JJ,IMiFUTP ZASTOSOWANIACAŁEKOZNACZONYCH

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

JJ, IMiF UTP

13

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL FIGUR NA PŁASZCZYŹNIE

We wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje:

f (x ), g (x ), r (ϕ), x (t), y (t)

sa¸ cia¸głe w odpowiednich przedziałach oraz że r (ϕ) ­ 0.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL FIGUR NA PŁASZCZYŹNIE

• Pole obszaru

D = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, g (x )¬ y ¬f (x )}, gdzie a < b oraz g (x ) ¬ f (x ) dla x ∈ [a, b] wynosi

P = Z b

a

[f (x )−g (x )]dx .

x y

y = f (x )

y = g (x )

a b

D

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą y = 1 + x⁵ i osiami układu współrzędnych.

x y = 1 + x⁵ y

−1 0 y = 0

P = Z 0

−1

1 + x⁵−0
dx =^x + 1

6 · x^60₋₁

= 0 − −1 +1

6· (−1)⁶
= 5 6

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x², y = x³ jest równe ₁₂¹ .

x y

y = x²

y = x³

0 1

P = Z 1

0

x²−x³
dx =^h1 3x³−1

4x⁴ⁱ¹

0

= 1

3 · 1³−1

4· 1⁴−^1

3· 0³−1

4 · 0^4= 1 3 −1

4 = 1 12

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole koła o promieniu R (obszaru ograniczonego krzywą x²+ y² = R²) jest równe πR².

x y R

−R R

y =√ R²− x²

y = −√ R²− x²

P = Z R

−R

hp

R²− x²− −^pR²− x^2
idx = 2 Z R

−R

pR²− x²dx

= 2^h1

2x^pR²− x²+1

2R²arc sinx R

iR

−R

= 2^0 +1

2R²arc sin 1 − 0 −1

2R²arc sin(−1)^

= 2^h1 2R²·π

2 −1

2R²·^−π 2

i= πR².

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL FIGUR NA PŁASZCZYŹNIE

• Pole obszaru opisanego we współrze¸dnych biegunowych:

D = {(r , ϕ) : α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ r ¬ r (ϕ)}, gdzie 0 ¬ α ¬ β ¬ 2π wynosi

P = 1 2

Z β α

r²(ϕ)dϕ.

ϕ = 0, ϕ = 2π ϕ = π/4 ϕ = π/2

ϕ = 3π/4

ϕ = π

ϕ = 5π/4 ϕ = 7π/4

ϕ = 3π/2

ϕ = α ϕ = β

r = r (ϕ)

0 D

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu biegunowym r (ϕ) = R (koła o promieniu R) jest równe πR².

x y R

−R R

r (ϕ) = R

P = 1 2

Z β α

r²(ϕ)dϕ = 1 2

Z 2π 0

R²dϕ = 1 2R²

Z 2π 0

1dϕ

= 1

2R^2hϕ^i2π

0 = 1

2R²· (2π − 0) = πR².

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu biegunowym r (ϕ) = cos 2ϕ jest równe ¹₄π.

1 ϕ = 0 ϕ = π/4 ϕ = π/2

ϕ = 3π/4

ϕ = π

ϕ = 5π/4 ϕ = 7π/4

ϕ = 3π/2

P =4P₁= 4 ·1 2

Z π/4 0

[cos 2ϕ]²dϕ =       

2ϕ = t, d ϕ = ¹₂dt ϕ = 0 ⇒ t = 0, ϕ = π/4 ⇒ t = π/2

= 2 Z π/2

0

cos²t · 1

2dt =^h1 2t + 1

4sin 2t^iπ/2

0 = 1

4π

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu biegunowym r (ϕ) = cos 2ϕ jest równe ¹₄π.

1 ϕ = 0 ϕ = π/4 ϕ = π/2

ϕ = 3π/4

ϕ = π

ϕ = 5π/4 ϕ = 7π/4

ϕ = 3π/2

P = 4P1= 4 ·1 2

Z π/4 0

[cos 2ϕ]²dϕ =       

2ϕ = t, d ϕ = ¹₂dt ϕ = 0 ⇒ t = 0, ϕ = π/4 ⇒ t = π/2

= 2 Z π/2

0

cos²t · 1

2dt =^h1 2t + 1

4sin 2t^iπ/2

0 = 1

4π

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL FIGUR NA PŁASZCZYŹNIE

• Pole obszaru D ograniczonego:

krzywa¸ o równaniu parametrycznym x = x (t), y = y (t), t₁¬ t ¬ t₂,

osia¸ 0x oraz prostymi x = x (t1), x = x (t2) wynosi

P = Z t2

t1

|y (t)x⁰(t)|dt.

