JJ,IMiFUTP Ekstremaglobalneiwarunkowefunkcjidwóchzmiennych

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej, wersja rozszerzona: z rozwiązanymi zadaniami

Ekstrema globalne i warunkowe funkcji dwóch zmiennych

JJ, IMiF UTP

18b

(2)

Ekstrema globalne

Maksimum globalne to największa wartość funkcji w danym zbiorze.

Minimum globalne to najmniejsza wartość funkcji w danym zbiorze.

TWIERDZENIE.

Funkcja ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym zawsze osiąga w jakimś punkcie tego zbioru swoją wartość największą i zawsze osiąga w jakimś punkcie tego zbioru swoją wartość najmniejszą (ekstrema globalne).

Powyższe twierdzenie dotyczy funkcji dwóch zmiennych, ale także funkcji jednej, czy wielu zmiennych.

(3)

ILUSTRACJA 1B. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = x²+ y² w kwadracie K : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6 8

x y

z

2 4 6 8 f (x , y )

Wartość największa 8 jest osiągana w czterech wierzchołkach kwadratu K ,

f (−2, −2) = f (2, −2) = f (2, 2) = f (−2, 2) = 4 + 4 = 8. Wartość najmniejsza 0 jest osiągana w środku kwadratu: f (0, 0) = 0.

(4)

ILUSTRACJA 1C. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = x²+ y² w kole D : x²+ y²¬ 100.

−10 −5

0 5

10−10 0

10 0

50 100

Wartość największa 100 jest osiągana w (niekończenie wielu) punktach leżących na okręgu x²+ y²= 10². Wartość najmniejsza 0 jest osiągana w środku koła: f (0, 0) = 0.

(5)

ILUSTRACJA 2. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = 4 − x²− y² w kwadracie K : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

−4

−2 0 2

x y

z

−4

−2 0 2 f (x , y )

Wartość największa 4 jest osiągana w środku kwadratu: f (0, 0) = 4.

Wartość najmniejsza −4 jest osiągana w czterech wierzchołkach kwadratu K , f (−2, −2) = f (2, −2) = f (2, 2) = f (−2, 2) = 4 − 4 − 4 = −4.

(6)

ILUSTRACJA 3. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = 4 + x²− y² w kwadracie K : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6

x y

z

0 2 4 6 8 f (x , y )

Wartość największa 8 jest osiągana w dwóch punktach: f (2, 0) = f (−2, 0) = 4 + 4 − 0 = 8.

(7)

ILUSTRACJA 4. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji

f (x , y ) = x³− 3x + y³− 3y w kwadracie K : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

−4

−2 0 2 4

x y

z

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Wartość największa 4 jest osiągana w czterech punktach:

f (−1, −1) = f (2, −1) = f (2, 2) = f (−1, 2) = 4.

Wartość najmniejsza −4 jest osiągana w czterech punktach:

f (−2, −2) = f (1, 1) = f (1, −2) = f (−2, 1) = −4.

(8)

Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) w zbiorze domkniętym i ograniczonym D wystarczy:

1

znaleźć punkty „podejrzane o ekstremum” we wnętrzu zbioru D (to znaczy punkty, w których obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero lub przynajmniej jedna z nich nie istnieje);

2

obliczyć wartości funkcji f w tych punktach;

3

znaleźć punkty „podejrzane” na brzegu zbioru D (na ogół dzieląc brzeg na „dogodne” fragmenty) oraz obliczyć wartości funkcji f w tych punktach;

4

z uzyskanych liczb wybrać największą i najmniejszą.

(9)

PRZYKŁAD 1A.

Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x , y ) = x

²

+ y

²

.

Pochodne: f

_x⁰

= 2x , f

_y⁰

= 2y , f

_xx⁰⁰

= 2, f

_yy⁰⁰

= 2, f

_xy⁰⁰

= 0.

Wyróżnik: D(x , y ) = (f

_xy⁰⁰

)

²

− f

_xx⁰⁰

· f

_yy⁰⁰

= 0 − 2 · 2 = −4.

Pochodne cząstkowe f

_x⁰

(x , y ) = 2x , f

_y⁰

(x , y ) = 2y zerują się dla x = 0, y = 0, zatem punktem „podejrzanym” o ekstremum jest

(0, 0).

