JJ,IMiFUTP CAŁKINIEWŁAŚCIWE

(1)

CAŁKI NIE- WŁAŚCIWE

Wykłady z matematyki inżynierskiej

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

JJ, IMiF UTP

14

(2)

DEFINICJA.

Zakładamy, że dla każdego T > a funkcja f (x ) jest całkowalna w przedziale [a, T ]. Jeżeli istnieje granica

lim_{T →+∞}^R_a^Tf (x )dx , to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f (x ) w przedziale [a, +∞) i oznaczamy ^R_a^+∞f (x )dx . Gdy granica ta jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna.

Zapisując krótko:

Z +∞

a

f (x )dx = lim

T→+∞

Z T a

f (x )dx .

(3)

DEFINICJA.

Z +∞

a

f (x )dx = lim

T→+∞

Z T a

f (x )dx .

x y

T y = f (x )

a

(4)

DEFINICJA.

Z +∞

a

f (x )dx = lim

T→+∞

Z T a

f (x )dx .

x y

T y = f (x )

a

(5)

DEFINICJA.

Z +∞

a

f (x )dx = lim

T→+∞

Z T a

f (x )dx .

x y

T y = f (x )

a

(6)

DEFINICJA.

Podobnie,

Z a

−∞

f (x )dx = lim

T→−∞

Z a T

f (x )dx .

x y

y = f (x )

a

(7)

DEFINICJA.

Podobnie,

Z a

−∞f (x )dx = lim

T→−∞

Z a T

f (x )dx .

x y

T y = f (x )

a

(8)

DEFINICJA.

Podobnie,

Z a

T→−∞

Z a T

f (x )dx .

x y

T

y = f (x )

a

(9)

DEFINICJA.

Podobnie,

Z a

T→−∞

Z a T

f (x )dx .

x y

T

y = f (x )

a

(10)

R+∞

a

f (x )dx = lim

_{T →+∞}^R_a^T

f (x )dx .

PRZYKŁAD 1 (całka niewłaściwa jest zbieżna do 1).

Z +∞

1

x²dx = lim

T →+∞

Z T 1

x⁻²dx

= lim

T →+∞

h−1 x

iT

1 = lim

T →+∞ −1

T + 1= 1.

(11)

R+∞

a

f (x )dx = lim

_{T →+∞}^R_a^T

f (x )dx .

PRZYKŁAD 2 (całka jest rozbieżna do +∞).

Z +∞

1

xdx = lim

T →+∞

Z T 1

1 xdx

= lim

T →+∞

ln x^T₁ = lim

T →+∞ ln T − ln 1= +∞.

(12)

Całka rozbieżna

PRZYKŁAD 3. Całka Z 0

−∞

cos xdx jest rozbieżna, gdyż nie istnieje granica:

T →−∞lim Z 0

T

cos xdx = lim

T →−∞

sin x⁰_T = lim

T →−∞ sin 0 − sin T.

(13)

Całka zbieżna

PRZYKŁAD 4.

Oblicz pole obszaru zawartego międzyosią Ox oraz krzywą y = _x2+4x +8¹ .

x y

y = _x2+4x +8¹

P = Z +∞

−∞

1

x²+ 4x + 8dx

(14)

Całka zbieżna

PRZYKŁAD 4 tutajpjest dowolną liczbą rzeczywistą Z +∞

−∞

1

x²+ 4x + 8dx

= Z p

−∞

1

x²+ 4x + 8dx + Z +∞

p

1

x²+ 4x + 8dx

= lim

A→−∞

Z p A

1

(x + 2)²+ 4dx + lim

B→+∞

Z B p

1

(x + 2)²+ 2²dx

= lim

A→−∞

h1

2arctgx + 2 2

ip

A+ lim

B→+∞

h1

2arctgx + 2 2

iB p

= 1

2arctgp + 2 2 −1

2·−π 2

+ 1

2·π 2 − 1

2arctgp + 2 2 = π

2.

(15)

DEFINICJA.

Zakładamy, że dla każdego c ∈ [a, b) funkcja f (x ) jest całkowalna w [a, c]. Ponadto zakładamy, że

lim_{x →b}⁻f (x ) = +∞ lub lim_{x →b}⁻f (x ) = −∞.

Jeżeli istnieje granica lim_c→b⁻^R_a^cf (x )dx , to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f (x ) w przedziale [a, b) i oznaczamy Rb

a f (x )dx . Gdy granica jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna. Zapisując krótko:

Z b a

f (x )dx = lim

c→b⁻

Z c a

f (x )dx .

(16)

DEFINICJA.

Z b a

f (x )dx = lim

c→b⁻

Z c a

f (x )dx .

x y

c y = f (x )

a b

(17)

DEFINICJA.

Z b a

f (x )dx = lim

c→b⁻

Z c a

f (x )dx .

x y

c y = f (x )

a b

(18)

DEFINICJA.

Z b a

f (x )dx = lim

c→b⁻

Z c a

f (x )dx .

x y

c y = f (x )

a b

(19)

DEFINICJA.

Z b a

f (x )dx = lim

c→b⁻

Z c a

f (x )dx .

x y

c y = f (x )

a b

(20)

DEFINICJA.

