Wykład VIII Podstawy fizyki kwantowej

1

Wykład VIII Podstawy fizyki kwantowej

Twierdzenie Ehrenfesta

Twierdzenie Ehrenfesta określa związek mechaniki kwantowej z klasyczną.

Średnie położenie

Działanie operatora położenia rˆ na funkcje falową ( rt, ) definiujemy jako

) , ( ) ,

ˆ ( r r r

r t   t .

Wartość średnia operatora położenia rˆ w stanie kwantowym opisywanym funkcja falową ( rt, ) dane jest wyrażeniem

3 2

*

3 (, ) ˆ ( , ) ( , )

ˆ ) ,

ˆ ( r r r r r r

r _ ^   ^



d r t  t ^



d r  t ^.

Obliczamy

) , , ) ( , ( ) , ) ( , ˆ (

*

*

3 



 







 







^{d r r}  _t^{t t t} _t^t dt

r d

i

i r

r

r  r  

 

(ix,y,z). Zakładamy, że funkcja falowa ( rt, ) spełnia równanie Schrödingera, co daje

) , ( ) , 2 (

) , ˆ ( )

,

( ²

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t  

 



 



  







 

 



 ,

) , ( ) , 2 (

) , ˆ ( ) ,

( *

2

*

*

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t  

 



 



 





 

 



 .

Tak znajdujemy

 

 

 



^{( , ) ( , ) ( , ) ( , )}



2

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

) , ( ) , 2 (

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

ˆ

*

* 3

*

* 3

2

*

* 2

3

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

t t

t t

r r m d i

t t

t t

r r m d i

t t

m V t

t t

t m V r

r i d dt

r d

j j

j i i i i























 





































 



  

 







 

 



  



















.

Wykonujemy całkowanie przez części, zakładając znikanie wyrazu brzegowego

 



^{( , ) (, ) ( , ) (, )}



2

ˆ 3 * *

r r

r

r t t t

t r

m d i dt

r d

i i

i ^  ^



    ^,

gdzie uwzględniliśmy, że _jr_i ^ij. Teraz całkujemy przez części pierwszy człon i ostatecznie dostajemy

m t p

t r m d i dt

r

d _i

i

i   ( , ) ( , ) ^ˆ 

ˆ  ^



3 * ^r  ^r  ^.

2

Wykład VIII cd. Podstawy fizyki kwantowej

Możemy to też zapisać jako

Widzimy, że wartości średnie operatorów spełniają klasyczne równanie ruchu.

Średni pęd

Średni pęd w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową ( rt, ) to

) , ( ) , ( )

, ˆ ( ) , ( ˆ )

,

ˆ ( p ^{3 *} r p r ^{3 *} r r

p_   



d r t  t i^



d r t  t ^.

Obliczamy (ix,y,z)



 







 



 

 







 ⁱ _dt^d



^{d r t t i}



^{d r} _t^{t t t} _t^t

dt p d

i i

i

i ( , )

) , ( ) , ) (

, ) (

, ( ) , (

ˆ *

* 3

*

3 r

r r r

r

r     

 



 .

Zakładając, że funkcja falowa ( rt, ) spełnia równanie Schrödingera, znajdujemy

 

 

 



^{( , ) ( , ) (, ) ( , ) ( , ) ( , )}



^.

) , ( )

, ( ) , ( ) , 2 (

) , ( ) , 2 (

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

ˆ

*

* 3

*

* 3

2

2

*

* 2

3

r r r

r r

r

r r

r r

r r

r r

r r

t t V t

t t

t V r d

t t

t t

r m d

t t

m V t

t t

t m V r

dt d p d

i i

i i

i i

i































































 



 













 



 



 















Pierwszy człon znika po wykonaniu całkowania przez części przy założeniu, że znika wyraz brzegowy. Różniczkując zaś

V(t,r) (t,r)  _iV(t,r) (t,r) V(t,r) _i (t,r)

i      



ostatecznie dostajemy

 



 d r t V t  t V

dt p d

i i

i ( , ) (, ) ( , ) ˆ

ˆ 



3 * ^r  ^{r r}  

czyli

Widzimy, że wartości średnie operatorów spełniają klasyczne równanie ruchu.

m dt

d rˆ _ pˆ _





 V

dt

d ˆ ˆ



 p 