Zakładamy tu, że x⁰(t) i y (t) sa¸ cia¸głe i stałego znaku.

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu

parametrycznym x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πR² .

x y dla t = π/2

dla t = 3π/2 dla t = 2π

dla t = 0 dla t = π

P =

2P1 = 2 Z π

0

|R sin t · (−R sin t)|dt

= 2R² Z π

0

sin²dt = 2^h1 2t − 1

4sin 2t^iπ

0

= 2R^2h1 2π − 1

4sin 2πⁱ= πR².

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu

parametrycznym x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πR² .

x y

dla t = 0 dla t = π

R

P = 2P₁ = 2 Z π

0

|R sin t · (−R sin t)|dt

= 2R² Z π

0

sin²dt = 2^h1 2t − 1

4sin 2t^iπ

0

= 2R^2h1 2π − 1

4sin 2πⁱ= πR².

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA DŁUGOŚCI KRZYWYCH

DEFINICJA.

Łukiem gładkim nazywamy taka¸ krzywa¸ o równaniu

parametrycznym x = x (t), y = y (t), t1¬ t ¬ t₂, która nie ma punktów wielokrotnych (różnym wartościom t odpowiadaja¸ różne punkty krzywej), dla której pochodne x⁰(t) oraz y⁰(t) sa¸ ciagłe i dla której wsze¸dzie [x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²6= 0. Łukiem kawałkami gładkim nazywamy krzywa¸ daja¸ca¸ sie¸ podzielić na skończona¸ liczbe¸ łuków gładkich.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

CYKLOIDA: x (t) = t − sin t, y (t) = 1 − cos t.

y

x x (t)

y (t)

(π, 2)

2π

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Cykloida (dwa pierwsze łuki)

x (t) = t − sin t, y (t) = 1 − cos t, 0 ¬ t ¬ 4π.

y

x

0 2π 4π

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA DŁUGOŚCI KRZYWYCH

• Długość krzywej l = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, y = f (x )}, gdzie a < b oraz f⁰(x ) jest cia¸gła wynosi

d = Z b

a

q

1 + [f⁰(x )]²dx .

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Długość okręgu o promieniu R.

x y

0 R

f (x ) =√ R²− x²

y = −√ R²− x²

d = 4d1= 4 Z R

0

r

1 +^hf⁰(x )ⁱ²dx

= 4 Z R

0

s

1 +^h 1

2√

R²− x² · (−2x)ⁱ²dx

= 4 Z R

0

s

R²− x²+ x²

R²− x² dx = 4R Z R

0

√ 1

R²− x²dx

= 4R^harc sin x R

iR

0 = 4R arc sin 1 = 4R ·π

2 = 2πR

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA DŁUGOŚCI KRZYWYCH

• Długość krzywej opisanej we współrze¸dnych biegunowych:

l = {(r , ϕ) : α ¬ ϕ ¬ β, r = r (ϕ)},

gdzie 0 ¬ α ¬ β ¬ 2π oraz r⁰(ϕ) jest cia¸gła, wynosi d =

Z β α

q

r²(ϕ) + [r⁰(ϕ)]²dϕ.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Długość krzywej o równaniu biegunowym r (ϕ) = R (okręgu o promieniu R) to 2πR.

0 R

r (ϕ) = R

d = Z β

α

q

r²(ϕ) + [r⁰(ϕ)]²dϕ = Z 2π

0

pR²+ 0² dϕ

= Z 2π

0

Rdϕ =^Rϕ^2π₀ = 2πR.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA DŁUGOŚCI KRZYWYCH

• Długość łuku kawałkami gładkiego l o równaniu parametrycznym

x = x (t), y = y (t), t1¬ t ¬ t₂ wynosi d =

Z t2

t1

q

[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²dt.

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Długość krzywej o równaniu parametrycznym x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR.

x y dla t = π/2

dla t = 3π/2 dla t = 2π

dla t = 0 dla t = π

d =

2d₁= 2 Z π

0

q

[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²dt

= 2 Z π

0

q

[−R sin t]²+ [R cos t]²dt

= 2 Z π

0

q

R²(sin²t + cos²t)dt = 2 Z π

0

Rdt = 2R^t^π₀ = 2πR

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Długość krzywej o równaniu parametrycznym x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR.

x y

dla t = 0 dla t = π

R

d = 2d₁= 2 Z π

0

q

[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²dt

= 2 Z π

0

q

[−R sin t]²+ [R cos t]²dt

= 2 Z π

0

q

R²(sin²t + cos²t)dt = 2 Z π

0

Rdt = 2R^t^π₀ = 2πR

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA OBJE ¸TOŚCI BRYŁ OBROTOWYCH

• Obje¸tość bryły powstałej przez obrót wokół osi 0x obszaru D ograniczonego:

krzywa¸ y = f (x ), osia¸ 0x

i prostymi x = a, x = b, gdzie a < b, wynosi V = π

Z b a

[f (x )]²dx .