W tym punkcie funkcja f

osiąga minimum

lokalne, gdyż wyróżnik

D(0, 0) = −4< 0 oraz f

_xx⁰⁰(0, 0)

= 2> 0.

(10)

PRZYKŁAD 1B, Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część pierwsza

Punkt(0, 0)(„podejrzany”) należy do zbioru K , więc go uwzględniamy przy szukaniu ekstremów globalnych funkcji f w zbiorze K .

Obliczamy wartość funkcji: f(0, 0)= 0.

Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioruK.

b₁ b₂

b3

b4

K

x y

0 1 2

1

B5 B6

B7

B8

(11)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część druga

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f(0, 0)= 0, ...

Odcinekb₁możemy opisać następująco,b₁: x = −2, −2 < y < 2. Badamy funkcję f (x , y ) = x²+ y² w zbiorzeb1(oznaczę ją przez f1, będzie to funkcja zmiennej y ). f1(y ) =f (−2, y )=(−2)²+ y²= y²+ 4. Jest to funkcja jednej zmiennej. Stosujemy standardową procedurę szukania ekstremów. Liczymy pochodną: f₁⁰(y ) = 2y i przyrównujemy ją do zera (2y = 0) otrzymując punkt y1= 0 “podejrzany” o ekstremum. Sprawdzamy, czy go uwzgędnimy, czy nie.

Uwzględnimy, gdyż y1∈ (−2, 2)(punkt ten leży na odcinku b1, na którym

−2 < y < 2). Liczymy wartość funkcji w tym punkcie: f1(y1) = 0²+ 4 = 4.

(Oczywiście f1(0) = f (−2, 0).)

b1 b2

b3

b4

K

x y

0 1 2 1

B5 B6

B7

B8

(12)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część trzecia

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f(0, 0)= 0, f (−2, 0) = 4...

Odcinekb₂możemy opisać następująco,b₂: x = 2, −2 < y < 2. Badamy funkcję f (x , y ) = x²+ y² w zbiorzeb2(oznaczę ją przez f2, będzie to funkcja zmiennej y ). f2(y ) =f (2, y )=2²+ y²= y²+ 4. Jest to funkcja jednej zmiennej.

Stosujemy standardową procedurę szukania ekstremów. Liczymy pochodną:

f₂⁰(y ) = 2y i przyrównujemy ją do zera (2y = 0) otrzymując punkt y2= 0

“podejrzany” o ekstremum. Sprawdzamy, czy go uwzgędnimy, czy nie.

Uwzględnimy, gdyż y2∈ (−2, 2)(punkt ten leży na odcinku b2, na którym

−2 < y < 2). Liczymy wartość funkcji w tym punkcie: f2(y2) = 0²+ 4 = 4.

(Oczywiście f2(0) = f (2, 0).)

b1 b2

b3

K

x y

0 1 2 1

B7

B8

(13)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część czwarta

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f(0, 0)= 0, f (−2, 0) = 4, f (2, 0) = 4...

Odcinekb₃możemy opisać następująco,b₃: y = 2, −2 < x < 2. Badamy funkcję f (x , y ) = x²+ y² w zbiorzeb3(oznaczę ją przez f3, będzie to funkcja zmiennej x ). f3(x ) =f (x ,2)= x²+2²= x²+ 4. Jest to funkcja jednej zmiennej.

Stosujemy standardową procedurę szukania ekstremów. Liczymy pochodną:

f₃⁰(x ) = 2x i przyrównujemy ją do zera (2x = 0) otrzymując punkt x3= 0

“podejrzany” o ekstremum. Sprawdzamy, czy go uwzgędnimy, czy nie.

Uwzględnimy, gdyż x3∈ (−2, 2)(punkt ten leży na odcinku b3, na którym

−2 < x < 2). Liczymy wartość funkcji w tym punkcie: f3(x3) = 0²+ 4 = 4.

(Oczywiście f3(0) = f (0, 2).)

b1 b2

b3

b4

K

x y

0 1 2 1

B5 B6

B7

B8

(14)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część piąta

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f(0, 0)= 0, f (−2, 0) = 4, f (2, 0) = 4, f (0, 2) = 4...

