Wykład V Podstawy fizyki kwantowej

Wykład V Podstawy fizyki kwantowej

Równanie Schrödingera

Operator energii kinetycznej

Ponieważ w mechanice klasycznej energia kinetyczna T wraża się przez pęd p jako

T m 2

p2

 , operator energii kinetycznej definiujemy jako

T m 2 ˆ pˆ²

 .

_



 















 







 i i x, y, z

ˆ  

p , _



 







 



 



 

 



 





 ^{2 2 2 2 2 2}₂ ²₂ ²₂

2 2

2 2

ˆ ˆ

z y x m m

m

T pm   

Dygresja matematyczna - przemienność i nieprzemienność operatorów

Mamy dwa operatory Aˆ i Bˆ. Jeśli V AˆBˆ BˆAˆ , to mówimy, że operatory Aˆ i Bˆ komutują, są przemienne. Jeśli natomiast





V AˆBˆ BˆAˆ

 , to mówimy, że operatory Aˆ i Bˆ niekomutują, są nieprzemienne.

Komutatorem operatorów Aˆ i Bˆ nazywamy taki operator [Aˆ,Bˆ]AˆBˆBˆAˆ, że V [Aˆ,Bˆ]  AˆBˆ BˆAˆ . Gdy Aˆ i Bˆ komutują, to [Aˆ,Bˆ]0.

Twierdzenie: Przemienne operatory mają ten sam zbiór wektorów własnych.

Operatory energii kinetycznej i pędu komutują, więc mają te same funkcje własne, czyli fale płaskie. Poszukujemy wartości własnych Tˆ.

. ) 1 (

2 2

1

2 1 1

) 2 ˆ (

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

p r r

p pr

pr p





T e

m V p e

p p V m

z e y

x V m

V e T m

z i p y p x ip y z

x

z p y p x ip i

z y x

z y x



 











  





 







 



 



 

 

































Czyli wartość własna operatora energii kinetycznej Tˆ odpowiadająca fali płaskiej _p(r) jest równa

T m 2 p2

 .

Ponieważ operator pˆ jest hermitowski, hermitowski też jest operator Tˆ.

) ˆ ,

( ) ˆ ,

2 ( ) 1 ,ˆ (ˆ 2 ) 1 ,ˆ 2 ( ) 1 2 , ˆ ( ˆ )

,

( _{2 1} ² _{2 1 2} ² _{1 2 1 2}

2

1 2

1           

 T

m m

m

T  pm  p  p p  p 

.

Wykład V cd. Podstawy fizyki kwantowej

Operator energii potencjalnej

Działanie operatora energii potencjalnej Vˆ definiujemy jako

) , ( ) , ( ) ,

ˆ (t r V t r t r

V   ,

gdzie V( rt, ) jest klasyczną energią potencjalną. Ponieważ klasyczna energia potencjalna jest rzeczywista, Vˆ jest hermitowski. Istotnie



^{(, ) (, )}



^{( , ) (ˆ , )}

) , ( ) , ( ) , ( ˆ )

,

(₁ V₂ 



d³r₁^ t ^r V t ^r₂ t ^r 



d³r V t ^r₁ t ^{r *}₂ t ^r  V₁ ₂ ^.

Problem własny operatora Vˆ, czyli równanie V(t,r)(t,r)V(t,r), gdzie

V jest liczbą - wartością własną, jest zdegenerowany: nie ma rozwiązań, gdy klasyczna energia potencjalna V( rt, ) zależy od t lub r i ma trywialne rozwiązanie, gdy V( rt, ) nie zależy ani od t, ani od r - wtedy dowolne funkcje

) , ( rt

 są funkcjami własnymi.

Operator energii całkowitej - Hamiltona

Ponieważ operatory energii kinetycznej i potencjalnej są hermitowskie, operator energii całkowitej - hamiltonian - też jest hermitowski.

Równanie Schrödingera (1926)

Funkcje falowe są rozwiązaniami równania Schrödingera

Separacja zależności czasowej i przestrzennej w równaniu Schrödingera

Poszukujemy rozwiązań równania Schrödingera w postaci (t,r) f(t)(r), zakładając, że V(t,r)V(r) tzn. energia potencjalna nie zależy od czasu.

Ponieważ (, ) ( ) ( )

r  r



t t i f t i t



 



 

 oraz



 



  

 



 



 

 ( ) ( ) ( )

) 2 ( ) ( ) ( ) 2 (

) ,

ˆ( r ² r  r ²  r V r  r

t m f t

f m V

t

H  

mamy



 



  

 

 ( ) ( ) ( )

) 2 ( ) ) (

( ²

r r r

r  

 V

t m t f

t

i f 



Dzieląc stronami równanie przez (t,r) f(t)(r) dostajemy

) , 2 (

ˆ 2

ˆ pˆ^{2 2} r

t m V m V

H    

) , ˆ ( ) ,

( r r

t t H

i  t _ 





Wykład V cd. Podstawy fizyki kwantowej

E m V

t t f t f

i 

 



  

 

 ( ) ( ) ( )

2 ) ( 1 ) ( ) (

2

r r

r  r 







Lewa strona zależy tylko od t, a prawa tylko od r, żeby więc były sobie równe, lewa i prawa strona muszą być równe stałej, którą oznaczamy E.

Otrzymujemy dwa równania























 



  





 

 

 

 ^

) ( ) ˆ ( )

( ) ( ) 2 (

) ( 1

~ ) ( )

) ( ( )

( ) (

2

r r

r r

r  r   

 m ^{V E H E}

e t f t

E f t i

t E f

t t f t f

i ^iEt





 _

Jeśli energia potencjalna nie zależy od czasu, rozwiązanie równania Schrödingera można przedstawić w postaci

gdzie (r)spełnia tzw. rozwiązanie równania Schrödingera bez czasu

czyli jest funkcją własną operatora energii Hˆ z wartością własną E.