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

x y

R

0

y =√ R²− x²

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

x y

R

0

y =√ R²− x²

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

x y

R

0

y =√ R²− x²

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Objętość kuli o promieniu R

x y

0 R

y =√ R²− x²

V = π Z R

−R

p

R²− x^22dx = π · 2 · Z R

0

R²− x²
dx

= 2π^hR²x − 1 3x^3iR

0 = 2π^hR³−1

3R³ⁱ= 4 3πR³

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA OBJE ¸TOŚCI BRYŁ OBROTOWYCH

• Obje¸tość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru D opisanego we współrze¸dnych biegunowych:

D = {(r , ϕ) : α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ r ¬ r (ϕ)}, gdzie 0 ¬ α ¬ β ¬ π, wynosi

V = 2 3π

Z β α

r³(ϕ) sin ϕdϕ.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu biegunowym r (ϕ) = R (objętość kuli o promieniu R) to ⁴₃πR³.

x y R

−R R

r (ϕ) = R

V = 2 3π

Z β α

r³(ϕ) sin ϕdϕ = 2 3π

Z π 0

R³sin ϕdϕ

= 2

3πR^3h− cos ϕ^iπ

0 = 2

3πR³[− cos π − (− cos 0)]

= 2

3πR³[−(−1) − (−1)] = 4 3πR³.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA OBJE ¸TOŚCI BRYŁ OBROTOWYCH

• Obje¸tość bryły powstałej przez obrót wokół osi 0x obszaru D ograniczonego (zakładamy tu, że x⁰(t) jest cia¸gła i stałego znaku):

krzywa¸ o równaniu parametrycznym x = x (t), y = y (t), t₁¬ t ¬ t₂, osia¸ 0x

oraz prostymi x = x (t1), x = x (t2) wynosi

V = π Z t2

t1

y²(t)|x⁰(t)|dt.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu parametrycznym x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ 2π (objętość kuli o promieniu R) to ⁴₃πR³.

x y

dla t = 0 dla t = π

V = π Z t2

t1

y²(t)|x⁰(t)|dt = π Z π

0

R²sin²(t) · | − R sin t|dt

= πR³ Z π

0

sin³tdt = πR^3h1

3cos³t − cos t^iπ

0

= πR^31

3(−1)³− (−1) − 1

3 · 1³− (−1)^= 4 3πR³

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL POWIERZCHNI OBROTOWYCH

• Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi 0x krzywej

l = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, y = f (x )}, gdzie a < b oraz f⁰(x ) jest cia¸gła, wynosi

S = 2π Z b

a

|f (x)|^q1 + [f⁰(x )]²dx .

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Pole sfery o promieniu R

x y

0 R

−R

f (x ) =√ R²− x²

S = 2π Z b

a

|f (x)|^q1 + [f⁰(x )]²dx

= 2π Z R

−R

pR²− x²· s

1 +^h 1 2√

R²− x² · (−2x)ⁱ²dx

= 2π Z R

−R

pR²− x²· s

R²− x²+ x² R²− x² dx

= 2π Z R

−RRdx = 2πR^hxⁱ

R

−R = 2π[R − (−R)] = 4πR²

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL POWIERZCHNI OBROTOWYCH

• Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej opisanej we współrze¸dnych biegunowych:

l = {(r , ϕ) : α ¬ ϕ ¬ β, r = r (ϕ)}, gdzie 0 ¬ α ¬ β ¬ π oraz r⁰(ϕ) jest cia¸gła, wynosi

S = 2π Z β

α

r (ϕ) sin ϕ q

r²(ϕ) + [r⁰(ϕ)]²dϕ.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu biegunowym r (ϕ) = R to 4πR².

