21.05.2020
Zestaw V
Praca. Statyka bryły sztywnej.
Przydatne równania i definicje:
Pracę W siły F na określonym odcinku drogi wyrażamy wzorem
2
L 1
W
dW r
dr
F r
,
gdzie L jest całkowitą drogą jaką pokonuje ciało, dr jest wektorem przesunięcia, zaś r
1i r
2są odpowiednio wektorami wodzącymi w punkcie początkowym oraz końcowym ruchu.
2 2W J N m kg m s
- dżul
Dla ruchu postępowego mamy:
cos , W F s F s
.
Statyka – dział mechaniki fizycznej zajmujący się równowagą sił i momentów sił działających na nieruchome ciała materialne (układy statycznie zrównoważone).
Przez układy zrównoważone rozumiemy takie układy, w których siły (i momenty) pozostają w równowadze, a brak niezrównoważonych sił (momentów) zapewnia układowi brak przyśpieszeń (liniowego – od niezrównoważonej siły lub kątowego – od niezrównoważonego momentu).
Równowagę statyczną sprawdza się układając i sprawdzając spełnienie warunków:
- sumy rzutów sił na wybrane kierunki,
- sumy momentów sił względem wybranych osi.
Bryła jest w równowadze, gdy działające na nią siły oraz momenty sił względem dowolnego punktu się równoważą.
Momentem M siły względem punku O nazywamy iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:
M r F
.
Współrzędne Mx, My, Mz wektora M nazywamy momentami siły odpowiednio względem osi x , y , z.
Środek masy układu punktów materialnych – punkt charakteryzujący rozkład masy tych punktów, określony tak by w opisie ich ruchu zastąpić je jednym punktem materialnym. Wzór na wektor wodzący środka masy:
i i i sm
i i
m
m
r
r
.
0) Zadanie przykładowe. Drabinę o długości l i ciężarze Q (środek ciężkości w środku drabiny) oparto o ścianę. Oblicz maksymalny kąt
, przy którym drabina nie upada jeszcze na ziemię
. Uwzględnić tarcie ze ścianą (fs) oraz podłogą (fp). Oblicz działające siły. Układ przedstawiono na rysunku:Q – ciężar drabiny
R – siła reakcji podłogi działająca na koniec drabiny fpR – siła tarcia pomiędzy drabiną a podłogą S - siła reakcji ściany działająca na koniec drabiny fsS – siła tarcia pomiędzy drabiną a ścianą
Warunek równowagi sił:
- składowe wzdłuż osi x: S f Rp 0 - składowe wzdłuż osi y: f S R Qs 0
Warunek równowagi momentów sił względem punktu styku drabiny z ziemią (równie dobrze można wybrać inny punkt):
1 2 3
sin sin sin
s 2
l S
l f S
l Q ,
Mamy więc:
0 0
p s
S f R f S R Q
;
ps p
S f R f f R R Q
1S sf Rpp
R f f Q
;
11
s p p
s p
R Q
f f S f Q
f f
Z warunku równowagi momentów sił:
Q fsS S
R fpR
x y
l
1 2
2
3 2
sin sin cos
2 sin sin
sin sin sin
cos sin sin 2
sin cos
2 tg
2 1 tg 2
1 1 2
ctg 2 2
ctg 1
2
s
s
s
s
s p s p s p
s
p p
s p p
l S l f S l Q
Q f S S S
Q f S Q f
S
f f f f f f
Q f
f Q f
f f f
1) Na linii prostej znajdują się trzy masy m1 = 10 g, m2 = 20 g, m3 = 28 g, a odległości między tymi masami wynoszą kolejno 20 cm i 30 cm. Znaleźć położenie środka masy takiego układu.
2) W wierzchołkach trójkąta ABC leżą masy punktowe m1 = 70 g, m2 = 30 g i m3 = 40 g. Znaleźć środek tych mas wiedząc, że AB = 100 cm, BC = 80 cm, CA = 60 cm.
Wskazówka: sprawdzić relację pomiędzy długościami boków. Założyć, że trójkąt leży w płaszczyźnie (x,y) gdzie jeden z jego wierzchołków ma współrzędne (0,0).
3) Rozważ dźwignię przedstawioną na rysunku:
Wyznacz wartość siły P2, aby dźwignia pozostała w równowadze. Oblicz wartość reakcji podpory.
a) przyjmij P1=900N, r1=10cm, r2=90cm. Obliczenia wykonaj względem punku podparcia.
b) przyjmij P1=900N, r1=10cm, r2=90cm. Obliczenia wykonaj względem punktu przyłożenia siły P2. 4) Dwóch ludzi dźwiga na barkach końce dwumetrowego drążka, na którym wisi ciężar Q = 300 N
w odległości l = 60 cm od przedniego końca drążka. Jakimi siłami podtrzymują oni końce drążka?
5) Drabina o długości l = 6 m, o ciężarze Q = 200 N opiera się górnym końcem o pionową gładką ścianę.
Drugi koniec drabiny wciśnięty jest w ziemię w odległości s = 2 m od ściany. Obliczyć pionową (N) i poziomą (R) składową siły wywieranej na ziemię oraz siłę P działającą na ścianę. Równania wyprowadzić względem punktu podparcia drabiny o ziemię.
(odp.: P=35.3N, N=200N, R=35.3N)
6) Do ściany przystawiona jest drabina. Współczynnik tarcia drabiny o ścianę wynosi f1 = 0.3, o podłogę f2 = 0.4. Środek ciężkości znajduje się w środku drabiny. Określić najmniejszy kąt, jaki tworzy drabina z podłogą, nie upadając na nią.
(odp.: 1 2
2
tg 1 1.1
2 f f
f ,
47 44o )7) Rozważ siły działające w układzie ręki trzymającej ciężar (pierwszy z rysunków na końcu zestawu).
Zakładając, że stosunek długości rF/rGz wynosi 1/10 oblicz siłę F działającą na mięśnie oraz reakcję stawu R w przypadku trzymanego stabilnie ciężaru o wartości 900N. Załóż, że ciężar przedramienia można pominąć.
8) Wyjaśnij, dlaczego podnoszenie ciężaru w pozycji kucznej jest bardziej korzystna niż w pozycji zgiętej tułowia (drugi z rysunków na końcu zestawu).
Źródło: prof. dr hab. inż. Krzysztof Kędzior, „Biomechanika - zakres badań i zastosowań, biomechaniczne modele układu mięśniowo-szkieletowego”.
Źródło: prof. dr hab. inż. Krzysztof Kędzior, „Biomechanika - zakres badań i zastosowań, biomechaniczne modele układu mięśniowo-szkieletowego”.
Analiza sił działających na dysk kręgosłupa między kręgami L5 i S1 w trakcie podnoszenia ciężaru.
