Wykład X Podstawy fizyki kwantowej

1

Wykład X Podstawy fizyki kwantowej

Dwucząstkowe równanie Schrödingera

Dwucząstkowa funkcja falowa (t,r₁,r₂)

2 2 1, ) , (t r r

 - gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili czasu t cząstki 1 w punkcie r1 i cząstki 2 w punkcie r2.

Funkcja (t,r₁,r₂) jest unormowana tzn.



d r d r³₁ ³ ₂( , , )t ^{r r}_{1 2} ² 1^.

Dwucząstkowe równanie Schrödingera

Funkcja falowa (t,r₁,r₂) spełnia równanie Schrödingera

) , , ( ) ( ) , ( ) , 2 (

) 2 , , ˆ ( ) , , (

2 1 2

1 2

2 1 1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

1 r r r r r r r r r

r V t V t V t

m t m

t H

i  t  



 



     

 





 

  

 ) , ( _i

i t

V r - energia potencjalna i-tej cząstki, i1,2, wynikająca z oddziaływania z zewnętrznym polem sił;

) (r₁r₂

V - energia potencjalna pary cząstek związana z ich oddziaływaniem wzajemnym.

Separacja ruchu względnego i ruchu środka masy Zakładamy, że V_i(t,r_i)0 i wprowadzamy zmienne:











 

2 1

2 2 1 1

r r r

r R r

M m m

2 1

1 2

m M m M

  



  



r R r

r R r

M m₁m₂

Wyrażamy R,r,r₁,r₂ przez współrzędne kartezjańskie









) , , (

) , , (

z y x

Z Y X r

R









) , , (

) , , (

2 2 2 2

1 1 1 1

z y x

z y x r

r

i obliczamy

x X M m x x

x X x X

x 

 



 







 











 ₁

1 1

1

, M X x

m x x

x X x X

x 

 



 







 







 



 ₂

2 2

2

,

2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

2 1 2

2M X x x

m X

M m x

X M m

x 

 





 



 



 







 







 



 



 ,

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2M X x x

m X

M m x

X M m

x 

 





 



 



 







 







 



 



 .

- położenie środka masy - położenie względne

2

Wykład X cd. Podstawy fizyki kwantowej

A zatem ₂

2

2 2

2 2 2

2 2 1 2

1

1 1

1 1

x X

M x m x

m 

 



 



 





 M

m m_{1 2}

 - masa zredukowana układu cząstek, m₁m₂  m₁.

Ponieważ ₂

1 2

2 1 2

2 1 2

1 x y z

 



 



 

 i ₂

2 2

2 2 2

2 2 2

2 x y z

 



 



 

 , ostatecznie dostajemy

r

M R

m

m       

 1 1

1 1

2 2 1 1

.

W nowych zmiennych dwucząstkowe równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) 2 (

2 )

, ,

( ^{2 2}

r R r r

R V t

M t

i t ^{R r} 



 



 



    

 

  

 .

Dokonując separacji zależności od czasu tak jak w przypadku jednocząstkowego równania Schrödingera, otrzymujemy dwucząstkowe równanie Schrödingera bez czasu

) , ( )

, ( ) 2 (

2

2 2

r R r

R

r  

 ^{V U}

M

r

R  

 



    

,

gdzie (t,R,r)e^iUt(R,r), a U jest całkowitą energią pary cząstek.

Zakładamy teraz, że funkcję (R,r) można przedstawić w postaci

) ( ) ( ) ,

(R r  R  r

  i rozseparowujemy zależność od R od zależność od r w równaniu Schrödingera bez czasu:

) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 (

) ( ) 2 (

) (

2 2

r r R

R r

R r r R

R

r       

 



      

 V U

M

r

R 



U M V

E E

U

r

R    

 





 







 





 



 ( ) ( )

2 ) ( ) 1 2 (

) (

1 ^{2 2}

r r r

R R 



 

 .