Rozwiązania stacjonarne równania Schrödingera Jeśli obliczymy kwadrat modułu funkcji falowej

) ( )

,

( r  r

 t e^iEt , to (t,r)² ^*(t,r)(t,r)e^iEt ^*(r)e^iEt (r) (r)².

Jakkolwiek funkcja falowa zależy od czasu, kwadrat modułu funkcji falowej jest niezależny od czasu, jest stacjonarny i w tym sensie rozwiązanie (t,r)e^iEt(r)

jest stacjonarne.

Kombinacja liniowa rozwiązań stacjonarnych

Jeśli ₁(t,r) i ₂(t,r) są rozwiązaniami stacjonarnymi równania Schrödingera, to kombinacja liniowa tych rozwiązań, czyli (t,r)c₁₁(t,r)c₂₂(t,r), gdzie

2 1,c

c są liczbami, też jest rozwiązaniem równania Schrödingera, co wynika z liniowości tego równania. Jednak kombinacja liniowa rozwiązań stacjonarnych nie jest stacjonarna. Aby to wykazać, przyjmujemy, że

) ( )

, (

1

r

r 

 t e^iEt oraz ( , ) ( )

2

r

r 

 t e^iEt i obliczamy ( rt, )²:

) ( )

,

( r  r

 t e^iEt

) ( )

ˆ(r E r

H 

Wykład V cd. Podstawy fizyki kwantowej

   







 











 







 











 





) ( ) ( Re

2 ) ( )

(

) ( )

( )

( )

(

) , ( )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( ) , ( )

, (

* 2 1 ) (

* 2 1 2

2 2 2 1 1

* 2

* 2

* 1

* 1 2

2 1

1

* 2

* 2

* 1

* 1 2

2 1

1 2 *

2 1

2 1

2 1

r r r

r

r r

r r

r r

r r

r r r









































t E i E

t iE t

iE t

iE t

iE

e c c c

c

e c e

c e

c e

c

t c t c t c t c t

t t

Jaki widać, ( rt, )² zależy od czasu.

Rozwiązania swobodnego równania Schrödingera

W przypadku cząstki nieoddziałującej - swobodnej - operator Hamiltona ma postać operatora energii kinetycznej Hˆ Tˆ. Funkcjami własnymi Tˆ są fale płaskie _p(r) z wartościami E

T  m 2

p2 . Rozwiązanie swobodnego równania Schrödingera ma więc postać

Zgodność warunku unormowania z równaniem Schrödingera

Rozwiązania równania Schrödingera mają być unormowane tzn. mają spełniać warunek



^{d3r }(^t,^r)² 1. Rozwiązania równania swobodnego spełniają ten warunek, zachodzi pytanie czy w ogólności warunek unormowania jest zgodny z równaniem Schrödingera. Problem sprowadza się do pytania, czy całka

3 2

) , ( rt r

d 



jest rzeczywiście niezależna od czasu. Rozważmy w tym celu



 







 



 



 



^{d r t} _dt^{d d r t t d r} _t^{t t t t}_t

dt

d ( , )

) , ( ) , ) ( , ) (

, ( ) , ( )

,

( ^*

* 3

* 2 3

3 r

r r r

r r

r      

 .

Równanie Schrödingera daje nam

) , ˆ ( )

,

( r r

t i H t

t 





 

 oraz ( , ) ˆ *( , )

*

r r

t i H t

t 







 więc



^{( ˆ (, )) ( , ) ( , ) ˆ ( , )}



^{[( ˆ , ) ( , ˆ )] 0}

) ,

( ^{2 3 * *}

3 



   



^{d r t i d r H t  t  t H t i H   H}

dt d



 r r r r

r .

Ostatnia równość zachodzi ze względu na hermitowskość halmitonianu.

Widzimy, że całka



d³r ( rt, )² nie zależy od czasu, więc rozwiązanie równania Schrödingera zawsze można unormować.

 pr

r

 

 e ^iEt

t 1V

) ,

(

Wykład V cd. Podstawy fizyki kwantowej

Równanie ciągłości i prąd prawdopodobieństwa Obliczamy

 

t t t

t t t t

t t

t t 

 







 



 ( , )

) , ( ) , ) ( , ) (

, ( ) , ( )

,

( ^*

*

2 * r

r r r

r r

r      

 .

Zakładamy, że funkcja falowa ( rt, ) spełnia równanie Schrödingera, co daje )

, ( ) , 2 (

) , ˆ ( )

,

( ²

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t  

 



 



  







 

 



 ,

) , ( ) , 2 (

) , ˆ ( ) ,

( _* ² _*

*

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t  

 

 



 



 

 



 ,

gdzie przyjęto, że V( rt, )R. A zatem

 

   

^{( , )}



^{( , ) ( , ) ( , )}



) 2 , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

) , ( ) , 2 (

) , ( )

, ( ) , ( ) , 2 (

) , (

*

*

*

*

2

*

* 2

2

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r

t t

t m t

t i t

t m t

i

t t

m V i t

t t

t m V t i

t



















































 



 

 







 

 



 

 















Otrzymane równanie można zapisać w postaci

)2

, ( ) ,

(t r t r

P  - gęstość prawdopodobieństwa

 



^{(, ) ( , ) (, ) ( , )}



) 2 ,

( r ^* r r ^* r r

S t t t t

m

t  i    

- prąd prawdopodobieństwa

0 ) , ( ) ,

(  



 P t r S t r t