Odcinekb₄możemy opisać następująco,b₄: y = −2, −2 < x < 2. Badamy funkcję f (x , y ) = x²+ y² w zbiorzeb4(oznaczę ją przez f4, będzie to funkcja zmiennej x ). f4(x ) =f (x ,−2)= x²+(−2)²= x²+ 4. Jest to funkcja jednej zmiennej. Stosujemy standardową procedurę szukania ekstremów. Liczymy pochodną: f₄⁰(x ) = 2x i przyrównujemy ją do zera (2x = 0) otrzymując punkt x4= 0 “podejrzany” o ekstremum. Sprawdzamy, czy go uwzgędnimy, czy nie.

Uwzględnimy, gdyż x4∈ (−2, 2)(punkt ten leży na odcinku b4, na którym

−2 < x < 2). Liczymy wartość funkcji w tym punkcie: f4(x4) = 0²+ 4 = 4.

(Oczywiście f3(0) = f (0, −2).)

b1 b2

b3

K

x y

0 1 2 1

B7

B8

(15)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część szósta

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f(0, 0)= 0, f (−2, 0) = 4, f (2, 0) = 4, f (0, 2) = 4, f (0, −2) = 4.

Pozostaje nam obliczyć wartość funkcji w punktach “sklejenia”:

f (B

₅

) = f (−2, −2) = (−2)

²

+ (−2)

²

= 8, f (B

₆

) = f (2, −2) = 2

²

+ (−2)

²

= 8, f (B

7

) = f (2, 2) = 2

²

+ 2

²

= 8, f (B

₈

) = f (−2, 2) = (−2)

²

+ 2

²

= 8

i z uzyskanych wartości wybrać największą i najmniejszą.

b1 b2

b3

b4

K

x y

0 1 2 1

B5 B6

B7

B8

(16)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze K = {(x , y ) : −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2}, część siódma

Wartości, które będziemy brali pod uwagę:

f(0, 0)= 0, f (−2, 0) = 4, f (2, 0) = 4, f (0, 2) = 4, f (0, −2) = 4, f (B5) = 8, f (B6) = 8, f (B7) = 8, f (B₈) = 8.

ODPOWIEDŹ. Wartością największą jest 8, wartością najmniejszą jest 0.

(17)

PRZYKŁAD 1C. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = x²+ y²w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100},część pierwsza

Punkt(0, 0)(„podejrzany”) należy do zbioru D, więc go uwzględniamy przy szukaniu ekstremów globalnych funkcji f w zbiorze D. Obliczamy wartość funkcji:

f(0, 0)= 0.

10 10

x y

(18)

PRZYKŁAD 1C. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x , y ) = x²+ y²w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100},część druga.

Wartość, którą będziemy brali pod uwagę:f (0, 0)= 0.

Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu b zbioru D, czyli okręgu x²+ y²= 100. Zauważmy, że funkcja f (x , y ) =100 dla (x , y ) ∈ b.

Zatem wartością największą funkcji f w D jest100, a wartością najmniejszą jest0.

10 10

x y

b

(19)

PRZYKŁAD 1D. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część pierwsza

.

10 10

x y

10 10

x

y

(20)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) :x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część pierwsza

.

10 10

x y

10 10

x

y

(21)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) :x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część pierwsza

.

10 10

x y

10 10

x

y

(22)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część pierwsza

.

10 10

x y

10 10

x

y

(23)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część druga

Punkt(0, 0)należy do zbioru D, więc go uwzględniamy; f (0, 0) = 0.

Badamy zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. Dzielimy brzeg na dwa fragmenty: b₁= {(x , y ) : x²+ y²= 100, y ¬ 8} (tym razem punkty klejenia włączamy do b₁) oraz b₂= {(x , y ) : y = 8, −6 < x < 6}.

10 10

x y

(24)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część druga

Punkt(0, 0)należy do zbioru D, więc go uwzględniamy; f (0, 0) = 0.

Badamy zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. Dzielimy brzeg na dwa fragmenty: b₁= {(x , y ) : x²+ y²= 100, y ¬ 8} (tym razem punkty klejenia włączamy do b₁) oraz b₂= {(x , y ) : y = 8, −6 < x < 6}.

b1

b2

10 10

x y

(25)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część trzecia

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f (0, 0) =0, ...