Widzimy, że pierwszy człon zależy tylko R, a drugi tylko od r, więc muszą się równać odpowiednio dobranym stałym, aby równanie było spełnione dla każdego R i r. Dostajemy więc dwa równania Schrödingera bez czasu:











 



 



  



 



) ( ) ( ) 2 (

) ( ) ( ) 2 (

2 2

r r

r

R R



 





E V

E M U

r R





- swobodny ruch środka masy pary cząstek - ruch względny pary cząstek

3

Wykład X cd. Podstawy fizyki kwantowej

Ruch w potencjałach sferycznie symetrycznych

Mamy równanie Schrödingera bez czasu

) ( ) ( ) 2 (

2

r r

r  E m V  

 



 

,

w którym potencjał nie zależy od kierunku r, lecz tylko od długości r . Wprowadzamy współrzędne sferyczne (r,,)















 



 







2 2

2 2 2

2 2 2

cos cos

y x

x

z y x

z z y x r

























 cos

sin sin

cos sin

r z

r y

r x

Laplasjan we współrzędnych sferycznych wyraża się wzorem

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

sin sin 1

sin 1 1

sin 1 ctg

1 2





 

















 







 







 



 



 



 



 



 



r r

r r r r

r r

r r r r

więc równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) , , ( ) sin (

sin 1 sin

1 1

2 ²

2

2 2 2

2 2

2      





 



 r ^{V r r E r}

r r r

r r

m  



 



 

 







 







 







  

.

Ponieważ kwadrat momentu pędu dany jest wyrażeniem



 







 







 







 ^{2 2 2 2} ₂ ²₂

2

sin sin 1

sin ˆ 1

ˆ ˆ

ˆ    



 

z y

x L L

L

L ,

równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) , , ( ) 2 (

) , ˆ ( 1

2 ²

2 2

2

2        

r E r

r r V

m r r

r r

m  



 



  







   L

.

4

Wykład X cd. Podstawy fizyki kwantowej

Zakładamy teraz postać funkcji falowej (r)R(r)Y(,) i oddzielamy zależność radialną od kątowej

) , ( ) ( ) 2

, ( ) ( )

, ( ) ( ) (

) , 2 (

) , ˆ ( ) ( ) 1 (

)2 , (

2

2 2

2 2

2 2



 









 

 



Y r R Y mr

r R E Y

r R r V

r Y r m R r rR rr r Y m











 





  L

0 ) , ( ) , ˆ ( ) , ( 1 ) 2

2 ( ) ) (

(

1 ₂

2 2

2 2

2

2    







 





   















 

  

C C

Y Y mr E

r mr V r rR rr r

R    



 ^L

Dostajemy dwa równania, które zapisujemy w postaci









 



 



  







 

. ) , ( )

, ( ) , ˆ (

, ) ( ) ( ) 2 (

2

2 2

2 2 2

2 2











 Y CY

r R E r R r mr V

C r r

r mr







L

Widzimy, że drugie równanie jest równaniem na funkcje własne ˆL². Jak będzie pokazane na kolejnym wykładzie funkcje Y(,) to tzw. harmoniki sferyczne

) , ( 

Ylm , spełniające równanie

) , ( ) 1 ( ) , ( ) ,

ˆ²(  Y_lm  ²l l Y_lm 

L ,

gdzie l 0,1,2,^, a ml,(l1),,1,0,1,,l1,l.

Ponieważ stała separacji Cl(l1), równanie radialne zapisujemy jako

) ( )

( ) 2 (

) 1 (

2

]

[

) eff(

2 2 2

2 2

r R E r R r mr V

l l r r

r mr

r V



 

 





 



 





^



Tak jak w przypadku klasycznego zagadnienia Keplera pojawił się potencjał efektywny V_eff(r), będący sumą rzeczywistego potencjału V(r) i potencjału odśrodkowego ²l(l1)/(2mr²). Ten ostatni ma w mechanice klasycznej zupełnie analogiczna postać tzn. L²/(2mr²).

Wprowadzając funkcję (r)rR(r), mamy

2 2 2

2 2

) ( ) 1

) ( ( 1

) ( 1

r r r r

r r r r r r

r r r

r

r 

 



 



 







 







    

i równanie radialne staje się jednowymiarowym równaniem Schrödingera

) ( )

( )

2 ^{2 ff}(

2 2

r E r r r V

m ^e   



 



 



  

, które rozwiążemy przyjmując coulombowski potencjał V(r).