x y R

−R R

r (ϕ) = R

S = 2π Z β

α

r (ϕ) sin ϕ q

r²(ϕ) + [r⁰(ϕ)]²dϕ

= 2π Z π

0

R sin ϕ^pR²+ 0²dϕ = 2πR² Z π

0

sin ϕdϕ

= 2πR^2h− cos ϕ^iπ

0 = 2πR²(− cos π + cos 0) = 4πR²

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

DO OBLICZANIA PÓL POWIERZCHNI OBROTOWYCH

• Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi 0x łuku kawałkami gładkiego o równaniu parametrycznym x = x (t), y = y (t), t1¬ t ¬ t₂ wynosi

S = 2π Z t2

t1

|y (t)|^q[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²dt.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

PRZYKŁAD

Pole powierzchni powstałej powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu parametrycznym

x (t) = R cos t, y (t) = R sin t, 0 ¬ t ¬ π to 4πR².

x y

dla t = 0 dla t = π

S = 2π Z t2

t1

|y (t)|^q[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]²dt

= 2π Z π

0

|R sin t|^q[−R sin t]²+ [R cos t]²dt

= 2π Z π

0

R sin t q

R²(sin²t + cos²t)dt = 2πR² Z π

0

sin tdt

= 2πR^2h− cos t^iπ

0 = 2πR²[− cos π + cos 0] = 4πR²

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

ZADANIA ILUSTRUJA ¸ CE INNE ZASTOSOWANIA

Dwa ciała rozpoczynaja¸ (w chwili t = 0 ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z pre¸dkościami v₁(t) = 2t² m/s,

v2(t) = (5t²+ 1) m/s. Jaka be¸dzie odległość mie¸dzy nimi po sześciu sekundach?

Podstawiamy do wzoru s =

Z t1

t0

v (t)dt, otrzymuja¸c

s₂−s₁= Z 6

0

v₂(t)dt − Z 6

0

v₁(t)dt = Z 6

0

(5t²+1−2t²)dt = 222, zatem szukana odległość to 222 metry.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

ZADANIA ILUSTRUJA ¸ CE INNE ZASTOSOWANIA

Dwa ciała rozpoczynaja¸ (w chwili t = 0 ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z pre¸dkościami v₁(t) = 2t² m/s,

v2(t) = (5t²+ 1) m/s. Jaka be¸dzie odległość mie¸dzy nimi po sześciu sekundach?

Podstawiamy do wzoru s =

Z t1

t0

v (t)dt, otrzymuja¸c

s₂−s₁= Z 6

0

v₂(t)dt − Z 6

0

v₁(t)dt = Z 6

0

(5t²+1−2t²)dt = 222, zatem szukana odległość to 222 metry.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Obliczyć moment bezwładności wzgle¸dem osi 0x łuku asteroidy

x²³ + y²³ = 1

dla x ­ 0, y ­ 0, jeśli ge¸stość liniowa % = ³₈.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Obliczyć moment bezwładności wzgle¸dem osi 0x łuku asteroidy

x²³ + y²³ = 1

dla x ­ 0, y ­ 0, jeśli ge¸stość liniowa % = ³₈.

x y

1 0

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Obliczyć moment bezwładności wzgle¸dem osi 0x łuku asteroidy

x²³ + y²³ = 1

dla x ­ 0, y ­ 0, jeśli ge¸stość liniowa % = ³₈.

x y

1 0

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Moment bezwładności wzgle¸dem osi 0x łuku asteroidy x

+ y

= 1, dla x ­ 0, y ­ 0, gdy ge¸stość liniowa % =

.

Podstawiamy do wzoru:

I_x = Z b

a

%f²(x )^q1 + [f⁰(x )]²dx wartości f (x ) = y = (1 − x²³)³²,

f⁰(x ) = ³₂(1 − x²³)²¹ · (−²₃x⁻¹³) = −^(1−x

2 3)¹²

x¹³ otrzymuja¸c

I_x = Z 1

0

3 8

(1 − x²³)^322 v u u

t1 +1 − x²³ x²³

dx = 1.

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Znaleźć współrze¸dne środka ci¸eżkości jednorodnego trójka¸ta o wierzchołkach (0, 0), (6, 0), (0, 3).

Podstawiamy do wzoru na współrze¸dne środka masy S ^M_M^y,^M_M^x
trapezu krzywoliniowego

D = {(x , y ); a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x )} (zakładamy, że f (x ) ­ 0), gdzie masa M = %^R_a^bf (x )dx ,

moment statyczny wzgle¸dem osi 0x to M_x = ¹₂%^R_a^bf²(x )dx , moment statyczny wzgle¸dem osi 0y to M_y = %^R_a^bxf (x )dx . Zatem,

M = % Z 6

0

−1

2x + 3
dx = 9%, M_y = ρ Z 6

0

x −1

2x + 3
dx = 18%, M_x = 1

2% Z 6

0

−1

2x + 3
²dx = 9%, S (2, 1).

