Analiza II, ISIM Lista zada« nr 4
wersja 2.0 1. Uzasadnij równo±ci
a)
∫ 1
2
−12
log
(1 + x 1− x
)
dx = 0, b)
∫ 1
−1
x7− 3x5+ 7x3− x
cos2x dx = 0, c)
∫ 1
−1ecos xdx = 2
∫ 1
−1ecos xdx.
2. Poka», »e a > 0 ∫ a
0
x3f (x2)dx = 1 2
∫ a2
0
xf (x)dx.
3. Rozwi¡» równanie ∫ x
log 2
√ dt
et− 1 = π 6.
4. Korzystaj¡c ze wzoru Wallisa zbadaj zbie»no±¢ szeregu pot¦gowego∑∞
n=0
(2n
n
)xn na ko«cach przedziaªu zbie»no±ci.
5. Udowodnij, »e
nlim→∞
√n
∫ π
2
0
sin2nxdx = 1
√2π, lim
n→∞
√n
∫ 1
0
(1− x2)ndx = 2
√π. 6. Korzystaj¡c ze wzoru Stirlinga znajd¹ promienie zbie»no±ci szeregów:
∑∞ n=1
(2n n
) xn,
∑∞ n=1
(4n n
)
π2nx5n+1,
∑∞ n=1
n!
(2n)!nnxn2,
∑∞ n=1
(3n n
)
en2xn!+n.
7. Korzystaj¡c ze wzoru Stirlinga poka»
nlim→∞1· 3 · 5...(2n − 1) · ( e
2n )n
=√ 2.
8. Oblicz w przybli»eniu: ∫2π
0 sin200xdx.
9. Korzystaj¡c ze wzoru Stirlinga oblicz granice a) lim
n→∞
n2√
n! b) lim
n→∞
n
√n
n! c) lim
n→∞
log n!
log nn 10. Oszacuj poni»sze caªki korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci ±redniej:
42e4≤
∫ 5
2
ex2(x2+ 1)dx≤ 42e25,
− log 6.75 + 1 ≤
∫ 2
1
cos(πx) log(1 + x)dx≤ log 6, 75 − 1, ∫ 1000π
2π
cos x 1 + x2dx
≤ 2 4π2+ 1, ∫ 2000
1
sin πx
√π2+ x2dx
≤ 2
√π2+ π4 11. Poka»
nlim→∞
∫ π
2
0
sinnxdx = 0.
12. Zbadaj, czy caªka po przedziale [0, 1] z granicy ci¡gu funkcyjnego jest równa granicy caªek:
x(1− xn) n2x(1− x)n xn(1− xn) nx 1 + nx 13. Korzystaj¡c z równo±ci∫1
0 xndx = n+11 , oblicz a)
∑∞ n=1
(−1)n+1
3n− 2 , b)
∑∞ n=1
(−1)n+1 4n− 3 .
14∗.Wyka» zbie»no±¢ poni»szego szeregu, a nast¦pnie korzystaj¡c ze wzoru Stirlinga oblicz jego
warto±¢: ∞
∑
n=1
(
n log2n + 1 2n− 1− 1
)
15∗. Funkcja f(x) jest caªkowalna w przedziale [a, b]. Poka», »e dla wypukªej funkcji ϕ(x) speªniona jest nierówno±¢
ϕ ( 1
b− a
∫ b
a
f (x)dx )
≤ 1
b− a
∫ b
a
ϕ(f (x))dx.
16∗.Poka» ∫ 1
0
x−xdx =
∑∞ n=1
n−n.
Wskazówka: Rozwi« funkcj¦ x−x = e−x log x w szereg.
17. Korzystaj¡c z powy»szego zadania wyprowad¹ nierówno±ci:
e13 ≤
∫ 1
0
ex2dx, exp ( ∫ 1
0
log f (x)dx )
≤
∫ 1
0
f (x)dx,
√3
√π 2 ≥
∫ √3π
0
sin x3dx, log 113569≥
∫ 4
2
log(x5+ 1)dx.
