Wykład VI Podstawy fizyki kwantowej
Jednowymiarowy próg i jama
Próg potencjału
Szukamy rozwiązań jednowymiarowego równania Schrödingera bez czasu
) ( ) ( ) 2 2 (
2 2
x E x x dx V
d
m
, z energią potencjalną w postaci
. 0 dla
, 0 dla
) 0 (
0 x
V x x V
W obszarze x0 mamy do czynienia ze swobodnym równaniem Schrödingera, którego rozwiązaniem są fale płaskie (x)Ceikx, gdzie C jest stałą, a k
wektorem falowym, takim że
m E k
2
2
2
(pęd równy jest k). Rozwiązanie w obszarze x0 zapiszemy w postaci (x) Asin(kx)Bcos(kx), co można traktować jako zapis sumy rozwiązań (x)Ceikx Deikx, gdzie i A B
C 2
1 2
oraz i A B
D 2
1
2
.
W obszarze x0 mamy do czynienia z równaniem
) ) ( (
) 2 ) (
( )
2 ( 2
0 2
2 2 0
2 2
V x E m dx
x x d
E x dx V
d
m
.
Musimy rozważyć dwa przypadki (EV0)0 oraz (EV0)0. 1) (EV0)0
Rozwiązanie ma postać (x)Fsin(px)Gcos(px), gdzie F,G są stałymi, a p jest takim wektorem falowym, że
m V p
E 2
2 2 0
.
2) (EV0)0 - energia potencjalna jest większa od całkowitej!
Rozwiązanie ma postać (x)HeqxKeqx, gdzie H ,K są stałymi, a q jest takim wektorem falowym, że
m V q
E 2
2 2 0
. Rozwiązanie ~eqx trzeba odrzucić, tzn.
przyjąć H 0, gdyż
x
eqx , więc nie można by unormować funkcji falowej.
Rozwiązanie dla x0 ma ostatecznie postać (x)Keqx.
Wykład VI cd. Podstawy fizyki kwantowej
Mając rozwiązania dla x0 i x0, „zszywamy” je w x0, żądając aby funkcja falowa i jej pochodna były ciągłe w x0. Warunki ciągłości
) 0 ( ) 0
(
oraz
0 0
) ( )
(
x
x dx
x d dx
x
d
(0 lim , 0)
0
dostarczają równań 1) (EV0)0
G
B
) (0 )
0
(
pA F k dx pF
x kA d
dx x d
x x
0 0
) ( )
(
2) (EV0)0
K
B
) (0 )
0
(
qA K k dx qK
x kA d
dx x d
x x
0 0
) ( )
(
Rozwiązania równania Hˆ(x)E(x) możemy więc zapisać w postaci 1) (EV0)0
sin( ) cos( ) dla 0, , 0 dla
) cos(
) sin(
)
( A px B px x
p k
x kx
B kx A
x
gdzie k 1 2mE
i 1 2 ( )
V0
E m
p
;
2) (EV0)0
dla 0,
, 0 dla
) cos(
) sin(
) (
x q Ae
k
x q kx
kx k A
x
qx
gdzie k 2mE/ i q 2m(V0 E)/. Widzimy, że funkcja falowa wnika pod próg, chociaż jej energia jest niższa niż energia progu. Zauważmy, że q ,
Wykład VI cd. Podstawy fizyki kwantowej
Nieskończenie wysoka jama potencjału
Szukamy rozwiązań jednowymiarowego równania Schrödingera bez czasu
) ( ) ( ) 2 2 (
2 2
x E x x dx V
d
m
, z energią potencjalną w postaci
. dla
, dla
0
, dla
) (
x a
a x a
a x x
V
W obszarach xa i xa funkcja falowa znika (x)0, natomiast dla
a x a
mamy do czynienia z równaniem swobodnym, którego rozwiązanie zapisujemy w postaci (x) Asin(kx)Bcos(kx), gdzie k 2mE/. Aby „zszyć”
rozwiązania z trzech różnych obszarów, żądamy ciągłości w punktach xa
tzn. (a)0. Daje to dwa równania:
, 0 ) cos(
) sin(
, 0 ) cos(
) sin(
ka B ka A
ka B
ka A
o dwóch rodzajach rozwiązań
,
3 , 2 , 1 ,
0 ) sin(
, 0
, 2 , 1 , 0 2 ,
0 1 ) cos(
, 0
n n ka ka
B
n n
ka ka
A
Rozwiązania równania Schrödingera zapisujemy jako
. sin
) (
2 , cos 1
) (
a n x A
x
a n x
B x
n n
Zauważmy, że n(x)n(x) zaś n(x)n(x), więc n(x) nazywamy rozwiązaniami parzystymi, a n(x) nieparzystymi.
Wykład VI cd. Podstawy fizyki kwantowej
Normalizacja funkcji falowych
Warunek unormowania funkcji falowych przybiera postać
a
a n
a
a a
n x dx
A x
dx ( )2 2 sin2
1 .
Wprowadzając zmienną z nx/a dostajemy
a A a
a A A z a dz
A z n dz
A a
n
n
sin 1 sin
1 2
2 2
2 2 2
, gdzie założono, że AR.
Dygresja matematyczna - obliczenie całki 2
0
sin z2
dz
2
0 2
0 1
2 2
2
0 2 2
0
2 2
0 2
2 cos 1
2 sin sin 1
cos
sin z dz z dz z dz z z dz
dz
W analogiczny sposób znajdujemy B1/ a i funkcje falowe przyjmują ostateczną postać:
. 1 sin
) (
2 , cos 1
) 1 (
a n x x a
a n x
x a
n n
Poziomy energii
W przypadku rozwiązań parzystych i nieparzystych wektor falowy przyjmuje, odpowiednio, wartości
, 3 , 2 , 1 ,
, 2 , 1 , 0 2 ,
1
a n n k
a n n
k
n n
, 3 , 2 , 1 2 ,
, 2 , 1 , 0 2 ,
2 1
2 2 2 2
2 2 2 2
ma n n E
ma n n
E
n n
Widzimy, że wartości energii opowiadające parzystym i nieparzystym stanom
Wykład VI cd. Podstawy fizyki kwantowej
Możliwe długości fali
Ponieważ wektor falowy k odpowiada fali o długości 2 /k, mamy
, 3 , 2 , 1 2 ,
, 2 , 1 , 0 ,
2 1 2
n n a
n n
a
n n
2 , 1,2,3,
2 n
n
a
Stany uwięzione w jamie odpowia- dają falom stojącym. Całkowita wielokrotność połówek fali równa jest długości jamy.