Zauważmy, że funkcja f zawężona do okręgu jest stała; w każdym punkcie okręgu przyjmuje wartość 100, dlatego wygodnie jest włączyć punkty sklejenia do b1

(oczywiście mogliśmy je rozpatrywać osobno, wartość funkcji w punktach sklejenia to 100). Funkcja f (x , y ) =100 dla (x , y ) ∈b1. Będę zapisywał: f_|b₁ =100.

10 10

x y

b₁ b₂

(26)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y ¬ 8},część czwarta

Wartości, które będziemy brali pod uwagę: f (0, 0) =0, f_|b1=100, ...

Badamy f na b2: f (x , y ) = x²+ 8² dla (x , y ) ∈b2. Niech f2(x ) = x²+ 64.

Oczywiście f₂⁰(x ) = 2x . Pochodna ta się zeruje dla x = 0. Obliczamy wartość funkcji: f2(0) =64. Z liczb: 0, 100, 64 wybieramy największą i najmniejszą.

Wartością największą funkcji f w D jest 100, a wartością najmniejszą jest0.

10 10

x y

b₂

(27)

PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y 8},część pierwsza

10 10

x y

10 10

x y

(28)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) :x²+ y²¬ 100, y 8},część pierwsza

10 10

x y

10 10

x y

(29)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) :x²+ y²¬ 100, y 8},część pierwsza

10 10

x y

10 10

x y

(30)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y 8},część pierwsza

10 10

x y

10 10

x y

(31)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D= {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y 8},część pierwsza

10 10

x y

10 10

x y

W tym przykładzie punkt(0, 0)nie należy do zbioru D, więc go nie uwzględniamy przy szukaniu ekstremów globalnych.

(32)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y 8},część druga

Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D.

10 10

x y

10 10

x y

(33)

Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D.

10 10

x y

10 10

x y

(34)

10 10

x y

10 10

x y

Tym razem podzielimy brzeg na cztery fragmenty:

b₁= {(x , y ) : x²+ y²= 100, −6 < x < 6}, b₂= {(x , y ) : y = 8, −6 < x < 6}, B (−6, 8), B (6, 8).

(35)

f (x , y ) = x²+ y² w zbiorze D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 100, y 8},część trzecia

b1= {(x , y ) :x²+ y²= 100, −6 < x < 6},

Oczywiście funkcja f (x , y ) =100 dla (x , y ) ∈b1.

Z kolei, dla (x , y ) ∈b₂ funkcja przyjmie postać f = x²+ 8². Oznaczmy tę funkcję przez f₂(x ) = x²+ 64. Oczywiście f₂⁰(x ) = 2x . Pochodna się zeruje dla x = 0 ∈ (−6, 6). Obliczamy wartość funkcji: f₂(0) =64.

Pozostały do wyliczenia wartości funkcji w punktach sklejenia: f (B₃) = (−6)²+ 8²=100 oraz f (B₄) =100.

Wartością największą funkcji f w zbiorze D jest 100, a wartością najmniejszą jest 64.

(36)

b2= {(x , y ) : y = 8, −6 < x < 6},

Pozostały do wyliczenia wartości funkcji w punktach sklejenia: f (B₃) = (−6)²+ 8²=100 oraz f (B₄) =100.

(37)

B3(−6, 8),B4(6, 8).

Pozostały do wyliczenia wartości funkcji w punktach sklejenia:

f (B₃) = (−6)²+ 8²=100 oraz f (B₄) =100.

(38)

Ekstrema warunkowe

DEFINICJA.

Liczba M jest globalnym maksimum warunkowym funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki:

1

istnieje punkt (x

0

, y

0

) taki, że f (x

0

, y

0

) = M i g (x

0

, y

0

) = 0;

2

dla każdego (x , y ) takiego, że g (x , y ) = 0 mamy f (x , y ) ¬ M.

Zazwyczaj zamiast “globalne maksimum warunkowe” funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0, będę mówił: największa wartość funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0.

(39)

Ekstrema warunkowe

Liczbę m nazywamy globalnym minimum warunkowym funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki:

1

istnieje punkt (x

₀

, y

₀

) taki, że f (x

₀

, y

₀

) = m i g (x

₀

, y

₀

) = 0;

2

dla każdego (x , y ) takiego, że g (x , y ) = 0 mamy f (x , y ) m.

Zazwyczaj zamiast “globalne minimum warunkowe” funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0, będę mówił: najmniejsza wartość funkcji f (x , y ) przy warunku g (x , y ) = 0.

