiąga ekstremów lokalnych.

PRZYKŁAD 7. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

− 32x + y

+ 6y ,

Dziedziną funkcji jest R

.

Obliczamy pochodne pierwszego rzędu:

f

= 4x

− 32, f

= 6y

+ 6 i przyrównujemy je do zera:

(

4x

− 32 = 0 6y

+ 6 = 0 .

Rozwiązaniem pierwszego równania x

− 8 = 0 jest x = 2, a drugiego y = −1.

Punktem “podejrzanym” o ekstremum jest P

(2, −1).

Pozostaje sprawdzić, czy w tym punkcie nasza funkcja osiąga ekstremum,

a jeśli tak, to jakie.

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM

OZNACZENIE. Wyrażenie

D(x , y ) =

f

(x , y )

− f

(x , y )f

(x , y ) nazywamy wyróżnikiem funkcji f w punkcie (x , y ).

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM .

Załóżmy, że w pewnym otoczeniu punktu (x

, y

) istnieją ciągłe pochodne drugiego rzędu funkcji f (x , y ) oraz że f

(x

, y

) = 0 i f

(x

, y

) = 0.

1

Jeżeli D(x

, y

)> 0, to funkcja f

w punkcie (x

, y

).

2

Jeżeli D(x

, y

)< 0, to funkcja f

lokalne w punkcie (x

, y

);

gdy f

(x

, y

)< 0, to osiąga

a gdy f

(x

, y

)> 0 to osiąga

PRZYKŁAD 7.

Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x⁴− 32x + y⁶+ 6y , ciąg dalszy.

Przypomnienie: f_x⁰= 4x³− 32, f_y⁰= 6y⁵+ 6.

Punktem “podejrzanym” o ekstremum jest P₀(2, −1).

Aby wyliczyć wyróżnik obliczymy pochodne drugiego rzędu:

f_xx⁰⁰ = (f_x⁰)⁰_x = (4x³− 32)⁰_x = 4 · 3x²=12x²,

f_yy⁰⁰ = (f_y⁰)⁰_y = (6y⁵+ 6)⁰_y = 6 · 5y⁴= 30y⁴, f_xy⁰⁰ = 0.

Wyróżnik:

D(x , y ) =f_xy⁰⁰(x , y )²

− f_xx⁰⁰(x , y )f_yy⁰⁰(x , y ) = 0²−12x²· 30y⁴= −360x²y⁴. Sprawdzamy znak wyróżnika w punkcie “podejrzanym”:

D(P0) = D(2, −1) = −360 · 2²· (−1)⁴= −360 · 4 · 1< 0.

Wiemy, że funkcjaosiąga ekstremumw tym punkcie. Sprawdzimy jakie. W tym celu ustalimy jaki znak przyjmuje pochodna niemieszana drugiego rzędu w tym punkcie: f_xx⁰⁰(2, −1) =12 · 2²> 0. Mamy minimum.

ODPOWIEDŹ. Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (2, −1).

PRZYKŁAD 2. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

− 5xy + y

,

Dziedzina: Df = R².

Pochodne cząstkowe: f_x⁰(x , y ) = 5x⁴− 5y , f_y⁰(x , y ) = −5x + 5y⁴. Przyrównujemy je do zera:

 5x⁴− 5y = 0

−5x + 5y⁴= 0 , dzieląc przez 5:

 x⁴− y = 0

−x + y⁴= 0 .

Wyliczony y = x⁴ z pierwszego równania podstawiamy do równania drugiego:

−x + (x⁴)⁴= 0, −x + x¹⁶= 0, x (−1 + x¹⁵) = 0.

Zatem albo x = 0, albo −1 + x¹⁵= 0, czyli x¹⁵= 1.

Mamy dwa rozwiązania: x₁= 0, x₂= 1.

Skoro y = x⁴, otrzymamy y1= (x1)⁴= 0⁴= 0, y2= (x2)⁴= 1⁴= 1.

Są dwa punkty “podejrzane” o ekstremum: P1(0, 0), P2(1, 1).

PRZYKŁAD 2. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

− 5xy + y

,

Obliczamy pochodne drugiego rzędu:

f_xx⁰⁰ = 20x³, f_xy⁰⁰ = −5, f_yy⁰⁰ = 20y³ oraz wyróżnik:

D(x , y ) = (−5)²−20x³· 20y³= 25 − 400x³y³. Następnie badamy znak wyróżnika punktach „podejrzanych”.

Zaczniemy od punktu P1(0, 0):

D(0, 0) = 25 − 400 · 0³· 0³= 25> 0,

zatem funkcja f nie osiąga ekstremumw punkcie P1. Kolej na P2(1, 1):

D(1, 1) = 25 − 400 · 1³· 1³< 0, więc funkcja f osiąga ekstremumw punkcie P2. O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej

niemieszanej drugiego rzędu. W tym punkcie f_xx⁰⁰(1, 1) =20 · 1³> 0, co oznacza, że funkcja osiąga minimumw P2.

ODPOWIEDŹ. Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (1, 1).

PRZYKŁAD 4. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

+ 5xy + y

,

Dziedzina: Df = R².

Pochodne cząstkowe: f_x⁰(x , y ) = 5x⁴+ 5y , f_y⁰(x , y ) = 5x + 5y⁴. Przyrównujemy je do zera:

 5x⁴+ 5y = 0

5x + 5y⁴= 0 , dzieląc przez 5:

 x⁴+ y = 0 x + y⁴= 0 .

Wyliczony y = −x⁴z pierwszego równania podstawiamy do równania drugiego:

x + (−x⁴)⁴= 0, x + x¹⁶= 0, x (1 + x¹⁵) = 0.

Zatem albo x = 0, albo 1 + x¹⁵= 0, czyli x¹⁵= −1.

Mamy dwa rozwiązania: x1= 0, x2= −1.

Skoro y = −x⁴, otrzymamy y1= −(x1)⁴= −0⁴= 0, y₂= −(x₂)⁴= −(−1)⁴= ·1 = −1.

Są dwa punkty “podejrzane” o ekstremum: P1(0, 0), P2(−1, −1).

PRZYKŁAD 4. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

+ 5xy + y

,

Obliczamy pochodne drugiego rzędu:

f_xx⁰⁰ = 20x³, f_xy⁰⁰ = 5, f_yy⁰⁰ = 20y³ oraz wyróżnik:

D(x , y ) = 5²− 20x³· 20y³= 25 − 400x³y³. Następnie badamy znak wyróżnika punktach „podejrzanych”.

Zaczniemy od punktu P1(0, 0):

D(0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremumw punkcie P1. Kolej na P2(−1, −1):

D(1, 1) = 25 − 400 · (−1)³· (−1)³= 25 − 400< 0, więc funkcja f osiąga ekstremumw punkcie P2.

O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu. W tym punkcie f_xx⁰⁰(−1, −1) = 20(−1)³< 0, co oznacza, że funkcja osiągamaksimumw P2.

ODPOWIEDŹ. Funkcja osiąga maksimum lokalne w punkcie (−1, −1).