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Znaleźć współrze¸dne środka ci¸eżkości jednorodnego trójka¸ta o wierzchołkach (0, 0), (6, 0), (0, 3).

Podstawiamy do wzoru na współrze¸dne środka masy S ^M_M^y,^M_M^x
trapezu krzywoliniowego

D = {(x , y ); a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x )} (zakładamy, że f (x ) ­ 0), gdzie masa M = %^R_a^bf (x )dx ,

moment statyczny wzgle¸dem osi 0x to M_x = ¹₂%^R_a^bf²(x )dx , moment statyczny wzgle¸dem osi 0y to M_y = %^R_a^bxf (x )dx . Zatem,

M = % Z 6

0

−1

2x + 3
dx = 9%, M_y = ρ Z 6

0

x −1

2x + 3
dx = 18%, M_x = 1

2% Z 6

0

−1

2x + 3
²dx = 9%, S (2, 1).

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Współrze¸dne środka ci¸eżkości jednorodnego trójka¸ta o wierzchołkach (0, 0), (6, 0), (0, 3).

x y

0 6

3

y = −¹₂x + 3

D = {(x , y ); 0 ¬ x ¬ 6, 0 ¬ y ¬−1 2x + 3}

W przypadku jednorodnego trójkąta położenie środka ciężkości jest oczywiste: S (2, 1).

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

Współrze¸dne środka ci¸eżkości jednorodnego trójka¸ta o wierzchołkach (0, 0), (6, 0), (0, 3).

x y

0 6

3

1

2

W przypadku jednorodnego trójkąta położenie środka ciężkości jest oczywiste: S (2, 1).

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Zbiornik w kształcie walca o promieniu podstawy r =√ 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza¸ o masie właściwej γ = 700 kg /m³. Obliczyć prac¸e potrzebna¸ do wypompowania (góra¸) tej cieczy.

Podstawiamy do wzoru

W = πr²γg Z H

H−h

x dx , gdzie g = 9, 80665 ≈ 9, 81.

Zatem W = π · 2 · 700 · 9, 81 ·^h1₂x²ⁱ³

2 ≈ 107867[J].

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Zbiornik w kształcie walca o promieniu podstawy r =√ 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza¸ o masie właściwej γ = 700 kg /m³. Obliczyć prac¸e potrzebna¸ do wypompowania (góra¸) tej cieczy.

Podstawiamy do wzoru

W = πr²γg Z H

H−h

x dx , gdzie g = 9, 80665 ≈ 9, 81.

Zatem W = π · 2 · 700 · 9, 81 ·^h1₂x²ⁱ³

2 ≈ 107867[J].

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Waga ludzi w pewnej populacji ma rozkład N(65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży mie¸dzy 65 kg a 70 kg.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość mie¸dzy a i b wynosi

P(a ¬ X ¬ b) = Z b

a

f (x )dx , gdzie f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

Zatem,

P(65 ¬ X ¬ 70) = Z 70

65

1 5√

2πe^{−(x −65)22·25} dx ≈ 0, 3413. Zwykle zamiast liczyć przybliżona¸ wartość tej całki

standaryzujemy rozkład do N(0, 1) i korzystamy z tablic.

Z A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Waga ludzi w pewnej populacji ma rozkład N(65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży mie¸dzy 65 kg a 70 kg.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość mie¸dzy a i b wynosi

P(a ¬ X ¬ b) = Z b

a

f (x )dx , gdzie f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

Zatem,

P(65 ¬ X ¬ 70) = Z 70

65

1 5√

2πe^{−(x −65)22·25} dx ≈ 0, 3413. Zwykle zamiast liczyć przybliżona¸ wartość tej całki

standaryzujemy rozkład do N(0, 1) i korzystamy z tablic.

A S T O S O W A N I A

C A Ł E K

INNE ZASTOSOWANIA

Waga ludzi w pewnej populacji ma rozkład N(65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży mie¸dzy 65 kg a 70 kg.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość mie¸dzy a i b wynosi

P(a ¬ X ¬ b) = Z b

a

f (x )dx , gdzie f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

Zatem,

P(65 ¬ X ¬ 70) = Z ₇₀

65

1 5√

2πe^{−(x −65)22·25} dx ≈ 0, 3413.

Zwykle zamiast liczyć przybliżona¸ wartość tej całki

standaryzujemy rozkład do N(0, 1) i korzystamy z tablic.