(40)

SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH.

Zakładamy, że funkcje f (x , y ) oraz g (x , y ) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Tworzymy funkcję Lagrange’a:

F (x , y ) = f (x , y ) + λg (x , y ).

Punkty „podejrzane” o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzymujemy rozwiązując układ trzech równań:

F

_x⁰

(x , y ) = 0, F

_y⁰

(x , y ) = 0, g (x , y ) = 0.

(41)

SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH.

Jeżeli krzywa opisana warunkiem (tzn. zbiór punktów opisanych równaniem g (x , y ) = 0) jest krzywą zamkniętą, to liczymy wartości funkcji f w punktach „podejrzanych” i wybieramy z nich wartość największą i najmniejszą.

Jeżeli krzywa opisana warunkiem ma „końce”, to liczymy wartości funkcji

f w punktach „podejrzanych” leżących na tej krzywej oraz liczymy

wartości f na końcach krzywej i następnie z uzyskanych wartości

wybieramy wartość największą i najmniejszą.

(42)

PRZYKŁAD 2A. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f (x , y ) = xy przy warunku x²+ y²= 2, warunek można zapisać: x²+ y²− 2 = 0, funkcja g (x, y ) = x²+ y²− 2.

Tworzymy funkcję Lagrange’a:

F (x , y ) = xy + λ(x

²

+ y

²

− 2).

Rozwiązujemy układ







F

_x⁰

(x , y ) = 0 F

_y⁰

(x , y ) = 0 g (x , y ) = 0

, czyli







y + 2x λ = 0 x + 2y λ + 0 x

²

+ y

²

− 2 = 0

. Sposobów rozwiązania jest kilka.

Na przykład, z pierwszego równania wyliczamy λ i podstawiamy do drugiego.

λ = −

_2x^y

, x + 2y · (−

_2x^y

) = 0, x −

^y_x²

= 0, x

²

− y

²

= 0, x

²

= y

²

.

Mamy dwie możliwości; albo

y = x, albo y = −x

.

(43)

PRZYKŁAD 2A. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f (x , y ) = xy przy warunku x²+ y²= 2.

Pierwszy przypadek:

y = x

.

Podstawiamy do równania trzeciego (x

²

+ y

²

− 2 = 0).

x

²

+

x²

− 2 = 0, 2x

²

= 2, x

²

= 1,

x1= 1, x2 = −1.

Znajdujemy drugą współrzędną punktów “podejrzanych”

(wiemy, że

y = x): y1 = 1,y2= −1.

Drugi przypadek:

y = −x

.

Podstawiamy do równania trzeciego (x

²

+ y

²

− 2 = 0).

x

²

+

(−x )²

− 2 = 0, 2x

²

= 2, x

²

= 1,

x3 = 1, x4= −1.

Znajdujemy drugą współrzędną punktów “podejrzanych”

(wiemy, że

y = −x): y3= −1,y4 = 1.

Są więc cztery punkty „podejrzane”:

P₁(1, 1), P₂(−1, −1), P₃(1, −1), P₄(−1, 1).

(44)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f (1, 1) = 1, f (−1, −1) = 1, f (1, −1) = −1, f (−1, 1) = −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(45)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f

(1, 1)

= 1,

f (−1, −1) = 1, f (1, −1) = −1, f (−1, 1) = −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(46)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f (1, 1) = 1, f

(−1, −1)

= 1,

f (1, −1) = −1, f (−1, 1) = −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(47)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f (1, 1) = 1, f (−1, −1) = 1, f

(1, −1)

= −1,

f (−1, 1) = −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(48)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f (1, 1) = 1, f (−1, −1) = 1, f (1, −1) = −1, f

(−1, 1)

= −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(49)

Krzywa opisana warunkiem

x²+ y²= 2

to okrąg (krzywa zamknięta).

x y

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w punktach „podejrzanych”

f (1, 1) = 1, f (−1, −1) = 1, f (1, −1) = −1, f (−1, 1) = −1.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest −1.

(50)

PRZYKŁAD 2B. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x , y ) = xy przy warunku x²+ y²= 2 dla x 0, y 0.

