Fizyka laboratorium 1

Rozdzia l 1

Fizyka laboratorium 1

1.1. Elementy analizy matematycznej

Funkcje

Zmienna y nazywa sie zmienn_, a zale˙zn_, a albo funkcj_, a zmiennej x, je˙zeli przyjmuje ona_, okre´slone warto´sci dla ka˙zdej warto´sci zmiennej x, w pewnym przedziale zmienno´sci.

Zmienna x nazywana jest zmienna niezale˙zn_, a albo argumentem funkcji y. Zwi_, azek_, miedzy zmienn_, a zale˙zn_, a y a zmienn_, a niezale˙zn_, a x zapisujemy symbolicznie w postaci:_,

y = f (x) Pochodna funkcji

Niech dw´om warto´sciom x1 i x2 zmiennej niezale˙znej odpowiadaja dwie warto´sci_, funkcji y₁ oraz y₂. Oznaczmy:

∆x = x₂− x₁

∆y = y2− y₁

Przez pochodna funkcji y w punkcie x b_, edziemy rozumieli granic_, e, do kt´_, orej da˙zy_, stosunek ∆y

∆x, gdy ∆x da˙zy do zera, co zapiszemy symbolicznie_,

˙ y = dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x Szereg Maclaurina

Niesko´nczony szereg potegowy o n-tym wyrazie r´_, ownym:

a_n = f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ (1.1)

1.1. Elementy analizy matematycznej

gdzie f⁽ⁿ⁾(0) – warto´s´c n-tej pochodnej pewnej funkcji f (x) dla x = 0.

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze je´sli funkcja f (x) jest r´o˙zniczkowalna niesko´nczenie wiele razy w pewnym otoczeniu x = 0 oraz:

n→∞lim

f⁽ⁿ⁾(c)

n! xⁿ= 0 gdzie c zawarte jest pomiedzy 0 a x, to:_,

f (x) = f (0) +

∞

X

n=1

a_n (1.2)

Twierdzenie 1. Je˙zeli istnieje n-ta pochodna funkcji f (x) w otoczeniu x = 0, ist- nieje dok ladnie jeden wielomian V (x), stopnia n lub ni˙zszego spe lniajacy warunek:_,

V (0) = f (0), V⁰(0) = f⁰(0), V⁰⁰(0) = f⁰⁰(0), . . . , V⁽ⁿ⁾(0) = f⁽ⁿ⁾(0) Dow´od 1. Niech V (x) = a + bx + cx²+ . . . + lxⁿ Wtedy:

V⁰(x) = b + 2cx + . . . + nlxⁿ⁻¹

V⁰⁰(x) = 2c + 6dx + . . . + n(n − 1)lxⁿ⁻² . . .

V⁽ⁿ⁾ = n!l Wtedy:

V (0) = a

V⁰(0) = b V⁰⁰(0) = 2c . . .

V⁽ⁿ⁾(0) = n!l

Wymagamy aby spe lniony by l warunek

V (0) = f (0), V⁰(0) = f⁰(0), V⁰⁰(0) = f⁰⁰(0), . . . , V⁽ⁿ⁾(0) = f⁽ⁿ⁾(0) Czyli:

a = f (0) b = f⁰(0) 2c = f⁰⁰(0) . . .

n!l = f⁽ⁿ⁾(0)

Jedyny wielomian stopnia n lub ni˙zszego spe lniajacy te warunki ma posta´_, c:

f (0) +xf⁰(0)

1! +x²f⁰⁰(0)

2! +x³f⁰⁰⁰(0)

3! + . . . +xⁿf⁽ⁿ⁾(0) n!

1.2. Zadania tablicowe

Szereg Maclaurina jest szczeg´olnym przypadkiem szeregu Taylora:

f (x) =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x₀)ⁿ (1.3)

Poniewa˙z liczymy sume szeregu niesko´_, nczonego musimy w pewnym miejscu dokona´c obciecia, pope lnimy wi_, ec b l_, ad obliczeniowy, je˙zeli dokonamy sumowania k element´_, ow szeregu b lad mo˙zemy oszacowa´_, c w nastepuj_, acy spos´_, ob:

f (x) =

k

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(x0

n! (x − x₀)ⁿ

!

+ f^(k+1)(ε)

(k + 1)!(x − x₀)^k+1 (1.4) prawa cz_, e´s´_, c wzoru (1.4) nazywamy reszta Lagrange’a i oznaczamy R_{, n}

R_n= f^(k+1)(ε)

(k + 1)! (x − x₀)^k+1

Przybli˙zona warto´s´_, c funkcji mo˙zna znale´z´c liczac kilka k pierwszych warto´sci. B l_, ad_, jest wtedy nie wiekszy ni˙z:_,

max

ε∈[x0,x]



(x − x₀)    

f^(k+1)(x₀)(ε − x₀)^k+1 (k + 1)!