Podobnie, jeśli dla każdego c ∈ (a, b] funkcja f (x ) jest całkowalna w przedziale [c, b] i jeśli lim_{x →a}⁺|f (x)| = +∞, to całkę niewłaściwą funkcji f (x ) w przedziale (a, b]

definiujemy jako Z b

a

f (x )dx = lim

c→a⁺

Z b c

f (x )dx .

x y

c y = f (x ) a b

(21)

DEFINICJA.

a

f (x )dx = lim

c→a⁺

Z b c

f (x )dx .

x y

c

y = f (x ) a b

(22)

DEFINICJA.

a

f (x )dx = lim

c→a⁺

Z b c

f (x )dx .

x y

c

y = f (x ) a b

(23)

DEFINICJA.

a

f (x )dx = lim

c→a⁺

Z b c

f (x )dx .

x y

c

y = f (x ) a b

(24)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1 xdx

= lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6. Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(25)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

dziedziną funkcji podcałkowej jest (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

Z 1 0

1 xdx

= lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx =

c→0lim⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6. Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(26)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx =

c→0lim⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6. Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(27)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c

= +∞.

PRZYKŁAD 6. Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(28)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6. Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(29)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6.

Z 0

−1

1 2√

−xdx

= lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(30)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6.

Z 0

−1

1 2√

−xdx = dziedziną funkcji podcałkowej jest (−∞, 0)

c→0lim⁻ Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(31)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6.

Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h

−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(32)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 5.

Z 1 0

1

xdx = lim

c→0⁺

Z 1 c

1 xdx = lim

c→0⁺

ln |x |¹_c = lim

c→0⁺ ln 1 − ln c= +∞.

PRZYKŁAD 6.

Z 0

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

Z c

−1

1 2√

−xdx = lim

c→0⁻

h−√

−xⁱ^c

−1

= lim

c→0⁻

h−√

−c +√ 1ⁱ= 1.

(33)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 7 tutaj p jest dowolną liczbą z przedziału (−1, 1)

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx

= Z p

−1

√ 1

1 − x²dx + Z 1

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

Z p a

√ 1

1 − x²dx + lim

b→1⁻

Z b p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

h

arc sin xⁱ^p

a+ lim

b→1⁻

h

arc sin xⁱ^b

p

= arc sin p −−π 2

+π

2 − arc sin p = π.

(34)

całki niewłaściwe

dziedziną funkcji podcałkowej jest (−1, 1)

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = Z

p

−1

√ 1

1 − x²dx + Z 1

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

Z p a

√ 1

1 − x²dx + lim

b→1⁻

Z b p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

h

arc sin xⁱ^p

a+ lim

b→1⁻

h

arc sin xⁱ^b

p

+π

(35)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 7 tutajp jest dowolną liczbą z przedziału (−1, 1)

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = Z p

−1

√ 1

1 − x²dx + Z 1

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

Z p a

√ 1

1 − x²dx + lim

b→1⁻

Z b p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

h

arc sin xⁱ^p

a+ lim

b→1⁻

h

arc sin xⁱ^b

p

+π

(36)

całki niewłaściwe

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = Z p

−1

√ 1

1 − x²dx + Z 1

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

Z _p

a

√ 1

1 − x²dx + lim

b→1⁻

Z _b

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

h

arc sin xⁱ^p

a+ lim

b→1⁻

h

arc sin xⁱ^b

p

+π

(37)

całki niewłaściwe

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = Z p

−1

√ 1

1 − x²dx + Z 1

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

Z _p

a

√ 1

1 − x²dx + lim

b→1⁻

Z _b

p

√ 1

1 − x²dx

= lim

a→−1⁺

h

arc sin xⁱ^p

a+ lim

b→1⁻

h

arc sin xⁱ^b

p

+π

(38)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 7.

Zauważając symetrię:

Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = 2 Z 1

0

√ 1

1 − x²dx

= 2 · lim

b→1⁻

Z b 0

√ 1

1 − x²dx

= 2 · lim

b→1⁻

harc sin xⁱ^b

0

= 2 ·arc sin 1 − arc sin 0= π.

(39)

PRZYKŁAD 7

^∗

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox obszaru D : −1 < x < 1, 0¬ y ¬ ^√₄ ¹

1−x².

x y

−1 1

D

V = π Z 1

−1

1

√4

1 − x²

2

dx = π Z 1

−1

√ 1

1 − x²dx = π · π = π²

(40)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 8.

Z 1

−1

1

√3

xdx

= Z 0

−1

1

√3

xdx + Z 1

0

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

Z 0

−1

1

√3

xdx + lim

b→0⁺

Z 1 b

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

h3 2x²³ⁱ^a

−1+ lim

b→0⁺

h3 2x²³ⁱ¹

b

= 0 −3

2 · (−1)²³ +3

2· 1²³ − 0 = 0.

(41)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 8.

Z 1

−1

1

√3

xdx = Z 0

−1

1

√3

xdx + Z 1

0

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

Z 0

−1

1

√3

xdx + lim

b→0⁺

Z 1 b

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

h3 2x²³ⁱ^a

−1+ lim

b→0⁺

h3 2x²³ⁱ¹

b

= 0 −3

2 · (−1)²³ +3

2· 1²³ − 0 = 0.

(42)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 8.

Z 1

−1

1

√3

xdx = Z 0

−1

1

√3

xdx + Z 1

0

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

Z 0

−1

1

√3

xdx + lim

b→0⁺

Z 1 b

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

h3 2x²³ⁱ^a

−1+ lim

b→0⁺

h3 2x²³ⁱ¹

b

= 0 −3

2 · (−1)²³ +3

2· 1²³ − 0 = 0.

(43)

całki niewłaściwe

PRZYKŁAD 8.

Z 1

−1

1

√3

xdx = Z 0

−1

1

√3

xdx + Z 1

0

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

Z 0

−1

1

√3

xdx + lim

b→0⁺

Z 1 b

1

√3

xdx

= lim

a→0⁻

h3 2x²³ⁱ^a

−1+ lim

b→0⁺

h3 2x²³ⁱ¹

b

= 0 −3

2 · (−1)²³+ 3

2· 1²³ − 0 = 0.