Tym razem krzywa opisana warunkiem to (pierwsza) ćwiartka okręgu razem z „końcami”:

K1(0,√

2), K2(√ 2, 0).

x y

Z przykładu 2A wiemy, że są cztery punkty „podejrzane”:

(51)

x y

P

₁

Na naszej krzywej leży jedynie punkt P

₁

(1, 1).

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w P

1

i na końcach krzywej:

f (P

₁

) = f (1, 1) = 1, f (K

₁

) = f (0, √

2) = 0, f (K

₂

) = f ( √

2, 0) = 0.

Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest 0.

(52)

x y

P

₁

Na naszej krzywej leży jedynie punkt P

₁

(1, 1). Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f w P

1

i na końcach krzywej:

f (P

₁

) = f (1, 1) = 1, f (K

₁

) = f (0, √

2) = 0, f (K

₂

) = f ( √

2, 0) = 0.

(53)

RÓŻNICZKA

DEFINICJA.

Różniczką funkcji f (x , y ) w punkcie (x

₀

, y

₀

) (dla przyrostów dx , dy ) nazywamy wyrażenie

df (x

0

, y

0

) = f

_x⁰

(x

0

, y

0

)dx + f

_y⁰

(x

0

, y

0

)dy

(zakładamy tu, że funkcje f , f

_x⁰

, f

_y⁰

są ciągłe w pewnym obszarze).

Precyzyjniejszy zapis różniczki to: df (x

0

, y

0

, dx , dy ).

(54)

df (x₀, y₀) = f_x⁰(x₀, y₀)dx + f_y⁰(x₀, y₀)dy

ZADANIE 1. Oblicz różniczkę funkcji f (x , y ) = x³+ y⁴.

ROZWIĄZANIE. df (x , y ) = f_x⁰(x , y )dx + f_y⁰(x , y )dy , f_x⁰ = 3x², f_y⁰ = 4y³. ODPOWIEDŹ. df (x , y ) = 3x²dx + 4y³dy

ZADANIE 2. Oblicz różniczkę funkcji f (x , y ) = x³+ y⁴ w punkcie (2, 1).

ROZWIĄZANIE. df (2, 1) = f_x⁰(2, 1)dx + f_y⁰(2, 1)dy , f_x⁰(x , y ) = 3x², f_y⁰(x , y ) = 4y³, f_x⁰(2, 1) = 3 · 2²= 12, f_y⁰(2, 1) = 4 · 1³= 4.

ODPOWIEDŹ. df (2, 1) = 12dx + 4dy

(dokładniejszy zapis df (2, 1, dx , dy ) = 12dx + 4dy )

ZADANIE 3. Oblicz różniczkę funkcji f (x , y ) = x³+ y⁴ w punkcie (2, 1) dla przyrostów dx = 0, 1, dy = 0, 2.

ROZWIĄZANIE. f_x⁰(x , y ) = 3x², f_y⁰(x , y ) = 4y³, f_x⁰(2, 1) = 3 · 2²= 12,

f_y⁰(2, 1) = 4 · 1³= 4. df (2, 1) = 12dx + 4dy = 12 · 0, 1 + 4 · 0, 2 = 1, 2 + 0, 8 = 2.

(55)

przyrost funkcji możemy przybliżać różniczką

WŁASNOŚĆ.

df (x

₀

, y

₀

) ≈ ∆f = f (x

₀

+ dx , y

₀

+ dy ) − f (x

₀

, y

₀

), czyli

f (x

0

+ dx , y

0

+ dy ) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (x

0

, y

0

).

(56)

f (x

0

+ dx , y

0

+ dy ) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (x

0

, y

0

).

Stosując powyższą własność oblicz przybliżoną wartość wyrażenia

q

(8, 02)

²

+ (6, 03)

²

.

Przyjmujemy: f (x , y ) =

^p

x

²

+ y

²

, x

₀

= 8, dx = 0, 02, y

₀

= 6, dy = 0, 03. Wtedy

f

_x⁰

(x , y ) = 2x

2

^p

x

²

+ y

²

, f

_x⁰

(8, 6) = 8

√ 8

²

+ 6

²

= 0, 8,

f

_y⁰

(x , y ) = 2y

2

^p

x

²

+ y

²

, f

_y⁰

(8, 6) = 6

√

8

²

+ 6

²

= 0, 6. Zatem

q

(8, 02)

²

+ (6, 03)

²

= f (x

0

+ dx , y

0

+ dy ) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (x

0

, y

0

)

=

^p

8

²

+ 6

²

+ f

_x⁰

(8, 6)dx + f

_y⁰

(8, 6)dy

= 10 + 0, 8 · 0, 02 + 0, 6 · 0, 03 = 10, 034.