(1.5)

1.2. Zadania tablicowe

1. policz sin(x) korzystajac z rozwini_, ecia w szereg Maclaurina_, 2. policz cos(x) korzystajac z rozwini_, ecia w szereg Maclaurina_, 3. policz e^x korzystajac z rozwini_, ecia w szereg Maclaurina_, 4. policz√

10 korzystajac z rozwini_, ecia w szereg Maclaurina_,

f (x) f⁰(x) sin(x) cos(x) cos(x) − sin(x)

1.2.1. Zadanie 1 sin(x)

sin(x) = sin(0) + x cos(0) − x²sin(0)

2! − x³cos(0)

3! +x⁴sin(0)

4! + x⁵cos(0) 5! − . . . czyli po uproszczeniu (korzystamy z faktu sin(0) = 0 oraz cos(0) = 1):

sin(x) ≈ x − x³ 6 + x⁵

120 − x⁷

5040 (1.6)

B lad tego przybli˙zenia (uznaj_, ac, ˙ze 8-ma pochodna wynosi 0 mo˙zemy oszacowa´_, c:

max

ε∈[0,π]



(π − 0)    

ε⁹cos(ε) 9!



= ππ⁹

9! = π¹⁰

362880 ≈ 0.2580

Oczywi´scie uwzgledniaj_, ac wi_, eksz_, a liczb_, e pochodnych otrzymamy dok ladniejsze przy-_, bli˙zenie.

1.2. Zadania tablicowe

1.2.2. Zadanie 2 cos(x)

cos(x) = cos(0)−x sin(0)−x²cos(0)

2! +x³sin(0)

3! +x⁴cos(0)

4! −x⁵sin(0)

5! −x⁶cos(0) 6! +. . .

(1.7) czyli po uproszczeniu (korzystamy z faktu sin(0) = 0 oraz cos(0) = 1):

cos(x) ≈ 1 −x² 2! + x⁴

4! −x⁶ 6! + x⁸

8! (1.8)

B lad tego przybli˙zenia (uznaj_, ac, ˙ze 9-ma pochodna wynosi 0 mo˙zemy oszacowa´_, c:

max

ε∈[0,π]



(π − 0)    

ε¹⁰cos(ε) 10!



= ππ¹⁰

10! = π¹¹

3628800 ≈ 0.0810

Oczywi´scie uwzgledniaj_, ac wi_, eksz_, a liczb_, e pochodnych otrzymamy dok ladniejsze przy-_, bli˙zenie.

1.2.3. Zadanie 3 e^x

e^x = 1 + e⁰x + e⁰x²

2! +e⁰x³

3! + . . . (1.9)

czyli

e^x≈ 1 + x + x² 2! +x³

3! + x⁴ 4! +x⁵

5! (1.10)

1.2.4. Zadanie 4. √ 10 Pare fakt´ow:

(xⁿ)⁰ = nxⁿ⁻¹ (1.11)

√x
⁰

= 1

2√

x (1.12)

Wz´or (1.12) mo˙zemy otrzyma´c w nastepuj_, acy spos´_, ob:

√x = x¹² (1.13)

czyli:

 x¹²⁰

= 1

2x¹⁻¹² = 1

2x⁻¹² = 1 2√

x (1.14)

Znana jest warto´s´c√

9 = 3 Mo˙zemy wiec skorzysta´_, c z rozwiniecia w szereg i zapisa´_, c:

√10 =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(9)(10 − 9)ⁿ

n! =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(9) n! ≈

k

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(9) n!

1.3. Zadania programistyczne

czyli liczac kolejne pochodne pierwiastka:_,

√x
⁰

= 1

2√ x

√x
⁰⁰

=

 1 2√ x

⁰

= 1 2x⁻¹²

⁰

= −1

4x⁻¹²⁻¹ = −1

4x⁻³² = − 1 4(√

x)³

√x
⁰⁰⁰

= − 1

4√ x³

!⁰

= 3

8√ x⁵ Czyli rozwiniecie mo˙zemy zapisa´_, c:

√

10 ≈√

9 + 1

1! · 2√

9− 1

2! · 4(√

9)³ + 3 3! · 8(√

9)⁵ = 3 +1 6 − 1

216 + 3

3988 ≈ 3.16229 b lad jest nie wi_, ekszy ni˙z:_,

max

ε∈[9,10]



(10 − 9)    

15 4! · 16(√

9)⁷    



= 15

839808 ≈ 0.000017861

1.3. Zadania programistyczne

1. Napisa´c program liczacy funkcj_, e sin(x), cos(x), e_, ^x z parametrem okre´slajacym_, d lugo´s´c rozwiniecia szeregu._,

2. Por´owna´c wyniki otrzymane z obliczenia funkcji poprzez rozwiniecie w szereg z_, wynikami funkcji z biblioteki matematycznej c++

3. Zapisa´c dane z poprzedniego punktu do pliku i sporzadzi´_, c wykresy funkcji oraz oszacowania b ledu._,

1.4. ´ Srodowisko programistyczne

Programy w trakcie ´cwicze´n pisane bed_, a w j_, ezyku C++ z wykorzystaniem dostarczo-_, nych przez prowadzacych szkielet´_, ow, szkielet´ow realizujacych podstawowe zadania_, zwiazane z graficzn_, a prezentacj_, a danych. Zadaniem studenta b_, edzie dobranie odpo-_, wiednich r´owna´n zgodnie z prezentowanym zagadnieniem, rozwiazanie tych r´_, owna´n stosujac metody numeryczne, oraz uzupe lnienie dostarczonego kodu odpowiednimi_, instrukcjami. Instrukcjami. Istnieje mo˙zliwo´s´c wyboru innego jezyka programowania_, jednak w tym przypadku Student musi napisa´c ca lo´s´c we w lasnym zakresie.

Do cel´ow graficznej prezentacji stosowana bedzie biblioteka OpenGL, w zasadzie_, nie jest wymagana od student´ow znajomo´s´c tej biblioteki (podstawowe zagadnienia zwiazane z OpenGL zostan_, a przedstawione w trakcie zaj_, e´_,c)

Studenci PJWSTK maja dost_, ep do kompilatora C++ firmy Microsoft Visual Studio_, 2005, mo˙zna r´ownie˙z skorzysta´c z darmowych ´srodowisk programistycznych:

• MinGW Developer Studio 2.05

• Dev-C++

1.4. ´Srodowisko programistyczne

Dostarczone kody wykorzystuja dodatkow_, a bibliotek_, e o nazwie GLUT The OpenGL_, Utility Toolkit. Do poprawnej kompilacji potrzebny jest plik nag l´owkowy glut.h, kt´ory nale˙zy umie´sci´c najlepiej w folderze include/GL wybranego kompilatora, oraz w przypadku kompilator´ow opartych na gcc biblioteka glutlib32.a do umieszczenia w folderze lib kompilatora, natomiast w przypadku ´srodowiska Visual Studio bi- blioteka glut32.lib. Skompilowana wersja dla systemu windows jest do pobrania z nastepuj_, acego adresu:_, http://www.xmission.com/ nate/glut/glut-3.7.6-bin.zip W przypadku ´srodowiska windows do poprawnego wykonania programu potrzebna jest biblioteka dynamiczna glut32.dll, kt´ora powinna by´c umieszczona w katalogu widocznym w zmiennej ´srodowiskowej PATH lub bezpo´srednio w miejscu gdzie znaj- duje sie skompilowany plik exe. Biblioteka GLUT jest do pobrania w postaci kod´_, ow

´zr´od lowychhttp://www.xmission.com/ nate/glut/glut-3.7.6-src.zipdo samodzielnej kompilacji w przypadku innego systemu operacyjnego.

Do poprawnej konsolidacji programu niezbedne jest do l_, aczenie nast_, epuj_, acych biblio-_, tek:

• glut32,

• opengl32,

• glu32.

1.4.1. Korzystanie z biblioteki

Proste ´srodowisko, kt´ore umo˙zliwi graficzna prezentacje wynik´_, ow, animacje zostanie_, dostarczone w celu usprawnienia pisania kodu. Dla osoby piszacej program wa˙zna_, jest klasa SceneObject z kt´orj powinny by´c wyprowadzane wszystkie klasy na podstawie, kt´orych budowane bed_, a obiekty wizualne:_,

class SceneObject{

public:

SceneObject();

virtual ∼SceneObject() {};

virtual void draw()=0;

virtual void drawShadow() shadow=1; draw(); shadow=0;

virtual void doStep() {};

virtual void drawControl(int id, int w, int h) {}

virtual bool getCastsShadows(void) const { return false; } protected:

int shadow;

};

Klasa pochodna musi przedefiniowa´c wirtualna metod_, e draw() oraz doStep(). Me-_, toda draw() wywo lywana jest przez ´srodowisko, kiedy zachodzi potrzeba namalo- wania obiektu, natomiast doStep() kiedy dokonywane sa obliczenia dla kolejnego_, kroku czasowego.

Oczywi´scie w celu umieszczenia obiekt´ow statycznych, kt´ore maja mie´_, c tylko wizu- alna reprezentacj_, e metoda doStep() mo˙ze by´_, c pusta.

Program wykorzystujacy bibliotek_, e wygl_, ada nast_, epuj_, aco:_,

1.4. ´Srodowisko programistyczne

#include "soleng.h"

int main(int argc, char *argv[]){

CWorld *world;

world = CWorld::getWorldInstance(argc, argv);

world->sceneManager->addSceneObject(new Pendulum());

world->mainLoop();

return 0;

}

Dodatkowa przydan_, a klas_, a jest DisplayControl realizuj_, ac okienko powi_, azane z_, obiektem sceny w momencie kiedy zachodzi konieczno´s´c namalowania okienka wysy la ono komunikat do swojego w la´sciciela drawControl(int id, int w, int h).