(57)

f (x

0

+ dx , y

0

+ dy ) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (x

0

, y

0

).

Stosując powyższą własność oblicz przybliżoną wartość wyrażenia

q

(8, 02)

²

+ (6, 03)

²

.

Przyjmujemy: f (x , y ) =

^p

x

²

+ y

²

, x

₀

= 8, dx = 0, 02, y

₀

= 6, dy = 0, 03. Wtedy

f

_x⁰

(x , y ) = 2x

2

^p

x

²

+ y

²

, f

_x⁰

(8, 6) = 8

√ 8

²

+ 6

²

= 0, 8,

f

_y⁰

(x , y ) = 2y

2

^p

x

²

+ y

²

, f

_y⁰

(8, 6) = 6

√

8

²

+ 6

²

= 0, 6.

Zatem

q

(8, 02)

²

+ (6, 03)

²

= f (x

0

+ dx , y

0

+ dy ) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (x

0

, y

0

)

=

^p

8

²

+ 6

²

+ f

_x⁰

(8, 6)dx + f

_y⁰

(8, 6)dy

= 10 + 0, 8 · 0, 02 + 0, 6 · 0, 03 = 10, 034.

(58)

SZACOWANIE BŁĘDU

WŁASNOŚĆ.

Pewne wielkości fizyczne są powiązane wzorem z = f (x , y ) (zakładamy tu, że funkcje f , f

_x⁰

, f

_y⁰

są ciągłe). Jeżeli ∆

_x

, ∆

_y

oznaczają błędy

(bezwzględne) przy pomiarze wielkości x oraz y , to błąd (bezwzględny) przy obliczeniu wielkości z jest w przybliżeniu równy

∆

_z

≈ |f

_x⁰

(x

₀

, y

₀

)|∆

_x

+ |f

_y⁰

(x

₀

, y

₀

)|∆

_y

.

(59)

∆

z

≈ |f

_x⁰

(x

0

, y

0

)|∆

x

+ |f

_y⁰

(x

0

, y

0

)|∆

y

.

Zmierzono objętość ciała V

₀

= 10cm

³

z dokładnością ∆

_V

= 0, 01cm

³

oraz masę m

0

= 6g z dokładnością ∆

m

= 0, 05g. Z jaką, w przybliżeniu, dokładnością obliczymy gęstość tego ciała stosując wzór % =

^m_V

?

Zastosujemy wzór:

∆

_%

≈ |%

⁰_m

(m

₀

, V

₀

)|∆

_m

+ |%

⁰_V

(m

₀

, V

₀

)|∆

_V

. Ponieważ

%

⁰_m

=

_V¹

, %

⁰_m

(m

0

, V

0

) =

₁₀¹

, %

⁰_V

= −

_V^m2

, %

⁰_V

(m

0

, V

0

) = −

₁₀⁶2

, więc

∆

_%

≈ |0, 1| · 0, 05 + | − 0, 06| · 0, 01 = 0, 0056.

Oznacza to, że błąd bezwzględny przy obliczaniu gęstości wynosi w

przybliżeniu 0, 0056

_cm^g3

.

(60)

PŁASZCZYZNA STYCZNA

do wykresu funkcji z = f (x , y ) w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) ma równanie z − z

0

= f

_x⁰

(x

0

, y

0

)(x − x

0

) + f

_y⁰

(x

0

, y

0

)(y − y

0

)

(zakładamy tu, że funkcje f , f

_x⁰

, f

_y⁰

są ciągłe w pewnym obszarze).

PRZYKŁAD. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x , y ) =

^p

9 − x

²

− y

²

w punkcie (1, −2, 2).

f

_x⁰

= −x

p

9 − x

²

− y

²

, f

_x⁰

(1, −2, 2) = − 1 2 , f

_y⁰

= −y

p

9 − x

²

− y

²

, f

_y⁰

(1, −2, 2) = 1;

płaszczyzna ma równanie: z − 2 = −

¹₂

(x − 1) + (y + 2), czyli

1